Morfism de grupuri și izomorfism de grupuri

Cuprins

Subgrup
Subgrupurile grupului aditiv
Grupul finit și grupul infinit
Subgrupul generat de un element
Tabla operației
Ordinul unui element într-un grup
Teoreme remarcabile în teoria grupurilor finite

Fie grupurile $(G_1,\circ)$ și $(G_2,\ast).$

Definiția SA15: Morfim de grupuri

Numim morfism (omomorfism) de grupuri funcția $f:G_1\to G_2,$ dacă verifică relația $f(x\circ y)=f(x)\ast f(y),$ oricare ar fi $x,y\in G_1.$

Definiția SA16: Izomorfism de grupuri

Spunem că funcția $f:G_1\to G_2,$ este un izomorfism de grupuri, dacă funcția este morfism de grupuri și este o funcție bijectivă (adică este o funcție injectivă și totodată este și o funcție surjectivă).

Definiția SA17: Grupuri izomorfe

Grupurile $(G_1,\circ)$ și $(G_2,\ast)$ se numesc grupuri izomorfe, notându-se $G_1\simeq G_2$ , dacă între ele există cel puțin un izomorfism de grupuri, $f:G_1\to G_2,$ .

Cele două grupuri $(G_1,\circ)$ și $(G_2,\ast)$ nu sunt izomorfe și notăm G_1 G_2, atunci când nu există un izomorfism de grupuri, $f:G_1\to G_2$ .

În figura de mai jos se poate observa mai bine noțiunea de morfism de grupuri:

Exemple:

Fie funcția $f:\mathbb{Z}\to \left \{ -2,2 \right \},$ dată de legea Această funcție este un morfism între grupurile $(\mathbb{Z},+)$ și $(\{-2,2\},\cdot),$ deoarece este verificată relația $\begin{align*} f(x+y)&=f(x)\cdot f(y) ,\end{align*}$ pentru orice $\begin{align*}x,y\in \mathbb{Z}.\end{align*}$

Într-adevăr, avem că:

$\begin{align*} f(x+y)&=(-2)^{x+y}\\&=(-2)^x\cdot (-2)^y\\&=f(x)\cdot f(y) \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow f(x+y)&=f(x)\cdot f(y), \end{align*}$ $\begin{align*}\forall x,y\in \mathbb{Z}.\end{align*}$

Un exemplu de izomorfism între grupurile $\begin{align*} (\mathbb{R},+)\end{align*}$ și $\begin{align*} \big( (0,+\infty),\cdot\big)\end{align*}$ este funcția $\begin{align*} f:\mathbb{R}\to (0,+\infty), \end{align*}$ dată de legea $\begin{align*} f(x)=3^x. \end{align*}$

Într-adevăr, funcția exponențială $\begin{align*} f \end{align*}$ este bijectivă și îndeplinește condiția:

$\begin{align*} f(m+n)&=3^{m+n}\\&=3^m\cdot 3^n\\&=f(m)\cdot f(n) \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow f(m+n)&=f(m)\cdot f(n), \end{align*}$ oricare ar fi $\begin{align*}m,n\in \mathbb{Z}.\end{align*}$

Teorema SA18: Morfism de grupuri care au element neutru

Fie grupurile $(G_1,\cdot)$ și $(G_2,\cdot),$ care au elementele neutre e_1 și, respectiv e_2.

Fie funcția $f:G_1\to G_2$ un morfism între cele două grupuri.

Atunci avem următoarele relații:

$f(x^{-1})=\big(f(x)\big)^{-1},$ pentru orice $x\in G_1;$
$f(x^n)=\big(f(x)\big)^n,$ oricare ar fi $x\in G_1$ și $n\in\mathbb{Z}.$

În scriere aditivă (adică referitor la operația de adunare), relațiile de mai sus pot fi scrise astfel:

pentru orice $x\in G_1;$
oricare ar fi $x\in G_1$ și $n\in\mathbb{Z}.$

Teorema SA19: Relații între grupuri

Fie grupurile $(G_1,\cdot),(G_2,\cdot)$ și $(G_3,\cdot).$

Dacă $f:G_1\to G_2$ și $g:G_2\to G_3$ sunt două morfisme de grupuri, atunci și funcția $h:G_1\to G_3,$ dată de legea $h=g\circ f$ este un morfism de grupuri.
Dacă $f:G_1\to G_2$ este un izomorfism de grupuri, atunci funcția $f^{-1}:G_2\to G_1$ este un izomorfism de grupuri.

Definiția SA20: Automorfism și endomorfism de grupuri

Fie grupurile $(G_1,\circ)$ și $(G_2,\ast).$

Dacă grupurile $(G_1,\circ)$ și $(G_2,\ast)$ concid, atunci funcția $f:G_1\to G_1$ se numește automorfism al grupului $(G_1,\circ)$ .

Un morfism $f:G_1\to G_1$ se numește endomorfism al grupului G_1.

Mulțimea endomorfismelor unui grup G_1 o notăm cu End(G_1), iar mulțimea automorfismelor lui G_1 o notăm cu Aut(G_1).

Teorema SA21:

Fie grupul $(G,\circ)$ . Atunci:

$(End(G),\circ)$ este un monoid;
$(Aut(G),\circ)$ este un grup.

Subgrup

Fie grupul în notație multiplicativă $(G,\cdot)$ și o submulțimea nevidă, $H\subset G.$

Definiția SA22: Subgrup

Spunem că mulțimea este un subgrup al lui dacă perechea $(H,\cdot)$ formează un grup.

Exemple:

Grupul aditiv $(\mathbb{Z},+)$ este un subgrup al grupurilor aditive $(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+).$
$\big((0,+\infty),\cdot\big)$ este un subgrup al grupurilor multiplicative $(\mathbb{R}^\ast,\cdot),(\mathbb{C}^\ast,\cdot).$
Mulțimea $H=\left \{ \hat{0}, \hat{3}, \hat{5} \right \}$ este un subgrup al grupului $(\mathbb{Z}_6,+).$

Definiția SA23: Subgrupuri improprii și subgrupuri proprii

Dacă grupul $(G,\cdot)$ admite element neutru, notat cu atunci $(\left \{ e \right \},\cdot)$ și $(G,\cdot)$ sunt subgrupuri ale lui numite subgrupuri improprii.
Numim subgrupuri proprii, orice subgrup al lui care este diferit de subgrupurile $\left \{ e \right \}$ și

Teorema SA24: Proprietăți ale subgrupului H

Fie grupul $(G,\cdot)$ și submulțimea $H\subset G, H\neq \varnothing .$

Dacă cele două mulțimi au ca și elemente neutre pe $e\in G$ , respectiv ${e}'\in H,$ atunci avem următoarea egalitate:
Dacă pentru elementul $x\in H$ , avem simetricele și ale lui în , respectiv în , atunci avem egalitatea:

Din această teoremă putem trage concluzia că elementul neutru al unui grup $(G,\cdot)$ este element neutru în orice subgrup al acelui grup, iar simetricul unui element din subgrup, $x\in H,$ coincide cu simetricul lui în

Teorema SA25: Echivalența unor afirmații

Fie grupul notat $(G,\cdot)$ și submulțimea nevidă , $H\subset G.$

Următoarele afirmații sunt echivalente:

este un subgrup al lui
Pentru orice $x,y\in H,$ avem că $xy^{-1}\in H;$
este parte stabilă a lui pentru orice element $x\in H,$ ne rezultă că $x^{-1}\in H.$

Exercițiu rezolvat:

Fie grupurile $(G_1,\cdot )$ și $(G_2,\cdot )$ care admit ca și elemente neutre pe e_1, respectiv pe e_2, iar funcția $f: G_1\to G_2$ reprezintă un morfism de grupuri.

Să se arate că mulțimile $Ker f=\left \{ x\in G_1\ |\ f(x)=e_2 \right \}\subset G_1$ și $Im f=\left \{ f(x)\ |\ x\in G_1 \right \}\subset G_2$ sunt subgrupuri ale grupurilor G_1, respectiv G_2.

Rezolvare:

Arătăm că Ker f este un subgrup al grupului G_1.

Pentru început, luam două elemente din mulțimea Ker f ; fie $x,y\in Ker f.$

Conform definiției mulțimii Ker f , avem că f(x)=e_2 , respectiv f(y)=e_2.

Obținem că:

$\begin{align*} f(x\cdot y^{-1})&=f(x)\cdot f(y^{-1})\\&=f(x)\cdot\big(f(y)\big)^{-1}\\&=e_2\cdot e_2^{-1}\\&=e_2 \end{align*}$

Așadar $\begin{align*} x\cdot y^{-1}\in Ker f \end{align*}$ și conform Teoremei SA25: Echivalența unor afirmații am demonstrat că Ker f este un subgrup al grupului G_1.

Arătăm acum că $\begin{align*} Im f \end{align*}$ este un subgrup al grupului $\begin{align*} G_2. \end{align*}$

Luăm două elemente din mulțimea $\begin{align*} Im f \end{align*}$ . Există $\begin{align*} x_1,y_1\in G_1, \end{align*}$ astfel încât $\begin{align*} f(x_1)=x \end{align*}$ și $\begin{align*} f(y_1)=y. \end{align*}$

Din faptul că $\begin{align*} x_1\cdot y_1\in G_1 \end{align*}$ , ne rezultă că:

$\begin{align*} x\cdot y^{-1}&=f(x_1)\cdot\big(f(y_1)\big)^{-1}\\ &=f(x_1)\cdot f(y_1^{-1})\\ &=f(x_1\cdot y_1^{-1})\in Im f \end{align*}$

Cu alte cuvinte, am demonstrat că $\begin{align*} Im f \end{align*}$ este un subgrup al grupului $\begin{align*} G_2. \end{align*}$

Definiția SA26: Nucleul și imaginea unui morfism

Spunem că subgrupurile Ker f și $\begin{align*} Im f \end{align*}$ se numesc nucleul, respectiv imaginea morfismului $\begin{align*} f. \end{align*}$

Observații:

Dacă $\begin{align*} H_1,H_2,\dotsc,H_n \end{align*}$ sunt subgrupuri ale lui $\begin{align*} G, \end{align*}$ atunci $\begin{align*} H_1\cap H_2\cap \dotsc\cap H_n \end{align*}$ este un subgrup al lui $\begin{align*} G. \end{align*}$
Dacă $\begin{align*} H_1,H_2\end{align*}$ sunt subgrupuri proprii ale lui $\begin{align*} G, \end{align*}$ atunci $\begin{align*} G\ne H_1\cup H_2.\end{align*}$

Subgrupurile grupului aditiv $\begin{align}(\mathbb{Z},+) \end{align}$

Fie $\begin{align*} (\mathbb{Z},+) \end{align*}$ grupul aditiv al numerelor întregi.

Teorema SA27:

Fie o mulțime nevidă, $\begin{align*} H\subset \mathbb{Z} \end{align*}$ .

Spunem că $\begin{align*} H\end{align*}$ este un subgrup al grupului aditiv $\begin{align*} (\mathbb{Z},+) \end{align*}$ , dacă și numai dacă există $\begin{align*} n\in \mathbb{N}, \end{align*}$ astfel încât $\begin{align*} H=n\mathbb{Z}=\left \{ nx \ | \ x\in \mathbb{Z}\right \}. \end{align*}$

Exercițiu rezolvat:

Fie grupul aditiv al numerelor întregi, notat $(\mathbb{Z},+)$ . Să se determine intersecția subgrupurilor $3\mathbb{Z}$ și $4\mathbb{Z}$ .

Rezolvare:

Luăm un element din intersecția celor două subgrupuri, adică fie $x\in 3\mathbb{Z}\cap 4\mathbb{Z}.$

Cum $x\in 3\mathbb{Z}\cap 4\mathbb{Z}$ , ne rezultă că elementul ales este în ambele subgrupuri, adică $x\in3\mathbb{Z}$ și $x\in4\mathbb{Z}.$

În acest caz, există $m,n\in\mathbb{Z}$ , astfel încât x=3m și x=4n.

Obținem că 3m=4n , de unde ne rezultă că trebuie să fie un număr par, adică de tipul m=4k.

Astfel avem că $x=3\cdot4k=12k;$ așadar, avem că $3\mathbb{Z}\cap 4\mathbb{Z}\subset 12\mathbb{Z}.$

Demonstrăm acum și incluziunea inversă: $12\mathbb{Z}\subset 3\mathbb{Z}\cap 4\mathbb{Z}.$

Pentru a demonstra acest lucru, luăm un element din mulțimea $12\mathbb{Z}$ : fie $x\in12\mathbb{Z}.$

Atunci elementul ales este de forma x=12p, cu $p\in\mathbb{Z}.$

În acest caz, vom avea: $x=12p=4\cdot(3p)\in3\mathbb{Z}$ și $x=12p=3\cdot(4p)\in4\mathbb{Z}.$

Astfel, am arătat că $x\in3\mathbb{Z}\cap 4\mathbb{Z}.$

În concluzie, având cele două incluziuni, ne rezultă că $3\mathbb{Z}\cap 4\mathbb{Z}=12\mathbb{Z}.$

Grupul finit și grupul infinit

Fie o mulțime nevidă și o lege de compoziție pe această mulțime, $\varphi :G\times G\to G, (x,y)\to\varphi (x,y)\overset{\text{not}}= x\circ y.$

Definiția SA28 : Grup finit și infinit

Numim grup finit, grupul $(G,\circ)$ , al cărei mulțime este finită.

Dacă mulțimea nu este finită, atunci spunem că grupul $(G,\circ)$ este un grup infinit.

Exemple de grupuri finite:

Grupurile și subgrupurile ciclice, grupurile de permutări, grupurile diedrale (grupurile de izometrii ale planului euclidian care invariază poligoanele regulate) sunt câteva din grupurile finite.

Subgrupul generat de un element

Fie grupul $(G,\cdot)$ și un element $a\in G$ . Notăm cu $\left \langle a \right \rangle=\left \{ a^n\ | \ n\in \mathbb{Z} \right \}$ mulțimea puterilor întregi ale elementului

Această mulțimea a puterilor întregi ale elementului , notată $\left \langle a \right \rangle$ , este parte stabilă a mulțimii a grupului $(G,\cdot)$ .

Dacă $x,y\in\left \langle a \right \rangle,$ atunci există $p,q\in\mathbb{Z},$ astfel încât x=a^p și y=a^q.

Atunci avem că:

$xy^{-1}=a^p\cdot(a^q)^{-1}=a^p\cdot a^{-q}=a{p-q}\in\left \langle a \right \rangle.$

Conform Teoremei SA24: Proprietăți ale subgrupului H avem că mulțimea $\left \langle a \right \rangle$ este un subgrup al grupului

Definiția SA29: Subgrupul ciclic

Subgrupul notat mai sus prin mulțimea $\left \langle a \right \rangle$ se numește subgrupul ciclic generat de elementul $a\in G.$

Exemple:

Mulțimea $\left \langle e \right \rangle=\left \{ e \right \}$ este subgrupul nul al grupului
În grupul aditiv al numerelor întregi, $(\mathbb{Z},+),$ avem subgrupurile $\left \langle 2 \right \rangle=2\mathbb{Z}, \left \langle 4 \right \rangle=4\mathbb{Z},\left \langle 5 \right \rangle=5\mathbb{Z}$ și așa mai departe, iar în general aceste subgrupuri se notează astfel : $\left \langle n \right \rangle=n\mathbb{Z}.$
În grupul multiplicativ al numerelor complexe nenule, $(\mathbb{C}^\ast,\cdot),$ avem subgrupul $\left \langle i \right \rangle=\left \{ -1,1,i,-i \right \}=U_4.$
În grupul aditiv al claselor de resturi modulo , cu adică $(\mathbb{Z}_9,+),$ avem subgrupurile $\left \langle \hat{3} \right \rangle=\left \{ \hat{0},\hat{3},\hat{6},\hat{9}\right \}$ , $\left \langle \hat{6} \right \rangle=\left \{ \hat{0},\hat{6}\right \}$ , $\left \langle \hat{1} \right \rangle=\mathbb{Z}_9,$ etc.

Observație:

În orice grup de tipul $(G,\cdot)$ avem subgrupul $\left \langle x \right \rangle=\left \langle x^{-1} \right \rangle.$

Tabla operației

Definiția SA30 : Tabla operației

Dacă grupul $(G,\circ)$ este finit, atunci în tabla operației sau tabla lui Cayley a grupului, pe fiecare linie (sau coloană) toate elementele sunt distincte.

Într-adevăr: dacă, de exemplu, pe linia ar fi două elemente egale, atunci ele ar avea forma $a_i\cdot a_k=a_i\cdot a_m.$

Din legile de simplificare enunțate în Teorema SA13: Legi de simplificare, mai exact din legea de simplificare la stânga, obținem că a_k=a_m, ceea ce nu se poate.

Tabla operației se construiește astfel:

Exercițiu rezolvat:

Fie $(A,\cdot )$ un grup, unde $A=\left \{ a,b,c,d,e \right \}.$ Dacă ab=d,ca=e și dc=b, să se alcătuiască tabla grupului.

Rezolvare:

Elementul al mulțimii este elementul neutru al grupului. Atunci tabla grupului este următoarea:

unde am evidențiat relațiile date prin colorarea rezultatelor cu roșu.

Ordinul unui element într-un grup

Fie un grup, notat $(G,\cdot )$ și un element $a\in G.$

Definiția SA31 : Ordinul grupului G

Dacă $G=\left \{ a_1,a_2,\dotsc,a_n \right \},$ numărul $n\in\mathbb{N}^\ast$ se numește ordinul grupului (adică cardinalul mulțimii ). Notăm acest ordin astfel: ord(G) .

Deoarece $ord(\mathbb{Z}_n)=n$ ne rezultă că există grupuri finite de orice ordin.

Definiția SA32: Ordinul elementului a

Ordinul subgrupului $\left \langle a \right \rangle$ , notat cu ord(a) , se numește ordin al elementului

Definiția SA33: Ordin finit și ordin infinit

Un element $a\in G$ este numit de ordin finit, dacă $ord(a)\in\mathbb{N}^\ast$ și în caz contrar, elementul $a\in G$ se numește de ordin infinit.

Exemple:

În orice grup $(G,\cdot )$ , Cu alte cuvinte, spunem că elementul neutru al grupului este singurul element de ordinul
Dacă $a\in G$ , se observă ușor că este cel mai mic număr natural nenul pentru care

Teorema SA34:

Fie $(G,\cdot )$ un grup, un element $a\in G\setminus \left \{ e \right \}$ și ordinul elementului notat cu n=ord(a).

Dacă $p\in\mathbb{Z},$ astfel încât a^p=e, atunci $n\ |\ p.$

Într-adevăr:

Fie elementul a^p=e din grupul dat, cu $p\in\mathbb{Z}.$

Atunci, din teorema împărțirii cu rest, ne rezultă că există un cât $q\in\mathbb{Z}$ și un rest $r\in\left \{ 0,1,2,\dotsc,n-1 \right \},$ astfel încât p=nq+r.

Dacă $r\ne0,$ obținem că:

$e=a^p=a^{nq+r}=a^{nq}\cdot a^r=(a^n)^q\cdot a^r=e\cdot a^r=a^r,$

ceea ce este în contradicție cu definirea ordinului unui elementul.

În concluzie, r=0 și p=nq, de unde obținem că $n\ |\ p.$

Teoreme remarcabile în teoria grupurilor finite

Fie grupul $(G,\cdot )$ și un subgrup al lui notat cu

Pentru $x\in G,$ se notează următoarea mulțimea $xH=\left \{ xh\ | \ h\in H \right \}.$

Teorema SA35:

Fie grupul finit $(G,\cdot )$ , subgrupul lui , notat cu și elementele $x,y\in G.$

Atunci:

mulțimile și au același număr de elemente;
sau $xH\cap yH=\varnothing.$

Cu alte cuvinte, această teoremă ne arată că dacă este un subgrup al grupului $(G,\cdot )$ , mulțimea poate fi partiționată în submulțimi cu același număr de elemente de forma xH, cu $x\in G.$

Deci, există elementele $x_1,x_2,\dotsc, x_p\in G,$ astfel încât $G=(x_1H)\cup (x^2H)\cup \dotsc\cup (x_pH),$ unde mulțimile $x_1H,x^2H,\dotsc,x_pH$ sunt disjuncte două câte două, adică $x_iH\cap x_jH=\varnothing,$ oricare ar fi $i\ne j,$ cu $i, j\in\left \{ 1,2,\dotsc,p \right \}.$

Teorema SA36: Lagrange J.L.

Fie grupul finit $(G,\cdot )$ și ordinul său, notat cu n=ord(G).

Dacă avem un subgrup al lui notat cu atunci ordinul subgrupului va divide ordinul grupului, adică $ord(H)\ | \ ord(G).$
Dacă avem un element $a\in G,$ atunci ordinul elementului divide ordinul grupului, adică $ord(a)\ | \ ord(G).$

Exercițiu rezolvat:

Avem un grup finit, notat $(G,\cdot )$ , care are ordinul ord(G)=p.

Să se arate că, dacă este un număr prim, atunci grupul nu are subgrupuri proprii.

Rezolvare:

Pentru a rezolva acest exercițiu, căutăm un subgrup al grupului dat, astfel încât ordinul acelui subgrup să dividă ordinul grupului.

Atunci, fie $H\subset G$ un subgrup al lui .

Conform Teoremei SA36: Lagrange J.L. avem că ordinul acestui subgrup ales, divide numărul , adică $ord(H)\ | \ p,$ de unde ne rezultă că $ord(H)\in\left \{ 1,p \right \}.$

Așadar, subgrupul ales poate fi $H=\left \{ e \right \}$ sau H=G, de unde obținem că acest subgrup este unul impropriu. Cu alte cuvinte, dacă este un număr prim, atunci grupul nu are subgrupuri proprii.

Observație:

Grupurile aditive $(\mathbb{Z}_2,+),(\mathbb{Z}_3,+),\dotsc,(\mathbb{Z}_p,+),\dotsc,$ cu un număr prim, nu au subgrupuri proprii.

Teorema SA37: Euler

Fie $n\in \mathbb{N}^\ast.$ Dacă $a\in \mathbb{Z},$ astfel încât (a,n)=1 (adică sunt prime între ele), atunci $a^{\varphi (n)}-1\equiv 0(\bmod \ n).$

Într-adevăr:

Fie monoidul $(\mathbb{Z}_n,\cdot )$ și grupul elementelor inversabile ale acestui monoid, notat $\big(\mathcal{U}(\mathbb{Z}_n),\cdot\big).$

Cum $ord\big(\mathcal{U}(\mathbb{Z}_n))=\varphi (n),$ pentru (a,n)=1, ne rezultă că $a^{\varphi (n)}=\hat{1},$ ceea ce este echivalent cu $a^{\varphi (n)}-1\equiv 0(\bmod \ n).$

O consecință a teoremei lui Euler, prezentată mai sus, este următoarea teoremă:

Teorema SA38: Fermat

Dacă $p\in \mathbb{N}$ este un număr prim, atunci pentru un element $a\in \mathbb{Z},$ cu (a,p)=1 , se obține că $\varphi (p)=p-1$ și $a^{p-1}\equiv 1(\bmod \ p).$

Teorema SA39: Cauchy

Fie un grup finit cu $\left |G \right |=n,$ cu $n\geq 2.$ Dacă este un divizor prim al lui , atunci exista în un element de ordin .