Test de antrenament 1 Mate-Info

Cuprins

Subiectul I
Subiectul al II-lea
Subiectul al III-lea

Subiectul I

1. Arătați că numărul a=(4+3i)^2+(3-4i)^2 este natural, unde i^2=-1 .

Rezolvare:

$\begin{align*} a&=(4+3i)^2+(3-4i)^2&\\ &=4^2+2\cdot 4\cdot 3i+(3i)^2+3^2-2\cdot 3\cdot 4i+(4i)^2 &\\ &=16+24i+9\cdot (-1)+9-24i+16\cdot (-1)&\\ &=16-9+9-16&\\ &=0\in\mathbb{N}. \end{align*}$

2. Determinați cel mai mare număr întreg pentru care soluțiile ecuației x^2-11x+m=0 sunt numere reale.
Rezolvare:

Dacă ecuația are soluții reale, atunci $\Delta\geq 0$ . Obținem:

$\begin{align*} & (-11)^2-4\cdot 1\cdot m\geq 0&\\ \Leftrightarrow & 121-4m\geq 0 &\\ \Leftrightarrow & 4m\leq 121 &\\ \Leftrightarrow & m\leq \dfrac{121}{4}. & \end{align*}$

Cum $\left[\dfrac{121}{4}\right]=30$ , rezultă că cel mai mare număr $m\in\mathbb{Z}$ pentru care ecuația are soluții reale este m=30 .

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_7(7x)+\log_x 7=3$ .

Rezolvare:

Condiții de existență pentru logaritmi sunt 0">, $x\ne 1$ . Atunci:

$\begin{align*} & \log_7(7x)+\log_x 7=3 &\\ \Leftrightarrow & \log_7 7+\log_7 x+\dfrac{\log_7 7}{\log_7 x}=3 &\\ \Leftrightarrow & 1+\log_7 x+\dfrac{1}{\log_7 x}-3=0 &\\ \Leftrightarrow & \log_7 x+\dfrac{1}{\log_7 x}-2=0. & \end{align*}$

Notăm $\log_7 x=y$ . Ecuația devine:

$\begin{align*} &y+\dfrac{1}{y}-2=0\ \Big|\cdot y&\\ \Leftrightarrow &y^2-2y+1=0&\\ \Leftrightarrow &(y-1)^2=0&\\ \Leftrightarrow &y-1=0&\\ \Leftrightarrow &y=0+1&\\ \Leftrightarrow &y=1& \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow &\log_7 x=1&\\ \Leftrightarrow &\log_7 x=\log_7 7&\\ \Leftrightarrow &x=7.& \end{align*}$

4. Determinați numărul de elemente ale unei mulțimi, știind că aceasta are exact de submulțimi cu două elemente.

Rezolvare:

Numărul submulțimilor cu două elemente ale unei mulțimi având elemente este C_n^2 . Atunci avem

$\begin{align*} & C_n^2=45 &\\ \Leftrightarrow & \dfrac{n!}{2!(n-2)!}=45 &\\ \Leftrightarrow & \dfrac{(n-2)!\cdot (n-1)\cdot n}{2\cdot (n-2)!}=45\ \Big|\cdot 2 &\\ \Leftrightarrow & (n-1)n=45\cdot 2 &\\ \Leftrightarrow &(n-1)n=90&\\ \Leftrightarrow &n=10& \end{align*}$

Verificare: $9\cdot 10=90$ .

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,-2) , B(-4,4) și C(-4,0) . Calculați aria triunghiului ABC .
Rezolvare:
Metoda I: Fo...