Lock

Test de antrenament 4 Științe ale naturii

Lock

Subiectul I

1. Aflați suma primilor șapte termeni ai progresiei aritmetice (a_n)_{n\geq 1}, știind că a_1=-5și rația r=8.

Rezolvare:

Metoda I: Folosim formula S_n=\dfrac{(2a_1+(n-1)\cdot r)\cdot n}{2}.

\begin{align*} S_7&=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7&\\ &=\dfrac{(2\cdot (-5)+(7-1)\cdot 8)\cdot 7}{2}&\\ &=\dfrac{(-10+6\cdot 8)\cdot 7}{2}&\\ &=\dfrac{(-10+48)\cdot 7}{2}&\\ &=\dfrac{38\cdot 7}{2}&\\ &=19\cdot 7&\\ &=133& \end{align*}

Metoda II: Folosim formula S_n=n\cdot\dfrac{a_1+a_n}{2}.

Calculăm a_7.

\begin{align*} a_7&=a_1+(7-1)\cdot r&\\ &=-5+6\cdot 8&\\ &=-5+48&\\ &=43& \end{align*}

Suma primilor șapte termeni din progresia aritmetică este:

\begin{align*} S_7&=7\cdot \dfrac{-5+43}{2}&\\ &=7\cdot \dfrac{38}{2}&\\ &=7\cdot 19&\\ &=133.& \end{align*}

2. Determinați valorile reale nenule ale lui apentru care ecuația ax^2-x-a-1=0are două soluții distincte în mulțimea numerelor reale.

Rezolvare:

Dacă ecuația dată are două soluții distincte în mulțimea numerelor reale, atunci avem: 
0 &\\ \Leftrightarrow & (-1)^2-4\cdot a\cdot (-a-1)>0 &\\ \Leftrightarrow & 1+4a^2+4a>0 &\\ \Leftrightarrow & (2a)^2+2\cdot 2a\cdot 1+1^2>0 &\\ \Leftrightarrow & (2a+1)^2>0 & \end{align*}">

Rezolvăm (2a+1)^2=0.

\begin{align*} & (2a+1)^2=0 &\\ \Leftrightarrow & 2a+1=0 &\\ \Leftrightarrow & 2a=0-1 &\\ \Leftrightarrow & 2a=-1 &\\ \Leftrightarrow & a=-\dfrac{1}{2} & \end{align*}

Dar, din enunț avem că aeste nenul. Atunci ecuația are două soluții disticte în mulțimea numerelor reale dacă a\in\mathbb{R}\setminus \left \{ -\dfrac{1}{2},0 \right \}

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x-\sqrt[3]{x^3+x^2-9}=2x.

Rezolvare:

\begin{align*} & 3x-\sqrt[3]{x^3+x^2-9}=2x&\\ \Leftrightarrow & 3x-2x=\sqrt[3]{x^3+x^2-9} &\\ \Leftrightarrow & x=\sqrt[3]{x^3+x^2-9}\ \Big|^3 &\\ \Leftrightarrow & x^3=x^3+x^2-9 &\\ \Leftrightarrow & x^3+x^2-9-x^3=0 &\\ \Leftrightarrow & x^2-9=0 &\\ \Leftrightarrow & x^2=0+9 &\\ \Leftrightarrow & x^2=9 &\\ \Leftrightarrow & x=\pm \sqrt{9} &\\ \Leftrightarrow & x\in \{-3,3\}. & \end{align*}

4. Calculați 5A_3^2-3C_5^3.

Rezolvare:

Calculăm A_3^2și C_5^3
\begin{align*} A_3^2&=\dfrac{3!}{(3-2)!}&\\ &=\dfrac{3!}{1!}&\\ &=\dfrac{1\cdot 2\cdot 3}{1}&\\ &=6& \end{align*}

\begin{align*} C_5^3&=\dfrac{5!}{3!\cdot (5-3)!}&\\ &=\dfrac{5!}{3!\cdot 2!}&\\ &=\dfrac{3!\cdot 4\cdot 5}{3!\cdot 1\cdot 2}&\\ &=\dfrac{20}{2}&\\ &=10& \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow &5A_3^2-3C_5^3=5\cdot 6-3\cdot 10&\\ &=30-30&\\ &=0.& \end{align*} 

5. Se consideră vectorii \vec{a}=2\vec{i}+m\vec{j}și \vec{b}=5\vec{i}-(m^2+1)\vec{j}, unde meste număr real. Determinați numerele reale mpentru care vectorii \vec{a}și \vec{b}sunt coliniari.

Rezolvare:

Vectorii \vec{a}și \vec{b}sunt coliniari dacă \dfrac{2}{5}=\dfrac{m}{-(m^2+1)}.

\begin{align*} & \dfrac{2}{5}=\dfrac{m}{-(m^2+1)} &\\ \Leftrightarrow & -2(m^2+1)=5m &\\ \Leftrightarrow & 5m+2(x^2+1)=0 &\\ \Leftrightarrow & 2m^2+5m+2=0 & \end{align*}

\begin{align*} \Delta&=5^2-4\cdot 2\cdot 2&\\ &=25-16&\\ &=9& \end{align*}

\begin{align*} m_1&=\dfrac{-5-\sqrt{9}}{2\cdot 2}&\\ &=\dfrac{-5-3}{4}&\\ &=\dfrac{-8}{4}&\\ &=-2& \end{align*}

\begin{align*} m_2&=\dfrac{-5+\sqrt{9}}{2\cdot 2}&\\ &=\dfrac{-5+3}{4}&\\ &=\dfrac{-2}{4}&\\ &=-\dfrac{1}{2}& \end{align*}

\Rightarrow m\in \left \{ -2,-\dfrac{1}{2} \right \}.

6. Se consideră triunghiul ABCcu BC">, AC=6, BC=10și aria egală cu 15. Determinați măsura unghiului C.

Rezolvare:

\begin{align*} & \mathcal{A}_{\triangle ABC}=\dfrac{AC\cdot BC\cdot \sin(C)}{2} &\\ \Leftrightarrow & \dfrac{6\cdot 10\cdot \sin (C)}{2}=15\ \Big| \cdot 2 &\\ \Leftrightarrow & 60\cdot \sin (C)=30 &\\ \Leftrightarrow & \sin(C)=\dfrac{30}{60} &\\ \Leftrightarrow & \sin(C)=\dfrac{1}{2} &\\ \Rightarrow & C\in \left \{ \dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6} \right \} & \end{align*}

Cum BC">, iar unghiul Cse opune laturii AB, rezultă că unghiul Care măsura cea mai mare dintre unghiurile triunghiului ABC

Deci C=\dfrac{5\pi}{6}, adică unghiul Care măsura de 150^\circ.

 

Subiectul al II-lea

1. Se consideră matricele A=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}și ...

Textul de mai sus este doar un extras. Numai membrii pot citi întregul conținut.

Obține acces la întregul eBook.

Ca membru al Liceunet.ro, beneficiezi de acces la întregul conținut.

Achiziționează un abonament acum

Deja membru? Log in