Morfism de grupuri și izomorfism de grupuri

Fie grupurile (G_1,\circ) și (G_2,\ast).

Definiția SA15: Morfim de grupuri 

Numim morfism (omomorfism) de grupuri funcția f:G_1\to G_2, dacă verifică relația f(x\circ y)=f(x)\ast f(y), oricare ar fi x,y\in G_1.

Definiția SA16: Izomorfism de grupuri 

Spunem că funcția f:G_1\to G_2, este un izomorfism de grupuri, dacă funcția f este morfism de grupuri și este o funcție bijectivă (adică este o funcție injectivă și totodată este și o funcție surjectivă).

Definiția SA17: Grupuri izomorfe 

Grupurile (G_1,\circ) și (G_2,\ast) se numesc grupuri izomorfe, notându-se  G_1\simeq G_2, dacă între ele există cel puțin un izomorfism de grupuri, f:G_1\to G_2,.

Cele două grupuri (G_1,\circ) și (G_2,\ast) nu sunt izomorfe și notăm  G_1G_2,  atunci când nu există un izomorfism de grupuri, f:G_1\to G_2.

În figura de mai jos se poate observa mai bine noțiunea de morfism de grupuri:

Exemple:

  1. Fie funcția f:\mathbb{Z}\to \left \{ -2,2 \right \}, dată de legea f(n)=(-2)^n. Această funcție este un morfism între grupurile (\mathbb{Z},+) și (\{-2,2\},\cdot), deoarece este verificată relația \begin{align*} f(x+y)&=f(x)\cdot f(y) ,\end{align*} pentru orice \begin{align*}x,y\in \mathbb{Z}.\end{align*}

Într-adevăr, avem că:

\begin{align*} f(x+y)&=(-2)^{x+y}\\&=(-2)^x\cdot (-2)^y\\&=f(x)\cdot f(y) \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow f(x+y)&=f(x)\cdot f(y), \end{align*}  \begin{align*}\forall x,y\in \mathbb{Z}.\end{align*}

  1. Un exemplu de izomorfism între grupurile \begin{align*} (\mathbb{R},+)\end{align*} și \begin{align*} \big( (0,+\infty),\cdot\big)\end{align*} este funcția \begin{align*} f:\mathbb{R}\to (0,+\infty), \end{align*} dată de legea \begin{align*} f(x)=3^x. \end{align*}

Într-adevăr, funcția exponențială \begin{align*} f \end{align*} este bijectivă și îndeplinește condiția:

\begin{align*} f(m+n)&=3^{m+n}\\&=3^m\cdot 3^n\\&=f(m)\cdot f(n) \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow f(m+n)&=f(m)\cdot f(n), \end{align*} oricare ar fi \begin{align*}m,n\in \mathbb{Z}.\end{align*}

Teorema SA18: Morfism de grupuri care au element neutru 

Fie grupurile (G_1,\cdot) și (G_2,\cdot), care au elementele neutre e_1 și, respectiv e_2. 

Fie funcția f:G_1\to G_2 un morfism între cele două grupuri.

Atunci avem următoarele relații:

  1. f(e_1)=e_2;
  2. f(x^{-1})=\big(f(x)\big)^{-1}, pentru orice x\in G_1;
  3. f(x^n)=\big(f(x)\big)^n, oricare ar fi x\in G_1 și n\in\mathbb{Z}.

În scriere aditivă (adică referitor la operația de adunare), relațiile de mai sus pot fi scrise astfel: 

  1. f(0)=0;
  2. f(-x)=-f(x), pentru orice x\in G_1;
  3. f(nx)=nf(x), oricare ar fi x\in G_1 și n\in\mathbb{Z}.

 Teorema SA19: Relații între grupuri 

Fie grupurile  (G_1,\cdot),(G_2,\cdot) și (G_3,\cdot).

  1. Dacă f:G_1\to G_2 și g:G_2\to G_3 sunt două morfisme de grupuri, atunci și funcția  h:G_1\to G_3, dată de legea h=g\circ f este un morfism de grupuri.
  2. Dacă f:G_1\to G_2 este un izomorfism de grupuri, atunci funcția  f^{-1}:G_2\to G_1 este un izomorfism de grupuri.

Definiția SA20: Automorfism și endomorfism de grupuri 

Fie grupurile (G_1,\circ) și (G_2,\ast).

Dacă grupurile  (G_1,\circ) și  (G_2,\ast) concid, atunci funcția f:G_1\to G_1 se numește automorfism al grupului (G_1,\circ).

Un morfism f:G_1\to G_1 se numește endomorfism al grupului G_1.

Mulțimea endomorfismelor unui grup  G_1 o notăm cu End(G_1), iar mulțimea automorfismelor lui  G_1 o notăm cu Aut(G_1).

Teorema SA21: 

Fie grupul (G,\circ). Atunci:

  1. (End(G),\circ) este un monoid;
  2. (Aut(G),\circ) este un grup.

Subgrup

Fie grupul în notație multiplicativă (G,\cdot) și o submulțimea nevidă, H\subset G.

Definiția SA22: Subgrup 

Spunem că mulțimea H este un subgrup al lui  G, dacă perechea (H,\cdot) formează un grup.

Exemple:

  1. Grupul aditiv (\mathbb{Z},+) este un subgrup al grupurilor aditive (\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+).
  2. \big((0,+\infty),\cdot\big) este un subgrup al grupurilor multiplicative (\mathbb{R}^\ast,\cdot),(\mathbb{C}^\ast,\cdot).
  3. Mulțimea H=\left \{ \hat{0}, \hat{3}, \hat{5} \right \} este un subgrup al grupului (\mathbb{Z}_6,+).

Definiția SA23: Subgrupuri improprii și subgrupuri proprii 

  1. Dacă grupul  (G,\cdot) admite element neutru, notat cu  e, atunci  (\left \{ e \right \},\cdot) și  (G,\cdot) sunt subgrupuri ale lui  G, numite subgrupuri improprii.
  2. Numim subgrupuri proprii, orice subgrup al lui  G care este diferit de subgrupurile \left \{ e \right \} și G.

Teorema SA24: Proprietăți ale subgrupului H

Fie grupul (G,\cdot) și submulțimea H\subset G, H\neq \varnothing .

  1. Dacă cele două mulțimi au ca și elemente neutre pe e\in G, respectiv {e}'\in H, atunci avem următoarea egalitate: e={e}'.
  2. Dacă pentru elementul x\in H, avem simetricele {x}' și {x}'' ale lui x în G, respectiv în H, atunci avem egalitatea: {x}'={x}''.

Din această teoremă putem trage concluzia că elementul neutru al unui grup (G,\cdot) este element neutru în orice subgrup H al acelui grup, iar simetricul unui element din subgrup, x\in H, coincide cu simetricul lui x în G.

Teorema SA25: Echivalența unor afirmații 

Fie grupul notat (G,\cdot) și submulțimea nevidă HH\subset G.

Următoarele afirmații sunt echivalente:

  1. H este un subgrup al lui  G;
  2. Pentru orice  x,y\in H, avem că  xy^{-1}\in H;
  3. H este parte stabilă a lui G; pentru orice element x\in H, ne rezultă că x^{-1}\in H.

Exercițiu rezolvat:

Fie grupurile (G_1,\cdot ) și (G_2,\cdot ) care admit ca și elemente neutre pe e_1, respectiv pe e_2, iar funcția f: G_1\to G_2 reprezintă un morfism de grupuri.

Să se arate că mulțimile Ker f=\left \{ x\in G_1\ |\ f(x)=e_2 \right \}\subset G_1 și Im f=\left \{ f(x)\ |\ x\in G_1 \right \}\subset G_2  sunt subgrupuri ale grupurilor G_1, respectiv G_2.

Rezolvare:

Arătăm că Ker f este un subgrup al grupului G_1.

Pentru început, luam două elemente din mulțimea Ker f; fie x,y\in Ker f.

Conform definiției mulțimii Ker f, avem că f(x)=e_2, respectiv f(y)=e_2. 

Obținem că:

\begin{align*} f(x\cdot y^{-1})&=f(x)\cdot f(y^{-1})\\&=f(x)\cdot\big(f(y)\big)^{-1}\\&=e_2\cdot e_2^{-1}\\&=e_2 \end{align*}

Așadar \begin{align*} x\cdot y^{-1}\in Ker f \end{align*} și conform Teoremei SA25: Echivalența unor afirmații am demonstrat că Ker f este un subgrup al grupului G_1.

Arătăm acum că \begin{align*} Im f \end{align*} este un subgrup al grupului \begin{align*} G_2. \end{align*}

Luăm două elemente din mulțimea \begin{align*} Im f \end{align*}. Există \begin{align*} x_1,y_1\in G_1, \end{align*} astfel încât \begin{align*} f(x_1)=x \end{align*} și \begin{align*} f(y_1)=y. \end{align*}

Din faptul că \begin{align*} x_1\cdot y_1\in G_1 \end{align*}, ne rezultă că:

\begin{align*} x\cdot y^{-1}&=f(x_1)\cdot\big(f(y_1)\big)^{-1}\\ &=f(x_1)\cdot f(y_1^{-1})\\ &=f(x_1\cdot y_1^{-1})\in Im f \end{align*}

Cu alte cuvinte, am demonstrat că \begin{align*} Im f \end{align*} este un subgrup al grupului \begin{align*} G_2. \end{align*}

Definiția SA26: Nucleul și imaginea unui morfism 

Spunem că subgrupurile Ker f și \begin{align*} Im f \end{align*} se numesc nucleul, respectiv imaginea morfismului \begin{align*} f. \end{align*}

Observații:

  • Dacă \begin{align*} H_1,H_2,\dotsc,H_n \end{align*} sunt subgrupuri ale lui \begin{align*} G, \end{align*} atunci \begin{align*} H_1\cap H_2\cap \dotsc\cap H_n \end{align*} este un subgrup al lui \begin{align*} G. \end{align*}
  • Dacă \begin{align*} H_1,H_2\end{align*}  sunt subgrupuri proprii ale lui \begin{align*} G, \end{align*} atunci \begin{align*} G\ne H_1\cup H_2.\end{align*}

Subgrupurile grupului aditiv \begin{align*}(\mathbb{Z},+) \end{align*}

Fie \begin{align*} (\mathbb{Z},+) \end{align*} grupul aditiv al numerelor întregi.

Teorema SA27: 

Fie o mulțime nevidă, \begin{align*} H\subset \mathbb{Z} \end{align*}.

Spunem că \begin{align*} H\end{align*} este un subgrup al grupului aditiv \begin{align*} (\mathbb{Z},+) \end{align*}, dacă și numai dacă există \begin{align*} n\in \mathbb{N}, \end{align*} astfel încât \begin{align*} H=n\mathbb{Z}=\left \{ nx \ | \ x\in \mathbb{Z}\right \}. \end{align*}

Exercițiu rezolvat:

Fie grupul aditiv al numerelor întregi, notat (\mathbb{Z},+). Să se determine intersecția subgrupurilor 3\mathbb{Z} și 4\mathbb{Z}.

Rezolvare:

Luăm un element din intersecția celor două subgrupuri, adică fie x\in 3\mathbb{Z}\cap 4\mathbb{Z}.

Cum x\in 3\mathbb{Z}\cap 4\mathbb{Z}, ne rezultă că elementul ales x este în ambele subgrupuri, adică x\in3\mathbb{Z} și x\in4\mathbb{Z}.

În acest caz, există m,n\in\mathbb{Z}, astfel încât x=3m și x=4n.

Obținem că 3m=4n, de unde ne rezultă că m trebuie să fie un număr par, adică de tipul m=4k.

Astfel avem că x=3\cdot4k=12k; așadar, avem că 3\mathbb{Z}\cap 4\mathbb{Z}\subset 12\mathbb{Z}.

Demonstrăm acum și incluziunea inversă: 12\mathbb{Z}\subset 3\mathbb{Z}\cap 4\mathbb{Z}.

Pentru a demonstra acest lucru, luăm un element din mulțimea 12\mathbb{Z}: fie x\in12\mathbb{Z}.

Atunci elementul ales este de forma x=12p, cu p\in\mathbb{Z}.

În acest caz, vom avea: x=12p=4\cdot(3p)\in3\mathbb{Z} și x=12p=3\cdot(4p)\in4\mathbb{Z}.

Astfel, am arătat că x\in3\mathbb{Z}\cap 4\mathbb{Z}.

În concluzie, având cele două incluziuni, ne rezultă că 3\mathbb{Z}\cap 4\mathbb{Z}=12\mathbb{Z}.

Grupul finit și grupul infinit

Fie G o mulțime nevidă și o lege de compoziție pe această mulțime, \varphi :G\times G\to G, (x,y)\to\varphi (x,y)\overset{\text{not}}= x\circ y.

Definiția SA28 : Grup finit și infinit

Numim grup finit, grupul (G,\circ), al cărei mulțime G este finită.

Dacă mulțimea G nu este finită, atunci spunem că grupul (G,\circ) este un grup infinit.

Exemple de grupuri finite:

Grupurile și subgrupurile ciclice, grupurile de permutări, grupurile diedrale (grupurile de izometrii ale planului euclidian care invariază poligoanele regulate) sunt câteva din grupurile finite.

Subgrupul generat de un element

Fie grupul (G,\cdot) și un element a\in G. Notăm cu  \left \langle a \right \rangle=\left \{ a^n\ | \ n\in \mathbb{Z} \right \} mulțimea puterilor întregi ale elementului a.

Această mulțimea a puterilor întregi ale elementului a, notată \left \langle a \right \rangle, este parte stabilă a mulțimii G a grupului (G,\cdot).

Dacă x,y\in\left \langle a \right \rangle, atunci există p,q\in\mathbb{Z}, astfel încât x=a^p și y=a^q. 

Atunci avem că:

xy^{-1}=a^p\cdot(a^q)^{-1}=a^p\cdot a^{-q}=a{p-q}\in\left \langle a \right \rangle.

Conform Teoremei SA24: Proprietăți ale subgrupului H avem că mulțimea \left \langle a \right \rangle este un subgrup al grupului G. 

Definiția SA29: Subgrupul ciclic 

Subgrupul notat mai sus prin mulțimea  \left \langle a \right \rangle se numește subgrupul ciclic generat de elementul a\in G.

Exemple:

  1. Mulțimea \left \langle e \right \rangle=\left \{ e \right \} este subgrupul nul al grupului G.
  2. În grupul aditiv al numerelor întregi, (\mathbb{Z},+), avem subgrupurile \left \langle 2 \right \rangle=2\mathbb{Z}, \left \langle 4 \right \rangle=4\mathbb{Z},\left \langle 5 \right \rangle=5\mathbb{Z} și așa mai departe, iar în general  aceste subgrupuri se notează astfel : \left \langle n \right \rangle=n\mathbb{Z}.
  3. În grupul multiplicativ al numerelor complexe nenule, (\mathbb{C}^\ast,\cdot), avem subgrupul \left \langle i \right \rangle=\left \{ -1,1,i,-i \right \}=U_4.
  4. În grupul aditiv al claselor de resturi modulo n, cu n=9, adică (\mathbb{Z}_9,+), avem subgrupurile \left \langle \hat{3} \right \rangle=\left \{ \hat{0},\hat{3},\hat{6},\hat{9}\right \}\left \langle \hat{6} \right \rangle=\left \{ \hat{0},\hat{6}\right \}\left \langle \hat{1} \right \rangle=\mathbb{Z}_9, etc.

Observație:

În orice grup de tipul (G,\cdot) avem subgrupul \left \langle x \right \rangle=\left \langle x^{-1} \right \rangle.

Tabla operației

Definiția SA30 : Tabla operației 

Dacă grupul (G,\circ) este finit, atunci în tabla operației sau tabla lui Cayley a grupului, pe fiecare linie (sau coloană) toate elementele sunt distincte.

Într-adevăr: dacă, de exemplu, pe linia i ar fi două elemente egale, atunci ele ar avea forma a_i\cdot a_k=a_i\cdot a_m.

Din legile de simplificare enunțate în Teorema SA13: Legi de simplificare, mai exact din legea de simplificare la stânga, obținem că a_k=a_m, ceea ce nu se poate.

Tabla operației se construiește astfel:

Exercițiu rezolvat:

Fie (A,\cdot ) un grup, unde A=\left \{ a,b,c,d,e \right \}. Dacă ab=d,ca=e și dc=b, să se alcătuiască tabla grupului.

Rezolvare:

Elementul e al mulțimii A este elementul neutru al grupului. Atunci tabla grupului este următoarea:

,

unde am evidențiat relațiile date prin colorarea rezultatelor cu roșu.

Ordinul unui element într-un grup

Fie un grup, notat (G,\cdot ) și un element a\in G.

Definiția SA31 : Ordinul grupului G 

Dacă  G=\left \{ a_1,a_2,\dotsc,a_n \right \}, numărul n\in\mathbb{N}^\ast se numește ordinul grupului G (adică cardinalul mulțimii G). Notăm acest ordin astfel:  ord(G).

Deoarece ord(\mathbb{Z}_n)=n ne rezultă că există grupuri finite de orice ordin.

Definiția SA32: Ordinul elementului a

Ordinul subgrupului \left \langle a \right \rangle, notat cu ord(a), se numește ordin al elementului a.

Definiția SA33: Ordin finit și ordin infinit 

Un element a\in G este numit de ordin finit, dacă  ord(a)\in\mathbb{N}^\ast și în caz contrar, elementul a\in G se numește de ordin infinit.

Exemple:

  1. În orice grup (G,\cdot )ord(e)=1. Cu alte cuvinte, spunem că elementul neutru al grupului este singurul element de ordinul 1.
  2. Dacă a\in G, se observă ușor că ord(a) este cel mai mic număr natural nenul n, pentru care a^n=e.

Teorema SA34: 

Fie (G,\cdot ) un grup, un element  a\in G\setminus \left \{ e \right \} și ordinul elementului a, notat cu n=ord(a).

Dacă p\in\mathbb{Z}, astfel încât  a^p=e, atunci  n\ |\ p.

Într-adevăr:

Fie elementul a^p=e din grupul dat, cu p\in\mathbb{Z}. 

Atunci, din teorema împărțirii cu rest, ne rezultă că există un cât q\in\mathbb{Z} și un rest r\in\left \{ 0,1,2,\dotsc,n-1 \right \}, astfel încât p=nq+r.

Dacă r\ne0, obținem că:

e=a^p=a^{nq+r}=a^{nq}\cdot a^r=(a^n)^q\cdot a^r=e\cdot a^r=a^r,

ceea ce este în contradicție cu definirea ordinului unui elementul.

În concluzie, r=0 și p=nq, de unde obținem că n\ |\ p.

Teoreme remarcabile în teoria grupurilor finite

Fie grupul (G,\cdot ) și un subgrup al lui G, notat cu H.

Pentru x\in G, se notează următoarea mulțimea xH=\left \{ xh\ | \ h\in H \right \}.

Teorema SA35:

Fie grupul finit (G,\cdot ), subgrupul lui G, notat cu H și elementele x,y\in G.

Atunci:

  1. mulțimile H și xH au același număr de elemente;
  2. xH=yH sau xH\cap yH=\varnothing.

Cu alte cuvinte, această teoremă ne arată că dacă H este un subgrup al grupului (G,\cdot ), mulțimea G poate fi partiționată în submulțimi cu același număr de elemente de forma xH, cu x\in G.

Deci, există elementele x_1,x_2,\dotsc, x_p\in G, astfel încât G=(x_1H)\cup (x^2H)\cup \dotsc\cup (x_pH), unde mulțimile x_1H,x^2H,\dotsc,x_pH sunt disjuncte două câte două, adică x_iH\cap x_jH=\varnothing, oricare ar fi i\ne j, cu i, j\in\left \{ 1,2,\dotsc,p \right \}.

Teorema SA36: Lagrange J.L. 

Fie grupul finit (G,\cdot ) și ordinul său, notat cu n=ord(G).

  1. Dacă avem un subgrup al lui  G, notat cu H, atunci ordinul subgrupului va divide ordinul grupului, adică  ord(H)\ | \ ord(G).
  2. Dacă avem un element  a\in G, atunci ordinul elementului a divide ordinul grupului, adică  ord(a)\ | \ ord(G).

Exercițiu rezolvat:

Avem un grup finit, notat (G,\cdot ), care are ordinul ord(G)=p.

Să se arate că, dacă p este un număr prim, atunci grupul G nu are subgrupuri proprii.

Rezolvare:

Pentru a rezolva acest exercițiu, căutăm un subgrup al grupului dat, astfel încât ordinul acelui subgrup să dividă ordinul grupului.

Atunci, fie H\subset G un subgrup al lui G.

Conform Teoremei SA36: Lagrange J.L. avem că ordinul acestui subgrup ales, divide numărul p, adică ord(H)\ | \ p, de unde ne rezultă că ord(H)\in\left \{ 1,p \right \}.

Așadar, subgrupul H ales poate fi H=\left \{ e \right \} sau H=G, de unde obținem că acest subgrup este unul impropriu. Cu alte cuvinte, dacă p este un număr prim, atunci grupul G nu are subgrupuri proprii.

Observație:

  • Grupurile aditive (\mathbb{Z}_2,+),(\mathbb{Z}_3,+),\dotsc,(\mathbb{Z}_p,+),\dotsc, cu p un număr prim, nu au subgrupuri proprii.

Teorema SA37: Euler 

Fie n\in \mathbb{N}^\ast. Dacă a\in \mathbb{Z}, astfel încât (a,n)=1 (adică sunt prime între ele), atunci  a^{\varphi (n)}-1\equiv 0(\bmod \ n).

Într-adevăr:

Fie monoidul (\mathbb{Z}_n,\cdot ) și grupul elementelor inversabile ale acestui monoid, notat \big(\mathcal{U}(\mathbb{Z}_n),\cdot\big).

Cum  ord\big(\mathcal{U}(\mathbb{Z}_n))=\varphi (n),  pentru (a,n)=1, ne rezultă că a^{\varphi (n)}=\hat{1}, ceea ce este echivalent cu a^{\varphi (n)}-1\equiv 0(\bmod \ n).

O consecință a teoremei lui Euler, prezentată mai sus, este următoarea teoremă:

Teorema SA38: Fermat 

Dacă p\in \mathbb{N} este un număr prim, atunci pentru un element a\in \mathbb{Z}, cu (a,p)=1, se obține că \varphi (p)=p-1 și  a^{p-1}\equiv 1(\bmod \ p).

Teorema SA39: Cauchy 

Fie G un grup finit cu  \left |G \right |=n, cu n\geq 2. Dacă p este un divizor prim al lui n, atunci exista în G un element de ordin p.