Test de antrenament 1 Mate-Info

Cuprins

Subiectul I
Subiectul al II-lea
Subiectul al III-lea

Subiectul I

1. Determinați numărul elementelor mulțimii $M=\{n\in \mathbb{N}\ |\ n^2<7+\sqrt{7}\}$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} & 2<\sqrt{7}<3\ |\ +7 &\\ \Leftrightarrow & 9<\sqrt{7}+7<10 &\\ \Rightarrow & n^2\leq 9 &\\ & n^2=9 &\\ \Leftrightarrow &n=\sqrt{9}&\\ \Leftrightarrow & n=3 &\\ \Rightarrow & n\leq 3 &\\ \Leftrightarrow & n\in \{0,1,2,3\} \end{align*}$

Mulțimea conține elemente.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , f(x)=x^2-6x+m , unde este număr real. Determinați valorile reale ale lui pentru care vârful parabolei asociate funcției are ordonata strict mai mare decât .
Rezolvare:

Ordonata vârfului parabolei asociate funcției este $-\dfrac{\Delta}{4a}$ , unde a=1 și

$\begin{align*} \Delta&= (-6)^2-4\cdot 1\cdot m&\\ &=36-4m \end{align*}$

0 &\\ \Leftrightarrow & -(9-m)>0\ | \ \cdot (-1) &\\ \Leftrightarrow & 9-m9 &\\ \Rightarrow & m\in (9,+\infty). & \end{align*}">

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+3}=x-3$ .

Rezolvare:

Condiția de existență a radicalului:
$\begin{align*} & x+3\geq 0 &\\ \Leftrightarrow\ & x\geq 0-3 &\\ \Leftrightarrow\ & x\geq -3 &\\ \Leftrightarrow\ & x\in [-3,+\infty) & \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow\ & \sqrt{x+3}=x-3\ |\ ^2 &\\ \Leftrightarrow & x+3=(x-3)^2 &\\ \Leftrightarrow & x+3=x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2 &\\ \Leftrightarrow & x+3=x^2-6x+9 &\\ \Leftrightarrow & x^2-6x+9-x-3=0 &\\ \Leftrightarrow & x^2-7x+6=0 & \end{align*}$