Test de antrenament 3 Mate-Info

Cuprins

Subiectul I
Subiectul al II-lea
Subiectul al III-lea

Subiectul I

1. Se consideră numărul complex z=1+i . Arătați că z^2-z-i=-1 .

Rezolvare:

$\begin{align*} z^2-z-i&=(1+i)^2-(1+i)-i&\\ &=1^2+2i+i^2-1-i-i&\\ &=1+2i-1-1-2i&\\ &=1-2&\\ &=-1.& \end{align*}$

2. Determinați cel mai mic număr natural pentru care ecuația x^2-3x+3-n=0 are două soluții distincte în mulțimea numerelor reale.

Rezolvare:

Dacă ecuația x^2-3x+3-n=0 are două soluții distincte în mulțimea numerelor reale, atunci 0">, unde

$\begin{align*} \Delta&=b^2-4ac&\\ &=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (3-n)&\\ &=9-12+4n&\\ &=4n-3& \end{align*}$

Atunci

0 &\\ \Leftrightarrow & 4n>0+3&\\ \Leftrightarrow & 4n>3 &\\ \Leftrightarrow & n>\dfrac{3}{4} &\\ \Leftrightarrow & n\in \left(\dfrac{3}{4},+\infty\right) & \end{align*}">

Cel mai mic număr natural din intervalul $\left(\dfrac{3}{4},+\infty\right)$ este n=1 .

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_5 (25x)+\log_x 5=4$ .

Rezolvare:

Condiții de existență a logaritmilor:
0 \Leftrightarrow x>0 &\\ & x\ne 1 &\\ \Rightarrow &x\in (0,+\infty)\setminus \{1\}& \end{align*}">
Observăm că

$\begin{align*} & \log_x 5=\dfrac{\log_5 5}{\log_5 x}=\dfrac{1}{\log_5 x}. & \end{align*}$

Atunci

$\begin{align*} & \log_5 (25x)+\log_x 5=4 &\\ \Leftrightarrow & \log_5 25+ \log_5 x+\dfrac{1}{\log_5 x}=4 &\\ \Leftrightarrow & \log_5 5^2+\log_5 x+\dfrac{1}{\log_5 x}-4=0 &\\ \Leftrightarrow & 2\log_5 5 +\log_5 x+\dfrac{1}{\log_5 x}-4=0 &\\ \Leftrightarrow & 2\cdot 1 +\log_5 x+\dfrac{1}{\log_5 x}-4=0 &\\ \Leftrightarrow & 2+\log_5 x+\dfrac{1}{\log_5 x}-4=0 &\\ \Leftrightarrow & \log_5 x+\dfrac{1}{\log_5 x}-2=0 & \end{align*}$

Notăm $\log_5 x=y$ . Ecuația devine:

$\begin{align*} &y+\dfrac{1}{y}-2=0\ \Big|\ \cdot y&\\ \Leftrightarrow & y^2+1-2y=0 &\\ \Leftrightarrow & (y-1)^2=0 &\\ \Leftrightarrow & y-1=0 &\\ \Leftrightarrow & y=0+1 &\\ \Leftrightarrow & y=1 &\\ \Rightarrow &\log_5 x=1&\\ \Leftrightarrow & \log_5 x=\log_5 5 &\\ \Leftrightarrow & x=5\in (0,+\infty)\setminus \{1\}. & \end{align*}$

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cif...