Lege de compoziție

Primul capitol al Ghidului | Structuri algebrice intitulat Grupuri conține noțiuni teoretice referitoate la lege de compoziție, structură algebrică, grup și tupuri de grupuri, dintre care amintim monoidul. 

Însă, pentru a putea defini un grup avem nevoie să știm ce este o structură algebrică. La rândul ei, pentru a defini structura algebrică avem nevoie de noțiunea de lege de compoziție, așa că în prima pagină a acestui capitol ți se va reaminti definiția legii de compoziție.

Vei vedea că, în funcție de numărul de legi de compoziție componente avem structuri algebrice cu o singură lege de compoziție (monoidgrupuri și subgrupuri) și structuri algebrice cu două legi de compoziție (inele și corpuri).

Pentru a defini o structură algebrică, trebuie să știm ce este o lege de compoziție.

Reamintim definiția legii de compoziție, detaliată și explicată în ghidul Legi de compoziție:

Definiția SA1: Lege de compoziție 

Fie M o mulțime nevidă. 

O aplicație \varphi definită pe produsul cartezian M \times M cu valori în M

\varphi : M\times M\to M, \ (x,y)\mapsto \varphi (x,y)\in M, 

se numește lege de compoziție (operație algebrică) pe mulțimea M.

Exemple:

  1. Definim pe \mathbb{R} legea de compoziție x\circ y=7^{ x+y}.
  1. Să se arate că lege de compoziție dată este comutativă.
  2. Să se calculeze \left [ x\circ(-x) \right ]\circ1.
  3. Să se rezolve ecuația x\circ x^3=7^{10}.

Rezolvare:

  1. Conform proprietății de comutativitate, dată de Definiția LC16: Comutativitatea, din secțiunea Proprietăți ale legilor de compoziție, în cadrul ghidului Legi de compoziție, avem că x\circ y=y\circ x, pentru orice x,y\in\mathbb{R}.

Atunci: 

x\circ y=7^{ x+y}

și 

y\circ x=7^{y+x}.

Cum adunarea numerelor reale este comutativă, ne rezultă că y\circ x=7^{y+x}=7^{x+y}=x\circ y. Am arătat astfel că legea de compoziție dată este comutativă.

  1. Calculăm \left [ x\circ(-x) \right ]\circ1.

\begin{align*} [ x\circ(-x) ]\circ1&=7^{x+(-x)}\circ1\\\\ &=7^{x-x}\circ1\\\\ &=7^{0}\circ1\\\\&=1\circ1\\\\&=7^{1+1}\\\\&=7^2\\\\&=49 \end{align*}

S-a obținut \begin{align*} [ x\circ(-x) ]\circ1&=49. \end{align*}

  1. Rezolvăm ecuația x\circ x^3=7^{10}.

\begin{align*} &x\circ x^3=7^{10}\\\\ &\Leftrightarrow 7^{x+x^3}=7^{10}\\\\ &\Leftrightarrow x+x^3=10\\\\ &\Leftrightarrow x^3+x-10=0\\\\ &\Leftrightarrow x^3-8+x-2=0\\\\ &\Leftrightarrow x^3-2^3+x-2=0\\\\ &\Leftrightarrow (x-2)(x^2+2x+4)+(x-2)=0\\\\ &\Leftrightarrow (x-2)(x^2+2x+4+1)=0\\\\ &\Leftrightarrow (x-2)(x^2+2x+5)=0\\\\ &\Rightarrow x-2=0 \text{\ sau\ } x^2+2x+5=0 \end{align*}

Ne rezultă că \begin{align*} x=2\in \mathbb{R} \end{align*} sau, rezolvând a doua ecuație, obținem:

\begin{align*} x^2+2x+5=0 \end{align*}

\begin{align*} \Delta &=b^2-4ac \\&=2^2-4\cdot1\cdot 5\\&=4-20\\&=-16\end{align*}

Cum \begin{align*} \Delta =-16< 0\end{align*} și x\in\mathbb{R}, ne rezultă că această ecuație nu are soluții reale.

Ne rămâne așadar că doar x=2 este singura soluție reală care verifică ecuația dată.

  1. Definim pe \mathbb{R} legea de compoziție x\ast y=xy-3x-3y+12.
  1. Să se stabilească elementul neutru al acestei legi de compoziții.
  2. Să se afle numărul real a, care are proprietatea că  x\ast a=a, pentru orice x\in \mathbb{R} și să se verifice dacă pentru valoarea găsită a lui a, legea de compoziție "\ast" este comutativă.
  3. Să se calculeze (-2010)\ast(-2009)\ast\dotsc\ast(-1)\ast0\ast1\ast\dotsc\ast2010.

Rezolvare:

  1. Conform Definiției LC23: Elementul neutru al unei legi de compoziție, din secțiunea Proprietăți ale legilor de compoziție, în cadrul ghidului Legi de compoziție avem că există un element  e\in \mathbb{R}, astfel încât  x\circ e=e\circ x=x, pentru orice x\in\mathbb{R}.

Luăm x\ast e=x și îl aflăm pe e.

\begin{align*} &x\ast e=x\\\\ &\Leftrightarrow xe-3x-3e+12=x\\\\ &\Leftrightarrow xe-3e=x+3x-12\\\\&\Leftrightarrow e(x-3)=4x-12\\\\ &\Leftrightarrow e(x-3)=4(x-3)\\\\ &\Rightarrow e=4 \end{align*}

Am găsit că elementul neutru al acestei legi de compoziție este \begin{align*} e=4. \end{align*}

  1. Se află numărul real a din relația x\ast a=a, pentru orice x\in \mathbb{R}.

\begin{align*} &x\ast a=a\\ \\&\Leftrightarrow xa-3x-3a+12=a\\\\ &\Leftrightarrow (ax-3x)-3a+9+3-a=0\\\\ &\Leftrightarrow x(a-3)-3(a-3)-(a-3)=0\\\\ &\Leftrightarrow (a-3)(x-3-1)=0\\\\ &\Leftrightarrow (a-3)(x-4)=0\\\\ &\Rightarrow a-3=a \text{ \ sau \ } x-4=0\\\\ &\Leftrightarrow a=3 \text{ \ sau \ } x=4 \end{align*}

S-a obținut că relația dată este adevărată pentru \begin{align*} a=3\in \mathbb{R}. \end{align*}

Avem că x\ast 3=3, pentru orice x\in \mathbb{R}. Rămâne să arătăm că 3\ast x=3, pentru orice x\in \mathbb{R}.

Atunci:

\begin{align*} 3\ast x&= 3x-3\cdot3-3x+12\\ &=-9+12\\&=3 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow 3\ast x=3, \end{align*}  \forall\ x\in \mathbb{R}. 

Rezultă că legea de compoziție "\ast" este comutativă.

  1. Se calculează (-2010)\ast(-2009)\ast\dotsc\ast(-1)\ast0\ast1\ast\dotsc\ast2010.

De la subpunctul b. avem că legea de compoziție "\ast" este comutativă, adică x\ast y=y\ast x, pentru orice x,y\in \mathbb{R}.

Tot de la subpunctul anterior avem că x\ast3=3\ast x=3, pentru orice x\in \mathbb{R}.

Atunci, ne rezultă că:

\begin{align*} &(-2010)\ast(-2009)\ast\dotsc\ast(-1)\ast0\ast1\ast\dotsc\ast2010=\\ &=\left [(-2010)\ast(-2009)\ast\dotsc\ast(-1)\ast0\ast1\ast2 \right ]\ast3\ast4\ast\dotsc\ast2010\\ &=3\ast\left [4\ast\dotsc\ast2010 \right ]\\ &=3 \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow (-2010)\ast(-2009)\ast\dotsc\ast(-1)\ast0\ast1\ast\dotsc\ast2010=3. \end{align*}

Definiția SA2: Structură algebrică 

O mulțime nevidă înzestrată cu una sau mai multe legi de compoziție, care satisfac o serie de proprietăți, se numește structură algebrică.

Exemple de structuri algebrice:

  1. Structuri algebrice cu o lege de compoziție: monoizi, grupuri și subgrupuri.
  2. Structuri algebrice cu două legi de compoziție: inele și corpuri.

Despre monoid s-a vorbit în ghidul Legi de compoziție. Reamintim definiția monoidului:

Definiția SA3: Monoid 

Fie M o mulțime nevidă.

Perechea (M,\circ) se numește monoid dacă verifică următoarele axiome:

(M_1) axioma asociativității:  (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z), oricare ar fi x,y,z\in M.

(M_2) axioma elementului neutru: există e\in M, astfel încât  x\circ e=e\circ x, pentru orice x\in M.

Dacă, în plus, legea de compoziție _"\circ" este comutativă, monoidul se numește monoid comutativ sau abelian.

Exemple:

  • Perechile (\mathbb{N},+), (\mathbb{N},\cdot ), (\mathbb{Z},+), (\mathbb{Z},\cdot ), (\mathbb{R},+), (\mathbb{R},\cdot ) sunt monoizi comutativi.
  • Perechile (\mathcal{M}_n(\mathbb{C}),\cdot ), (\mathcal{F}(A),\circ ) sunt monoizi necomutativi.

În următoarele capitole și subcapitole ți se vor prezenta noțiunile aferente grupurilor, subgrupurilor, inelelor și corpurilor și a tuturor proprietăților acestora.