Test de antrenament 2 Mate-Info

Cuprins

Subiectul I
Subiectul al II-lea
Subiectul al III-lea

Subiectul I

1. Arătați că numărul n=(1+6i)^2+(3-2i)^2 este întreg negativ, unde i^2=-1 .

Rezolvare:

$\begin{align*} n&=(1+6i)^2+(3-2i)^2&\\ &=1^2+2\cdot 1\cdot 6i+(6i)^2+3^2-2\cdot 3\cdot 2i+(2i)^2 &\\ &=1+12i+36i^2+9-12i+4i^2 &\\ &=10+40i^2 &\\ &=10+40\cdot (-1) &\\ &=10-40&\\ &=-30\in \mathbb{Z}_-.& \end{align*}$

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , f(x)=x^2+ax , unde este număr real astfel încât f(1)=f(5) . Arătați că f(2)=f(4) .

Rezolvare:

$\begin{align*} & f(1)=f(5) &\\ \Leftrightarrow & 1^2+a\cdot 1=5^2+a\cdot 5 &\\ \Leftrightarrow & 1+a=25a+5a &\\ \Leftrightarrow & 5a-a=1-25 &\\ \Leftrightarrow & 4a=-24 &\\ \Leftrightarrow & a=-24:4 &\\ \Leftrightarrow & a=-6 & \end{align*}$

$\Rightarrow f(x)=x^2-6x$

Calculăm f(2) și f(4) .

$\begin{align*} f(2)&=2^2-6\cdot 2&\\ &=4-12 & \\ &=-8& \end{align*}$

$\begin{align*} f(4)&=4^2-6\cdot 4&\\ &=16-24&\\ &=-8& \end{align*}$

$\Rightarrow f(2)=f(4)=-8.$

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3 (2x^2-2)=2\log_3(x+1)$ .

Rezolvare:

Condiții de existență a logaritmilor.
0 \ \text{\c si }\ x+1>0& \end{align*}">

$\begin{align*} & 2x^2-2=0\ |\ :2 &\\ \Leftrightarrow & x^2-1=0 &\\ \Leftrightarrow & (x-1)(x+1)=0 &\\ \Leftrightarrow & x-1=0\ \text{sau}\ x+1=0 &\\ \Leftrightarrow & x=0+1\ \text{sau}\ x=0-1 &\\ \Leftrightarrow & x=1\ \text{sau}\ x=-1 & \end{align*}$

0\Rightarrow x\in (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) & \end{align*}">

0 &\\ \Leftrightarrow & x>0-1 &\\ \Leftrightarrow & x>-1 &\\ \Leftrightarrow & x\in (-1,+\infty) & \end{align*}">

$\begin{align*} \Rightarrow & x\in \left( (-\infty,-1)\cup (1,+\infty) \right)\cap (-1,+\infty) &\\ \Leftrightarrow & x\in (1,+\infty) & \end{align*}$

$\begin{align*} & \log_3 (2x^2-2)=2\log_3(x+1) &\\ \Leftrightarrow & \log_3 (2x^2-2)=\log_3(x+1)^2 &\\ \Leftrightarrow & 2x^2-2=(x+1)^2 &\\ \Leftrightarrow & 2x^2-2=x^2+2x+1 &\\ \Leftrightarrow & 2x^2-2-x^2-2x-1=0 &\\ \Leftrightarrow & x^2-2x-3=0 &\\ \Leftrightarrow & x^2+x-3x-3=0 &\\ \Leftrightarrow & x(x+1)-3(x+1)=0 &\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow & (x+1)(x-3)=0 &\\ \Leftrightarrow & x+1=0\ \text{sau}\ x-3=0 &\\ \Leftrightarrow & x=0-1\ \text{sau}\ x=0+3 &\\ \Leftrightarrow & x=-1\ \text{sau}\ x=3 & \end{align*}$

Dar $-1\notin (1,+\infty)$ , de unde obținem că x=3 .
4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să aibă cifra unităților egală cu suma dintre cifra sutelor și cifra zecilor.
Rezolvare:

$p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$

Sunt 999-100+1=900 de numere naturale de trei cifre. Deci avem 900 de cazuri posibile.

Pentru a determina numărul cazurilor favorabile, putem apela la una dintre următoarele două metode.

Metoda I: No...