Bacalaureat Matematică 2017 | Tehnologic | Simulare | Clasa a XII-a

Subiectul I

Arătați că $(2+\sqrt{3})^2+(1-2\sqrt{3})^2=20$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} &\left(2+\sqrt{3}\right)^2+\left(1-2\sqrt{3}\right)^2=\\ &=2^2+2\cdot2\cdot\sqrt{3}+\sqrt{3}^2+1^2-2\cdot1\cdot2\sqrt{3}+\left(2\sqrt{3}\right)^2\\ &=4+4\sqrt{3}+3+1-4\sqrt{3}+12\\ &=20\\ \end{align*}$

$\Leftrightarrow \left(2+\sqrt{3}\right)^2+\left(1-2\sqrt{3}\right)^2=20$ .

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , . Calculați $f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) \cdot f(4)$ .

Rezolvare:

Calculăm f(1) , f(2) , f(3) , f(4) .

$\begin{align*} f(1)&=1^2-3\cdot1\\ &=1-3\\ &=-2\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow f(1)=-2 \end{align*}$ .

$\begin{align*} f(2)&=2^2-3\cdot2\\ &=4-6\\ &=-2\\ \end{align*}$

$&\Leftrightarrow f(2)=-2$ .

$\begin{align*} f(3)&=3^2-3\cdot3\\ &=9-9\\ &=0\\ \end{align*}$

$&\Leftrightarrow f(3)=0$ .

$\begin{align*} f(4)&=4^2-3\cdot4\\ &=16-12\\ &=4\\ \end{align*}$

$&\Leftrightarrow f(4)=4$ .

Atunci:

$\begin{align*} &f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)=-2\cdot(-2)\cdot0\cdot4\\ &\Leftrightarrow f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)=0. \end{align*}$

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $8^{x}=4^{2x+1}$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} &8^x=4^{2x+1}\\ &\Leftrightarrow \left(2^3\right)^x=\left(2^2\right)^{2x+1}\\ &\Leftrightarrow 2^{3x}=2^{2(2x+1)}\\ &\Leftrightarrow 2^{3x}=2^{4x+2}\\ &\Rightarrow 3x=4x+2\\ &\Leftrightarrow 4x-3x=-2\\ &\Leftrightarrow x=-2. \end{align*}$

După o scumpire cu $25\%$ , prețul unui obiect este de lei. Calculați prețul obiectului înainte de scumpire.

Rezolvare:

Notăm cu prețul inițial al obiectului.

$\begin{align*} &x+\frac{25}{100}\cdot x=250\\\\ &\Leftrightarrow x+\frac{x}{4}=250\\\\ &\Leftrightarrow \frac{4x}{4}+\frac{x}{4}=250\\\\ &\Leftrightarrow \frac{4x+x}{4}=250\\\\ &\Leftrightarrow \frac{5x}{4}=250\ \Big|\cdot4\\\\ &\Leftrightarrow 5x=250\cdot4\\\\ &\Leftrightarrow 5x=1000\ \Big|:5\\\\ &\Leftrightarrow x=\frac{1000}{5}\\\\ &\Leftrightarrow x=200 \end{align*}$

Prin urmare, prețul inițial a fost de 200 lei.

În reperul cartezian se consideră punctele , și . Arătați că triunghiul este isoscel.

Rezolvare:

$\begin{align*} AB&=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}\\ &=\sqrt{\left(1-1\right)^2+\left(1-5\right)^2}\\ &=\sqrt{0^2+\left(-4\right)^2}\\ &=\sqrt{0+16}\\ &=\sqrt{16}\\ &=4\\ \end{align*}$

$&\Leftrightarrow AB=4$ .

$\begin{align*} AC&=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}\\ &=\sqrt{\left(5-1\right)^2+\left(5-5\right)^2}\\ &=\sqrt{4^2+0^2}\\ &=\sqrt{16+0}\\ &=\sqrt{16}\\ &=4\\ \end{align*}$

$&\Leftrightarrow AC=4$ .

Deoarece AB=AC=4 , rezultă că triunghiul ABC este isoscel.

Arătați că $\sin 60^\circ+\text{tg}\ 45^\circ=\cos 30^\circ+\text{ctg}\ 45^\circ$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} &\sin 60^\circ+ \text{tg } 45^\circ=\cos 30^\circ+ \text{ctg } 45^\circ\\\\ &\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}+1=\frac{\sqrt{3}}{2}+1\\\\ &\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}+2}{2}=\frac{\sqrt{3}+2}{2}\ (A) \end{align*}$

$\Rightarrow \sin 60^\circ+\text{tg}\ 45^\circ=\cos 30^\circ+\text{ctg}\ 45^\circ$ .

Subiectul II

Se consideră matricea $A(x)=\begin{pmatrix} x & 2\\ x & x \end{pmatrix}$ , unde este număr real.

Arătați că $\det (A(3))=3$ .
Arătați că , pentru orice număr real .
Determinați numerele reale pentru care $\det (A(2)+mA(1))=0$ .

Rezolvare:

Calculăm $\det (A(3))$ .

$\begin{align*} A(3)=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 3 & 3 \end{pmatrix} \end{align*}$ .

Atunci:

$\begin{align*} \det\left(A(3)\right)&=\begin{vmatrix} 3 & 2\\ 3 & 3 \end{vmatrix}\\ &=3\cdot3-3\cdot2\\ &=9-6\\ &=3\\ \end{align*}$

$&\Leftrightarrow \det\left(A(3)\right)=3$ .

Arătăm că .

$\begin{align*} &A\left(2017+x\right)+A\left(2017-x\right)=2A\left(2017\right)\\\\ &\Leftrightarrow\begin{pmatrix} 2017+x & 2\\ 2017+x & 2017+x \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 2017-x & 2\\ 2017-x & 2017-x \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} 2017 & 2\\ 2017 & 2017 \end{pmatrix}\\\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2017+x+2017-x & 2+2\\ 2017+x+2017-x & 2017+x+2017-x \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\cdot2017 & 2\cdot2\\ 2\cdot2017 & 2\cdot2017 \end{pmatrix}\\\\ &\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 4034 & 4\\ 4034 & 4034 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4034 & 4\\ 4034 & 4034 \end{pmatrix}\\ \end{align*}$

$\Rightarrow A(2017+x)+A(2017-x)=2A(2017), \forall \ x\in \mathbb{R}$ .

Avem:

$\begin{align*} A(2)+mA(1)&=\begin{pmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}+m\cdot\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\ \\&=\begin{pmatrix} 2 & 2\\ 2 & 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} m & 2m\\ m & m \end{pmatrix}\\ \\&=\begin{pmatrix} 2+m & 2+2m\\ 2+m & 2+m \end{pmatrix} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow A(2)+mA(1)&=\begin{pmatrix} 2+m & 2+2m\\ 2+m & 2+m \end{pmatrix}. \end{align*}$

Atunci:

$\begin{align*} &\det\left(A(2)+mA(1)\right)=0\\ &\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 2+m & 2+2m\\ 2+m & 2+m \end{vmatrix}=0\\ &\Leftrightarrow (2+m)(2+m)-(2+m)(2+2m)=0\\ &\Leftrightarrow 4+2m+2m+m^2-\left(4+4m+2m+2m^2\right)=0\\ &\Leftrightarrow 4+4m+m^2-4-6m-2m^2=0\\ &\Leftrightarrow -m^2-2m=0\\ &\Leftrightarrow m\left(-m-2\right)=0\\ &\Rightarrow m=0\text{ sau }-m-2=0\\ &\Leftrightarrow m=0\text{ sau }m=-2. \end{align*}$

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=2xy+6x+6y+15$ .

Arătați că $x\ast y=2(x+3)(y+3)-3$ , pentru orice numere reale și .
Arătați că $7\ast 98=2017$ .
Determinați numerele reale , pentru care $x\ast (x+2)=3$ .

Rezolvare:

Arătăm că $x\ast y=2(x+3)(y+3)-3$ .

$\begin{align*} x\ast y&=2xy+6x+6y+15\\ &=2xy+6x+6y+18-3\\ &=2x(y+3)+6(y+3)-3\\ &=(y+3)(2x+6)-3\\ &=(2x+6)(y+3)-3\\ &=2(x+3)(y+3)-3\\ \end{align*}$

$\Rightarrow x\ast y=2(x+3)(y+3)-3,\forall\ x,y\in\mathbb{R}$ .

Calculăm $7\ast 98$ .

Metoda I (Cu definiția legii de compoziție)

$\begin{align*} 7\ast 98&=2\cdot7\cdot98+6\cdot7+6\cdot98+15\\ &=1372+42+588+15\\ &=2017\\ \end{align*}$

$&\Leftrightarrow 7\ast 98=2017$ .

Metoda II (Cu formula de la punctul a.)

$\begin{align*} 7\ast 98&=2(7+3)(98+3)-3\\ &=2\cdot10\cdot101-3\\ &=2\cdot1010-3\\ &=2020-3\\ &=2017\\ \end{align*}$

$&\Leftrightarrow 7\ast 98=2017$ .

Rezolvăm ecuația $x\ast (x+2)=3$ .

$\begin{align*} &x\ast (x+2)=3\\ &\Leftrightarrow 2x(x+2)+6x+6(x+2)+15=3\\ &\Leftrightarrow 2x^2+4x+6x+6x+12+15-3=0\\ &\Leftrightarrow 2x^2+16x+24=0\ \Big|:2\\ &\Leftrightarrow x^2+8x+12=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \Delta&=b^2-4ac\\ &=8^2-4\cdot 1\cdot 12\\ &=64-48\\ &=16\\ \end{align*}$

$\Rightarrow \sqrt{\Delta}=4$

$\begin{align*} x_1&=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\ &=\frac{-8+4}{2\cdot1}\\\\ &=\frac{-4}{2}\\\\ &=-2\\ \end{align*}$

$\Leftrightarrow x_1=-2$ .

$\begin{align*} x_2&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\ &=\frac{-8-4}{2\cdot1}\\\\ &=\frac{-12}{2}\\\\ &=-6\\ \end{align*}$

$\Leftrightarrow x_2=-6$ .

Deci, $x\in\{-6,-2\}$ .

Subiectul III

Se consideră funcția $f:(2,+\infty)\to \mathbb{R}$ , $f(x)=x+1+\frac{1}{x-2}$ .

Arătați că $\lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=0$ .
Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției .
Demonstrați că funcția este convexă pe intervalul $(2,+\infty)$ .

Rezolvare:

Calculăm $\lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}$ .

Metoda I

Aducem funcția la o formă mai simplă:

$\begin{align*} f(x)&=x+1+\frac{1}{x-2}\\\\ &=\frac{x(x-2)+(x-2)+1}{x-2}\\\\ &=\frac{x^2-2x+x-2+1}{x-2}\\\\ &=\frac{x^2-x-1}{x-2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow f(x)=\frac{x^2-x-1}{x-2} \end{align*}$ .

Calculăm f(3) .

$\begin{align*} f(3)&=\frac{3^2-3-1}{3-2}\\\\ &=\frac{9-4}{1}\\\\ &=5\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow f(3)&=5\\ \end{align*}$ .

Atunci:

$\begin{align*} \lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}&=\lim_{x\to 3}\frac{\displaystyle\frac{x^2-x-1}{x-2}-5}{x-3}\\\\ &=\lim_{x\to 3}\frac{\displaystyle\frac{x^2-x-1-5(x-2)}{x-2}}{x-3}\\\\ &=\lim_{x\to 3}\frac{\displaystyle\frac{x^2-x-1-5x+10}{x-2}}{x-3}\\\\ &=\lim_{x\to 3}\frac{x^2-6x+9}{x-2}\cdot\frac{1}{x-3}\\\\ &=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)^2}{x-2}\cdot\frac{1}{x-3}\\\\ &=\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{x-2}\\\\ &=\frac{3-3}{3-2}\\\\ &=\frac{0}{1}\\ \end{align*}$

$\Leftrightarrow \lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=0$ .

Metoda II

$\begin{align*} \lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=f'(3) \end{align*}$ .

Calculăm prima derivată a funcției :

$\begin{align*} f'(x)&=\left(\frac{x^2-x-1}{x-2}\right)'\\\\ &=\frac{\left(x^2-x-1\right)'\cdot(x-2)-\left(x^2-x-1\right)\cdot(x-2)'}{(x-2)^2}\\\\ &=\frac{\left(2x-1\right)\cdot(x-2)-\left(x^2-x-1\right)\cdot1}{(x-2)^2}\\\\ &=\frac{2x^2-4x-x+2-x^2+x+1}{(x-2)^2}\\\\ &=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}\\ \end{align*}$

$\Leftrightarrow f'(x)=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}$ .

Atunci:

$\begin{align*} \lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}&=f'(3)\\\\ &=\frac{3^2-4\cdot+3}{(3-2)^2}\\\\ &=\frac{9-12+3}{1^2}\\\\ &=\frac{0}{1}\\\\ &=0\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow \lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=0 \end{align*}$ .

Ecuația asimptotei oblice este , unde:

$\begin{align*} m&=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}\\\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{\displaystyle\frac{x^2-x-1}{x-2}}{x}\\\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-x-1}{x-2}\cdot\frac{1}{x}\\\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-x-1}{x^2-2x}\\\\ &=\frac{1}{1}\\\\ &=1\\ \end{align*}$

$\Leftrightarrow m=1$ .

$\begin{align*} n&=\lim_{x\to \infty}\left(f(x)-mx\right)\\\\ &=\lim_{x\to \infty}\left(\frac{x^2-x-1}{x-2}-1\cdot x\right)\\\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-x-1-x(x-2)}{x-2}\\\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{x^2-x-1-x^2+2x}{x-2}\\\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{x-1}{x-2}\\\\ &=\frac{1}{1}\\\\ &=1\\ \end{align*}$

$\Leftrightarrow n=1$ .

Prin urmare, y=x+1 este ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției .

Calculăm a doua derivată a funcției .

$\begin{align*} f''(x)&=\left(\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}\right)'\\\\ &=\frac{\left(x^2-4x+3\right)'\cdot(x-2)^2-\left(x^2-4x+3\right)\cdot\left((x-2)^2\right)'}{(x-2)^4}\\\\ &=\frac{\left(2x-4\right)\cdot(x^2-4x+4)-\left(x^2-4x+3\right)\cdot\left(x^2-4x+4\right)'}{(x-2)^4}\\\\ &=\frac{2x^3-8x^2+8x-4x^2+16x-16-\left(x^2-4x+3\right)\cdot\left(2x-4\right)}{(x-2)^4}\\\\ &=\frac{2x^3-12x^2+24x-16-\left(2x^3-4x^2-8x^2+16x+6x-12\right)}{(x-2)^4}\\\\ &=\frac{2x^3-12x^2+24x-16-\left(2x^3-12x^2+22x-12\right)}{(x-2)^4}\\\\ &=\frac{2x^3-12x^2+24x-16-2x^3+12x^2-22x+12}{(x-2)^4}\\\\ &=\frac{2x-4}{(x-2)^4}\\\\ &=\frac{2(x-2)}{(x-2)^4}\\\\ &=\frac{2}{(x-2)^3}\\ \end{align*}$

$\Leftrightarrow f''(x)=\frac{2}{(x-2)^3}$ .

Observăm că pentru $x\in(2,+\infty)$ , f''(x)>0 , prin urmare funcția este convexă pe $(2,+\infty)$ .

Se consideră funcțiile $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ , $f(x)=1+\ln x$ și $F:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ , $F(x)=x\ln x$ .

Calculați $\int\limits_{1}^{e}(f(x)-\ln x)dx$ .
Arătați că este o primitivă a funcției .
Arătați că $\int\limits_{1}^{e}f(x)F(x)dx=\frac{e^2}{2}$ .

Rezolvare:

Calculăm $\int\limits_{1}^{e}(f(x)-\ln x)dx$ .

$\begin{align*} &\int\limits_{1}^e\left(f(x)-\ln x\right)\mathrm{d}x=\\ &=\int\limits_{1}^e\left(1+\ln x-\ln x\right)\mathrm{d}x\\ &=\int\limits_{1}^e 1\mathrm{d}x\\ &=x\Big|_{1}^e\\ &=e-1\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \int\limits_{1}^e\left(f(x)-\ln x\right)\mathrm{d}x=e-1 \end{align*}$ .

este primitivă a lui dacă .

$\begin{align*} F'(x)&=\left(x\ln x\right)'\\ &=x'\cdot\ln x+x\cdot \left(\ln x\right)'\\ &=1\cdot\ln x+x\cdot\frac{1}{x}\\ &=\ln x+1\\ &=1+\ln x\\ &=f(x)\\ \end{align*}$

$\Leftrightarrow F'(x)=f(x)$ .

Deci, este o primitivă a lui .

Calculăm $\int\limits_{1}^{e}f(x)F(x)dx$ .

$\begin{align*} \int\limits_{1}^e f(x)F(x)\mathrm{d}x&=\int\limits_{1}^e F'(x)F(x)\mathrm{d}x\\\\ &=\frac{F^2(x)}{2}\Big|_1^e\\\\ &=\frac{F^2(e)-F^2(1)}{2}\\\\ &=\frac{\left(e\cdot\ln e\right)^2-\left(1\cdot\ln1\right)^2}{2}\\\\ &=\frac{\left(e\cdot1\right)^2-\left(1\cdot0\right)^2}{2}\\\\ &=\frac{e^2-0^2}{2}\\\\ &=\frac{e^2}{2}\\ \end{align*}$

$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^e f(x)F(x)\mathrm{d}x=\frac{e^2}{2}$ .