Test de antrenament 5 Tehnologic

Cuprins

Subiectul I
Subiectul al II-lea
Subiectul al III-lea

Subiectul I

1. Calculați termenul al cincilea al unei progresii geometrice $(b_n)_{n\geq 1}$ , în care b_1=3 și b_2=-6 .

Rezolvare:

$\begin{align*} q&=\dfrac{b_2}{b_1}&\\ &=\dfrac{-6}{3}&\\ &=-2&\\ b_5&=b_1\cdot q^{5-1}&\\ &=3\cdot (-2)^4&\\ &=3\cdot 16&\\ &=48.& \end{align*}$

2. Se consideră x_1 și x_2 soluțiile ecuației 2x^2-6x+1=0 . Arătați că x_1+x_2-6x_1x_2=0 .

Rezolvare:

$2x^2-6x+1=0\Rightarrow a=2, b=-6, c=1$

Metoda I: Relațiile lui Viete

$\begin{align*} & x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-6}{2}=3 &\\ & x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2} & \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow x_1+x_2-6x_1x_2&=3-6\cdot \dfrac{1}{2}&\\ &=3-3&\\ &=0.& \end{align*}$

Metoda II: Determinăm soluțiile ecuației 2x^2-6x+1=0 .

$\begin{align*} \Delta&=b^2-4ac&\\ &=(-6)^2-4\cdot 2\cdot 1&\\ &=36-8&\\ &=28& \end{align*}$

$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}&\\ &=\dfrac{-(-6)-\sqrt{28}}{2\cdot 2}&\\ &=\dfrac{6-2\sqrt{7}}{4}&\\ &=\dfrac{3-\sqrt{7}}{2}& \end{align*}$

$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}&\\ &=\dfrac{-(-6)+\sqrt{28}}{2\cdot 2}&\\ &=\dfrac{6+2\sqrt{7}}{4}&\\ &=\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}& \end{align*}$

$\begin{align*} x_1&+x_2-6x_1x_2=\dfrac{3-\sqrt{7}}{2}+\dfrac{3+\sqrt{7}}{2}-6\cdot \dfrac{3-\sqrt{7}}{2}\cdot \dfrac{3+\sqrt{7}}{2}&\\ &=\dfrac{3-\sqrt{7}+3+\sqrt{7}}{2}-3\cdot \dfrac{3^2-(\sqrt{7})^2}{2}&\\ &=\dfrac{6}{2}-3\cdot \dfrac{9-7}{2}&\\ &=3-3\cdot \dfrac{2}{2}&\\ &=3-3\cdot 1&\\ &=3-3&\\ &=0.& \end{align*}$

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2+\sqrt[3]{27x+8}=1$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} & 2+\sqrt[3]{27x+8}=1 &\\ \Leftrightarrow \ & \sqrt[3]{27x+8}=1-2 &\\ \Leftrightarrow \ & \sqrt[3]{27x+8}=-1\ \Big|^3 &\\ \Leftrightarrow \ & \left(\sqrt[3]{27x+8}\right)^3=(-1)^3 &\\ \Leftrightarrow \ & 27x+8=-1 &\\ \Leftrightarrow \ & 27x=-1-8 &\\ \Leftrightarrow \ & 27x=-9 &\\ \Leftrightarrow \ & x=-\dfrac{9}{27} &\\ \Leftrightarrow \ & x=-\dfrac{1}{3}\in\mathbb{R}. & \end{align*}$

4. După o scumpire cu $15\%$ , un produs costă de lei. Determinați prețul produsului înainte de scumpire.

Rezolvare:

Notăm cu prețul obiectului.

$\begin{align*} & x+\dfrac{15}{100}x=92\ \Big|\cdot 100 &\\ \Leftrightarrow \ & 100x+15x=9200 &\\ \Leftrightarrow \ & 115x=9200 &\\ \Leftrightarrow \ & x=9200:115 &\\ \Leftrightarrow \ & x=80\ \text{de lei} & \end{align*}$

Verificare:

$\dfrac{15}{100}\cdot 80=12$

$\Rightarrow 80+12=92$ .

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(-3,0) și B(9,a) , unde este număr real. Determinați numerele reale pentru care distanța dintre punctele și este egală cu .

Rezolvare:

$\begin{align*} & AB=13 &\\ \Leftrightarrow \ & \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=13\ \Big|^2 &\\ \Leftrightarrow \ & (9-(-3))^2+(a-0)^2=169 &\\ \Leftrightarrow \ & (9+3)^2+a^2=169 &\\ \Leftrightarrow \ & 12^2+a^2=169 &\\ \Leftrightarrow \ & 144+a^2=169 &\\ \Leftrightarrow \ & a^2=169-144 &\\ \Leftrightarrow \ & a^2=25 &\\ \Leftrightarrow \ & a=\pm\sqrt{25} &\\ \Leftrightarrow \ & a=\pm 5. & \end{align*}$

6. Se consideră triunghiul ABC cu AB=AC=14 și unghiul de măsură egală cu $75^{\circ}$ . Determinați aria triunghiului ABC .

Rezolvare:

$AB=AC=14\ \Rightarrow \ \triangle ABC$ - isoscel

$m(\sphericalangle B)=75^{\circ}\ \Rightarrow \ m(\sphericalangle C)=75^{\circ}$

$\begin{align*} \Rightarrow m(\sphericalangle A)&=180^{\circ}-m(\sphericalangle B)-m(\sphericalangle C)&\\ &=180^{\circ}-75^{\circ}-75^{\circ}&\\ &=180^{\circ}-150^{\circ}&\\ &=30^{\circ}& \end{align*}$

$\begin{align*} \mathcal{A}_{\triangle ABC}&=\dfrac{AB\cdot AC\cdot \sin A}{2}&\\ &=\dfrac{14\cdot 14\cdot \sin 30^{\circ}}{2}&\\ &=7\cdot 14\cdot \dfrac{1}{2}&\\ &=7\cdot 7&\\ &=49.& \end{align*}$

Subiectul al II-lea

1. Se consideră matricele $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(x)=\begin{pmatrix} x & x-2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ , unde este număr real.

a) Arătați că $\det(A(1))=3$ .
b) Determinați numărul real pentru care $A(x)\cdot A(1)=3\left( A(x)-I_2 \right)$ .
c) Arătați că $\det\left( xA(x)-A(x^2) \right)\geq 0$ , pentru orice număr real .