Bacalaureat Matematică 2017 | Mate - Info | Simulare | Clasa a XI-a

În ultimii ani, în cadrul Simulării examenului de Bac și elevii claselor a XI-a susțin proba obligatorie a profilului, fapt pentru care și în acest an, în data de 16 martie 2016, elevii de clasa a XI-a care urmează profilul matematică - informatică au avut de rezolvat problemele de matematică enunțate mai jos.

Dacă vrei să vezi cum se rezolvă, conform baremului oficial, problemele de algebră sau analiză matematică, accesează acum Bacalaureat Matematică 2017 | Mate - Info | Simulare | Clasa a XI-a.

Subiectul I

Se consideră numărul complex $z=4-i$ . Calculați $z\cdot\overline{z}-z-\overline{z}$ , unde $\overline{z}$ este conjugatul lui z.
Determinați numărul real m, știind că axa Ox este tangentă graficului funcției $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , $f(x)=x^2-(2m+1)x+m^2-m+2$ .
Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $3\log_x5+\log _5(5x)=5$ .
Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de trei cifre, acesta să fie multiplu de 11.
Se consideră triunghiul ABC, punctul M mijlocul laturii BC și punctul N mijlocul medianei AM. Demonstrați că $\overrightarrow{BN}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ .
Arătați că, dacă $(\sin x+3\cos y)^2+(\cos x-3\sin y)^2=10$ și $x,y\in \left ( 0,\frac{\pi}{2} \right )$ , atunci $x=y$ .

Subiectul II

Se consideră determinantul $\Delta (x,y)=\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 \\ x+1 & y+1 & 2\\ x^2+x& y^2+y& 2 \end{vmatrix},$ unde x și y suny numere reale.

Arătați că $\Delta (0,2)=-2$ .
Arătați că $\Delta (x,y)=(x-1)(y-1)(y-x)$ , pentru orice numere reale x și y.
Demonstrați că numărul $\Delta (m,n)$ este divizibil cu 2, pentru orice numere întregi m și n.

Se consideră matricea $A(a)=\begin{pmatrix} a & 0 &a-1 \\ 0& 1& 0\\ a-1& 0 &a \end{pmatrix},$ unde a este număr real.

Calculați $A(0)+A(2)$ .
Arătați că $A(a)A(b)=A(2ab-a-b+1),$ pentru orice numere reale a și b.
Arătați că $A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A\left(\frac{3}{2}\right)\cdot A\left(\frac{5}{2}\right)\cdot\ldots\cdot A\left(\frac{2017}{2}\right)=A\left ( \frac{1}{2} \right ).$

Subiectul III

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{3x^2+3x+1}{x^3(x+1)^3}$ .

Arătați că $f(x)=\frac{1}{x^3}-\frac{1}{(x+1)^3},$ pentru orice $x\in(0,+\infty)$ .
Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției f.
Calculați $\lim_{x\to \infty}\Big(f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(n)\Big)^{2n^3}$ .

Se consideră funcţia $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , $f(x)=\left\{\begin{matrix} x^3+3x^2-x+a,\ x\leq 0\\ \\ \dfrac{e^{4x}-1}{e^{3x}-1},\ x> 0 \end{matrix}\right. ,$ unde a este număr real.

Calculați $\lim_{x\to -\infty}\frac{f(x)}{x^3}$ .
Determinați numărul real a pentru care funcţia f este continuă în punctul x = 0.
Demonstrați că, dacă $a\in(-6,-3)$ , atunci ecuația $f (x)= 0$ are cel puțin două soluții reale distincte în intervalul (−3, −1) .