Test de antrenament 1 Mate-Info

Subiectul I

1. Determinați numărul elementelor mulțimii M=\{n\in \mathbb{N}\ |\ n^2<7+\sqrt{7}\}.

Rezolvare:

\begin{align*} & 2<\sqrt{7}<3\ |\ +7 &\\ \Leftrightarrow & 9<\sqrt{7}+7<10 &\\ \Rightarrow & n^2\leq 9 &\\ & n^2=9 &\\ \Leftrightarrow &n=\sqrt{9}&\\ \Leftrightarrow & n=3 &\\ \Rightarrow & n\leq 3 &\\ \Leftrightarrow & n\in \{0,1,2,3\} \end{align*}

Mulțimea M conține 4 elemente.

2. Se consideră funcția f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=x^2-6x+m, unde m este număr real. Determinați valorile reale ale lui m pentru care vârful parabolei asociate funcției f are ordonata strict mai mare decât 0.
Rezolvare:

 Ordonata vârfului parabolei asociate funcției f este -\dfrac{\Delta}{4a}, unde a=1 și 

\begin{align*} \Delta&= (-6)^2-4\cdot 1\cdot m&\\ &=36-4m \end{align*}

0 &\\ \Leftrightarrow & -(9-m)>0\ | \ \cdot (-1) &\\ \Leftrightarrow & 9-m9 &\\ \Rightarrow & m\in (9,+\infty). & \end{align*}">

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \sqrt{x+3}=x-3.

Rezolvare:

 Condiția de existență a radicalului:
\begin{align*} & x+3\geq 0 &\\ \Leftrightarrow\ & x\geq 0-3 &\\ \Leftrightarrow\ & x\geq -3 &\\ \Leftrightarrow\ & x\in [-3,+\infty) & \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow\ & \sqrt{x+3}=x-3\ |\ ^2 &\\ \Leftrightarrow & x+3=(x-3)^2 &\\ \Leftrightarrow & x+3=x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2 &\\ \Leftrightarrow & x+3=x^2-6x+9 &\\ \Leftrightarrow & x^2-6x+9-x-3=0 &\\ \Leftrightarrow & x^2-7x+6=0 & \end{align*}

0& \end{align*}">

\begin{align*} x_1&=\dfrac{-(-7)-\sqrt{25}}{2\cdot 1}&\\ &=\dfrac{7-5}{2}&\\ &=\dfrac{2}{2}&\\ &=1\in [-3,+\infty)& \end{align*}

\begin{align*} x_2&=\dfrac{-(-7)+\sqrt{25}}{2\cdot 1}&\\ &=\dfrac{7+5}{2}&\\ &=\dfrac{12}{2}&\\ &=6\in [-3,+\infty)& \end{align*}

 Rezultă că x\in \{1,6\}.

 4. Determinați numărul submulțimilor cu cel mult 2 elemente ale unei mulțimi cu 12 elemente. 

Rezolvare:

 Numărul submulțimilor cu k elemente ale unei mulțimi având n elemente este ...

Textul de mai sus este doar un extras. Numai membrii pot citi întregul conținut.

Obține acces la întregul eBook.

Ca membru al Liceunet.ro, beneficiezi de acces la întregul conținut.

Achiziționează un abonament acum

Deja membru? Log in