Test de antrenament 1 Tehnologic

Cuprins

Subiectul I
Subiectul al II-lea
Subiectul al III-lea

Subiectul I

1. Calculați rația progresiei aritmetice $(a_n)_{n\geq 1}$ în care a_3=7 și a_7=15 .

Rezolvare:

Metoda I

$\begin{align*} & \begin{cases} a_3=a_1+2r\\ a_7=a_1+6r \end{cases} &\\ \Leftrightarrow\ & \begin{cases} a_1+2r=7\ |\ \cdot(-1)\\ a_1+6r=15 \end{cases} &\\ \Leftrightarrow \ &\begin{cases} -a_1-2r=-7\\ a_1+6r=15 \end{cases}& \end{align*}$

Adunăm cele două relații și obținem

$\begin{align*} &-2r+6r=-7+15&\\ \Leftrightarrow\ & 4r=8\ |\ :4 &\\ \Leftrightarrow\ & r=2 & \end{align*}$

Metoda II

$\begin{align*} a_7&=a_6+r &\\ &=a_5+2r&\\ &=a_4+3r&\\ &=a_3+4r& \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow\ & 15=7+4r &\\ \Leftrightarrow\ & 4r=15-7 &\\ \Leftrightarrow\ & 4r=8\ |\ :4 &\\ \Leftrightarrow\ & r=2. & \end{align*}$

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , f(x)=3x-4 . Determinați valorile reale ale lui pentru care $f(x)\geq 2f(1)+4$ .

Rezolvare:

Calculăm f(1) .

$\begin{align*} f(1)&=3\cdot 1-5&\\ &=3-5&\\ &=-2& \end{align*}$

Atunci:

$\begin{align*} & f(x)\geq 2f(1)+4 &\\ \Leftrightarrow\ & 3x-5\geq 2\cdot (-2)+4 &\\ \Leftrightarrow\ & 3x-5\geq -4+4 &\\ \Leftrightarrow\ & 3x-5\geq 0 &\\ \Leftrightarrow\ & 3x\geq 0+5 &\\ \Leftrightarrow\ & 3x\geq 5 &\\ \Leftrightarrow\ & x\geq \dfrac{5}{3} &\\ \Leftrightarrow\ & x\in \left[\dfrac{5}{3},+\infty\right). & \end{align*}$

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 81^x=3 .

Rezolvare:

$\begin{align*} & 81^x=3 &\\ \Leftrightarrow\ & (3^4)^x=3 &\\ \Leftrightarrow\ & 3^{4x}=3^1 &\\ \Leftrightarrow\ & 4x=1 &\\ \Leftrightarrow\ & x=\dfrac{1}{4}. & \end{align*}$

4. Calculați $\dfrac{A_6^2}{P_3}$ .

Rezolvare:

Calculăm P_3 și A_6^2 .

$\begin{align*} P_3&=3!&\\ &=1\cdot 2\cdot 3&\\ &=6 & \end{align*}$

$\begin{align*} A_6^2&=\dfrac{6!}{(6-2)!}&\\ &=\dfrac{6!}{4!}&\\ &=\dfrac{4!\cdot 5\cdot 6}{4!}&\\ &=5\cdot 6&\\ &=30& \end{align*}$

Atunci:

$\begin{align*} \dfrac{A_6^2}{P_3}&=\dfrac{30}{6}=5.& \end{align*}$

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(0,3) , B(0,-5) și C(4,-1) . Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.

Rezolvare:

Calculăm , și folosind formula distanței dintre două puncte.

$\begin{align*} AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}&\\ &=\sqrt{(0-0)^2+(-5-3)^2}&\\ &=\sqrt{0^2+(-8)^2}&\\ &=\sqrt{0+64}&\\ &=\sqrt{64}&\\ &=8& \end{align*}$

$\begin{align*} BC&=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}&\\ &=\sqrt{(4-0)^2+(-1-(-5))^2}&\\ &=\sqrt{4^2+4^2}&\\ &=\sqrt{2\cdot 4^2}&\\ &=4\sqrt{2}& \end{align*}$

$\begin{align*} AC&=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}&\\ &=\sqrt{(4-0)^2+(-1-3)^2}&\\ &=\sqrt{4^2+(-4)^2}&\\ &=\sqrt{4^2+4^2}&\\ &=\sqrt{2\cdot 4^2}&\\ &=4\sqrt{2}& \end{align*}$

Cum $BC=AC=4\sqrt{2}$ , avem că triunghiul ABC este isoscel.

Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora.

$\begin{align*} & AB^2=BC^2+AC^2 &\\ \Leftrightarrow\ & 8^2=(4\sqrt{2})^2+(4\sqrt{2})^2 &\\ \Leftrightarrow\ & 64=32+32 &\\ \Leftrightarrow\ & 64=64\ \text{(A)} & \end{align*}$

Rezultă că triunghiul ABC este dreptunghic în .

Cum triunghiul ABC este și isoscel, obținem că triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.

6. Arătați că $\dfrac{\text{tg}\ 60^\circ}{\text{ctg}\ 30^\circ\cdot \cos 45^\circ}=\sqrt{2}$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} \dfrac{\text{tg}\ 60^\circ}{\text{ctg}\ 30^\circ\cdot \cos 45^\circ}&=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}}&\\ &=\dfrac{1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}&\\ &=\dfrac{2}{\sqrt{2}}&\\ &=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}&\\ &=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}&\\ &=\sqrt{2}.& \end{align*}$

Subiectul al II-lea

1. Se consideră matricele $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$ și $I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

a) Arătați că $\det A=-1$ .
b) Demonstrați că $A\cdot A=I_2$ .
c) Determinați matricea $X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ astfel Încât AX-I_2=2021A .

Rezolvare:

a) Calculăm $\det A$ .

$\begin{align*} \det A&=\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -2 \end{vmatrix}&\\ &=2\cdot (-2)-(-3)\cdot 1&\\ &=-4+3&\\ &=-1.& \end{align*}$

b) Calculăm $A\cdot A$ .

$\begin{align*} A\cdot A&= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}&\\ &=\begin{pmatrix} 2\cdot 2+1\cdot (-3) & 2\cdot 1 + 1\cdot (-2)\\ (-3)\cdot 2+(-2)\cdot (-3) & -3\cdot 1 + (-2)\cdot (-2) \end{pmatrix}&\\ &=\begin{pmatrix} 4-3 & 2-2 \\ -6+6 & -3+4 \end{pmatrix}&\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}&\\ &=I_2.& \end{align*}$

c) La punctul b) am arătat că $A\cdot A=I_2$ . Rezultă că $A^{-1}=A$ . Atu...