Asemănarea triunghiurilor

Menționăm faptul că până acum, noțiunile prezentate în capitolele anterioare se studiază în clasa a VI-a, la orele de geometrie de la clasă, urmând ca în continuare să îți prezentăm noțiuni studiate în clasa a VII-a despre triunghiuri.

Astfel, în capitolul Asemănarea triunghiurilor, vom discuta, așa cum te aștepți, despre asemănarea a două triunghiuri.

Dacă la congruența a două triunghiuri era necesar ca toate cele trei elemente să fie congruente, în acest caz este suficient să existe proporționalitate când vorbim de lungimile laturilor și congruență doar în cazul unghiurilor.

Din acest motiv, vei învăța în primă fază despre segmente proporționale, ce spune teorema paralelor echidistante, dar și modalitatea de împărțire a unui segment în părți proporționale cu numere (segmente) date.

Vom discuta, în cadrul capitolului Asemănarea triunghiurilor despre teorema lui Thales și reciproca acesteia, mai exact cum o dreaptă paralelă la latura unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale și invers și despre teorema bisectoarei și reciproca ei. Pentru teorema lui Thales profesorii noștri ți-au pregătit căteva probleme rezolvate la sfârșitul acestui capitol, pe care te sfătuim să le urmărești cu mare atenție pentru a învăța cum se aplică corect în asemănarea triunghiurilor teorema lui Thales.

Vei învăța noțiunea de triunghiuri asemenea și ce condiții trebuie să îndeplinească elementele celor două triunghiuri astfel încât să existe asemănare. Criteriile de asemănare sunt U.U. (unghi-unghi), L.U.L. (latură-unghi-latură) și L.L.L. (latură-latură-latură).

Ultima noțiune teoretică prezentată în capitolul Asemănarea triunghiurilor este teorema fundamentală a asemănării.

Capitolul se încheie cu un set de probleme pregătit de echipa Liceunet, care te vor ajuta să exersezi și să te autoevaluezi.

Rezolvând problemele enunțate mai jos vei putea învăța să aplici corect în asemănarea triunghiurilor teorema lui Thales, cât și teorema fundamentală a asemănării.

Problema 1

Să se calculeze raportul segmentelor [MN] și [PQ] știind că:

MN = 7 cm și PQ = 0,014 dam;

M’N’ = 0,5 cm și P’Q’ = 0,1 dm;

M’’N’’ = 0,075 km și P’’Q’’ = 150 m.

Problema 2

Fie segmentele [AB], [CD], [EF] și [GH] cu lungimile 4 cm, a cm, 10 cm și 24 cm. Să se determine valoarea lui a, știind că segmentele [AB] și [EF] sunt proporționale cu [CD] și [GH].

Problema 3

Se consideră triunghiul ABC și $MP\parallel NQ\parallel BC$ , astfel încât $[AM]\equiv[MN]\equiv[NB]$ , cu $M,N\in[AB]$ , respectiv $P,Q\in[AC]$ .

Să se determine rapoartele $\dfrac{AQ}{AC}$ , $\dfrac{PQ}{AQ}$ , respectiv $\dfrac{AP}{QC}$ ;

Ce poți spune despre triunghiurile $\triangle AMP$ și $\triangle P{N}'Q$ , unde $P{N}'\parallel MN$ , cu ${N}'\in[NQ]$ ?

Problema 4

Se dă triunghiul $\triangle ABC$ cu mediana [AM], $M\in[BC]$ . Fie $D\in[AM]$ , cu $E,F\in(BC)$ astfel încât $DE\parallel AB$ și $DF\parallel AC$ .

Să se demonstreze că $[EM]\equiv[FM]$ .

Problema 5

Se consider triunghiul $\triangle ABC$ și [AM bisectoarea $\sphericalangle A$ , cu $M\in(BC)$ . Știind că AB = 6 cm, AC = 8 cm și CM = 4 cm, să se determine BM, BN și PC, unde $NM\parallel AC$ și $NP\parallel AB$ , cu $N\in(AB)$ , respectiv $P\in(AC)$ .

Problema 6

În figura de mai jos avem $A{A}'\parallel B{B}'\parallel d_3$ și $C{A}'\parallel D{B}'\parallel d_1$ . Să se demonstreze că $AC\parallel BD$ .

Problema 7

Să se construiască un segment de lungime l, astfel încât $\dfrac{4}{7}=\dfrac{8}{l}$ .

Problema 8

Fie dat triunghiul $\triangle ABC$ din figura de mai jos, unde punctul M este situat pe latura (AB) astfel încât $[AM]\equiv[MB]$ și $\sphericalangle AMN\equiv\sphericalangle ACB$ , cu $N\in(AC)$ . Știind că AB = 7 cm, BC = 9 cm și AC = 10 cm, să se determine perimetrul triunghiul $\triangle AMN$ .

Problema 9

Fie triunghiul $\triangle ABC$ și punctele $M\in(AB)$ , $N\in(BC)$ și $P\in(AC)$ , astfel încât AMNP să fie paralelogram. Să se arate că $MN\cdot PN=PC\cdot MB$ .

Problema 10

Fie patrulaterul ABCD cu BC = 60 cm și AD = 40 cm din figura alăturată. Știind că OA = 16 cm și OB = 24 cm, unde $\{O\}=AD\cap BC$ , să se arate că $DC = 3,5\cdot AB$ .

Problema 11

Precizează, din figura de mai jos, care triunghiuri sunt asemenea și menționează criteriul folosit:

Problema 12

Avem dat un trapez MNPQ cu $MN\parallel PQ$ și MN = 36 cm, PQ = 24 cm, NQ = 25 cm și MP = 30 cm. Să se calculeze OM, ON, OP și OQ, unde $\{O\}=NQ\cap MP$ .

Problema 13

Fie ABCD un trapez de baze [AB] și [CD], având lungimea bazelor AB = 30 cm, CD = 14 cm, respectiv a laturilor neparalele AD = 10 cm și BC = 16 cm. Să se determine perimetrul triunghiului OCD, unde $\{O\}=AD\cap BC$ .

Fii primul elev care accesează acum pagina dedicată asemănării triunghiurilor și află cum se rezolvă cele 13 probleme enunțate mai sus, folosind noțiunile teoretice furnizate în cadrul capitolului Asemănarea triunghiurilor.