Lock

Test de antrenament 2 Mate-Info

Lock

Subiectul I

1. Arătați că numărul n=(1+6i)^2+(3-2i)^2 este întreg negativ, unde i^2=-1.

Rezolvare:

\begin{align*} n&=(1+6i)^2+(3-2i)^2&\\ &=1^2+2\cdot 1\cdot 6i+(6i)^2+3^2-2\cdot 3\cdot 2i+(2i)^2 &\\ &=1+12i+36i^2+9-12i+4i^2 &\\ &=10+40i^2 &\\ &=10+40\cdot (-1) &\\ &=10-40&\\ &=-30\in \mathbb{Z}_-.& \end{align*}

2. Se consideră funcția f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x^2+ax, unde a este număr real astfel încât f(1)=f(5). Arătați că f(2)=f(4).

Rezolvare:

\begin{align*} & f(1)=f(5) &\\ \Leftrightarrow & 1^2+a\cdot 1=5^2+a\cdot 5 &\\ \Leftrightarrow & 1+a=25a+5a &\\ \Leftrightarrow & 5a-a=1-25 &\\ \Leftrightarrow & 4a=-24 &\\ \Leftrightarrow & a=-24:4 &\\ \Leftrightarrow & a=-6 & \end{align*}

\Rightarrow f(x)=x^2-6x

Calculăm f(2) și f(4).

\begin{align*} f(2)&=2^2-6\cdot 2&\\ &=4-12 & \\ &=-8& \end{align*}

\begin{align*} f(4)&=4^2-6\cdot 4&\\ &=16-24&\\ &=-8& \end{align*}

\Rightarrow f(2)=f(4)=-8.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \log_3 (2x^2-2)=2\log_3(x+1).

Rezolvare:

Condiții de existență a logaritmilor.
0 \ \text{\c si }\ x+1>0& \end{align*}">

\begin{align*} & 2x^2-2=0\ |\ :2 &\\ \Leftrightarrow & x^2-1=0 &\\ \Leftrightarrow & (x-1)(x+1)=0 &\\ \Leftrightarrow & x-1=0\ \text{sau}\ x+1=0 &\\ \Leftrightarrow & x=0+1\ \text{sau}\ x=0-1 &\\ \Leftrightarrow & x=1\ \text{sau}\ x=-1 & \end{align*}

0\Rightarrow x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) & \end{align*}">

0 &\\ \Leftrightarrow & x>0-1 &\\ \Leftrightarrow & x>-1 &\\ \Leftrightarrow & x\in (-1,+\infty) & \end{align*}">

\begin{align*} \Rightarrow & x\in \left( (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \right)\cap (-1,+\infty) &\\ \Leftrightarrow & x\in (1,+\infty) & \end{align*}

\begin{align*} & \log_3 (2x^2-2)=2\log_3(x+1) &\\ \Leftrightarrow & \log_3 (2x^2-2)=\log_3(x+1)^2 &\\ \Leftrightarrow & 2x^2-2=(x+1)^2 &\\ \Leftrightarrow & 2x^2-2=x^2+2x+1 &\\ \Leftrightarrow & 2x^2-2-x^2-2x-1=0 &\\ \Leftrightarrow & x^2-2x-3=0 &\\ \Leftrightarrow & x^2+x-3x-3=0 &\\ \Leftrightarrow & x(x+1)-3(x+1)=0 &\\ \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow & (x+1)(x-3)=0 &\\ \Leftrightarrow & x+1=0\ \text{sau}\ x-3=0 &\\ \Leftrightarrow & x=0-1\ \text{sau}\ x=0+3 &\\ \Leftrightarrow & x=-1\ \text{sau}\ x=3 & \end{align*}

Dar -1\notin (1,+\infty), de unde obținem că x=3.
4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă cifra unităților egală cu suma dintre cifra sutelor și cifra zecilor. 
Rezolvare:

p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}

Sunt 999-100+1=900 de numere naturale de trei cifre. Deci avem 900 de cazuri posibile.

Pentru a determina numărul cazurilor favorabile, putem apela la una dintre următoarele două metode.

Metoda I: No...

Textul de mai sus este doar un extras. Numai membrii pot citi întregul conținut.

Obține acces la întregul eBook.

Ca membru al Liceunet.ro, beneficiezi de acces la întregul conținut.

Achiziționează un abonament acum

Deja membru? Log in