Test de antrenament 2 Mate-Info

Cuprins

Subiectul I
Subiectul al II-lea
Subiectul al III-lea

Subiectul I

1. Se consideră numărul complex z=3-i . Arătați că z^2-6z+10=0 .
Rezolvare:
$\begin{align*} &z^2-6z+10=(3-i)^2-6(3-i)+10 &\\ &=3^2-2\cdot 3\cdot i+i^2-6\cdot 3+6\cdot i+10 &\\ &=9-6i-1-18+6i+10&\\ &=8-8&\\ &=0. \end{align*}$

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , f(x)=x^2+6 . Determinați numărul real , știind că f(a)=f(a-2) .
Rezolvare:
$\begin{align*} & f(a)=f(a-2) &\\ \Leftrightarrow & a^2+6=(a-2)^2+6 \ |-6&\\ \Leftrightarrow & a^2=a^2-2\cdot a\cdot 2-2^2 \ |-a^2&\\ \Leftrightarrow & -4a-4=0 &\\ \Leftrightarrow & -4a=0+4 &\\ \Leftrightarrow & -4a=4 &\\ \Leftrightarrow & a=\dfrac{4}{-4} &\\ \Leftrightarrow & a=-1. & \end{align*}$

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_4(x^2+4x+5)=\log_4(2x+4)$ .
Rezolvare:
Condiții de existență pentru logaritmi:
0">
$\begin{align*} \Delta&=4^2-4\cdot 1\cdot 5&\\&=16-20&\\&=-4<0& \end{align*}$
0,\ \forall\ x\in\mathbb{R}">
0 &\\ \Leftrightarrow & 2x>0-4 &\\ \Leftrightarrow & 2x>-4 &\\ \Leftrightarrow & x>-\dfrac{4}{2} &\\ \Leftrightarrow & x>-2 & \end{align*}">
$\Rightarrow x\in (-2,+\infty)$
$\begin{align*} & \log_4(x^2+4x+5)=\log_4(2x+4) &\\ \Leftrightarrow &x^2+4x+5=2x+4&\\ \Leftrightarrow & x^2+4x+5-2x-4=0 &\\ \Leftrightarrow & x^2+2x+1=0 &\\ \Leftrightarrow & (x+1)^2=0 &\\ \Leftrightarrow & x+1=0 &\\ \Leftrightarrow & x=0-1 &\\ \Leftrightarrow & x=-1\in (-2,+\infty). & \end{align*}$

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu .

Rezolvare:
$p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}$

Sunt de numere naturale de două cifre. Deci avem de cazuri posibile.

Numerele naturale de două cifre care au produsul cifrelor egal cu sunt: $(2\cdot 8=16)$ , $(8\cdot 2=16)$ și $(4\cdot 4=16)$ . Deci avem cazuri favorabile.

Obținem $p=\dfrac{3}{90}$ , ceea ce e...