Simulare Bacalaureat Matematică 2017 | Mate - Info Clasa a XII-a

Atunci când trebuie să susți proba obligatorie la examenul de Bac ai emoții, dar pentru a te ajuta să mai scapi de ele, imediat după ce ai dat examenul la matematică, te sfătuim să accesezi această pagină pentru a vedea cum se rezolvă aceste probleme de algebră, geometrie sau analiză matematică, propuse pentru Simularea examenului de Bac 2017 pentru profilul matematică - informatică, clasa a XII-a.

În acest an simularea examenului de Bac a avut loc în data de 16 martie 2017, iar echipa Liceunet ți-a rezolvat conform baremului oficial următoarele probleme de matematică:

Subiectul I

Arătați că $\frac{2+i}{2-i}+\frac{2-i}{2+i}=\frac{6}{5}$ , unde $i^2=-1$ .
Se consideră $x_1$ și $x_2$ soluțiile ecuației $x^2-(2m+3)x+m^2+3m+2=0$ . Arătați că $(x_1-x_2)^2=1$ , pentru orice număr real $m$ .
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x-3}=5-x$ .
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma doar cu cifre pare.
Se consideră triunghiul $ABC$ și punctele $M$ , $N$ și $P$ , mijloacele laturilor $AB$ , $BC$ , respectiv $AC$ . Demonstrați că $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BP}$ .
Determinați numerele reale $x$ , știind că $\sin 2x=\cos x$ și $x\in \left [ \frac{\pi}{2},\pi \right ]$ .

Subiectul II

Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 3\\ 1 & 3 & a \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1\\ x+ay+3z=2\\ x+3y+az=2 \end{matrix}\right.$ , unde $a$ este un număr real.

Arătați că $\det\Big(A(a)\Big)=(a+1)(a-3)$ , pentru orice număr real $a$ .
Determinați numerele reale $m$ pentru care $A(m)A(2-m)=A(2-m)A(m)$ .
Determinați numerele întregi $a$ pentru care sistemului are soluție unică $(x_0,y_0,z_0)$ , iar $x_0$ , $y_0$ și $z_0$ sunt numere întregi.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=-5xy+10x+10y-18$ .

Arătați că $x\ast y=2-5(x-2)(y-2)$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .
Determinați numerele naturale $n$ , știind că $(n\ast n)\ast n=n$ .
Arătați că, dacă $a\ast a=b$ și $b\ast b=a$ , atunci $a=b=2$ sau $a=b=\frac{9}{5}$ .

Subiectul III

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2x+2}}$ .

Determinați intervalele de monotoniei a funcției $f$ .
Arătați că $\lim_{x\to +\infty}(f(x))^{2x}=\frac{1}{e^2}$ .
Demonstrați că pentru orice număr $a$ , $a\in (-\sqrt{2},-1)$ , ecuația $f(x)=a$ are exact două soluții reale distincte.

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty)\to \mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+1}}$ și, pentru fiecare număr natural nenul $n$ , se consideră numărul $I_n=\int\limits_{0}^{1}x^n f(x)dx$ .

Arătați că $\int\limits_{0}^{1}f(x)dx=2(\sqrt{2}-1)$ .
Demonstrați că $I_n\leq \frac{1}{n+1}$ , pentru orice număr natural nenul $n$ .
Demonstrați că $(2n+1)I_n= 2\sqrt{2}-2nI_{n-1}$ , pentru orice număr natural $n$ , $n\geq 2$ .