Iași Mate-Info

Cuprins

Subiectul I
Subiectul al II-lea
Subiectul al III-lea

Subiectul I

1. Știind că $z\in\mathbb{C}$ și că z^2+z+2=0 , demonstrați că $z^2+\frac{4}{z^2}=-3$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} & z^2+z+2=0\ |:z\ne 0 \\ \Leftrightarrow & z+1+\dfrac{2}{z}=0\\ \Leftrightarrow & z+\dfrac{2}{z}=-1\Big|^2 \\ \Leftrightarrow & \left(z+\dfrac{2}{z}\right)^2=(-1)^2 \\ \Leftrightarrow & z^2+2\cdot z\cdot \dfrac{2}{z}+\dfrac{4}{z^2}=1\\ \Leftrightarrow & z^2+4+\dfrac{4}{z^2}=1\\ \Leftrightarrow & z^2+\dfrac{4}{z^2}=1-4 \\ \Rightarrow & z^2+\dfrac{4}{z^2}=-3. \end{align*}$

2. Rezolvați în $\mathbb{Z}$ inecuația $f(x)\geq f(1-2x)$ , dacă $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , f(x)=x^2+1 .

Rezolvare:

$\begin{align*} f(1-2x)&=(1-2x)^2+1\\ &=1-4x+4x^2+1\\ &=4x^2-4x+2 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow &f(x)\geq f(1-2x)\\ \Leftrightarrow & x^2+1\geq 4x^2-4x+2\\ \Leftrightarrow & 4x^2+4x+2-x^2-1\leq 0\\ \Leftrightarrow & 3x^2-4x+1\leq 0 \end{align*}$

Rezolvăm ecuația 3x^2-4x+1=0 .

$\begin{align*} \Delta&=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 1\\ &=16-12\\ &=4 \end{align*}$

$\begin{align*} x_1&=\frac{-(-4)-\sqrt{4}}{3\cdot 2}\\ &=\frac{4-2}{6}\\ &=\frac{2}{6}\\ &=\frac{1}{3} \end{align*}$

$\begin{align*} x_2&=\frac{-(-4)+\sqrt{4}}{3\cdot 2}\\ &=\frac{4+2}{6}\\ &=\frac{6}{6}\\ &=1 \end{align*}$

Rezultă că $3x^2-4x+1\leq 0$ pentru $x\in \left [ \frac{1}{3},1 \right ]$ .

Dar cum $x\in \mathbb{Z}$ , obținem că x=1 .

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\frac{x^2-1}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x+1}$ .

Rezolvare:

Condiții de existență:

$x-1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 1$

$x+1\geq 0 \Leftrightarrow x\geq -1$

$x\ne 1$

Rezultă că $x\in (1,\infty)$ .

$\begin{align*} & \frac{x^2-1}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{x+1} \\ \Leftrightarrow & x^2-1=\sqrt{(x+1)(x-1)}\\ \Leftrightarrow & x^2-1=\sqrt{x^2-1}\ \Big|^2 \\ \Leftrightarrow & x^4-2x^2+1=x^2-1\\ \Leftrightarrow & x^4-2x^2+1-x^2+1=0\\ \Leftrightarrow & x^4-3x^2+2=0 \end{align*}$

Notăm $x^2=y, y\geq 0$ . Obținem ecuația în y^2-3y+2=0 .

$\begin{align*} \Delta&=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 2\\ &=9-8\\ &=1 \end{align*}$

$\begin{align*} y_1&=\frac{-(-3)-\sqrt{1}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{3-1}{2}\\ &=\frac{2}{2}\\ &=1 \end{align*}$

$\begin{align*} y_2&=\frac{-(-3)+\sqrt{1}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{3+1}{2}\\ &=\frac{4}{2}\\ &=2 \end{align*}$

Dacă y=1 , atunci x^2=1 , de unde obținem x=-1 sau x=1 , care nu aparțin intervalului $(1,\infty)$ .

Dacă y=2 , atunci x^2=2 , de unde obținem $x=-\sqrt{2}\notin (1,\infty)$ sau $x=\sqrt{2}\in (1,\infty)$ .

În concluzie, $x=\sqrt{2}$ .

4. Determinați termenul care nu îl conține pe în dezvoltarea $\left ( x^3+\frac{1}{\sqrt{x}} \right )^{14}$ , unde $x\in (0,\infty)$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} T_{k+1}&=C_{14}^k (x^3)^{14-k}\cdot \left ( x^{-\frac{1}{2}} \right )^k\\ &=C_{14}^k x^{3\cdot 14-3k}\cdot x^{-\frac{k}{2}}\\ &=C_{14}^k x^{42-3k-\frac{k}{2}}\\ &=C_{14}^k x^{42-\frac{7k}{2}} \end{align*}$

$T_{k+1}$ nu îl conține pe , deci puterea lui este .

$\begin{align*} &42-\frac{7k}{2}=0 \\ \Leftrightarrow & \frac{7k}{2}=42\ \Big| \cdot \frac{2}{7}\\ \Leftrightarrow & k=42\cdot \frac{2}{7}\\ \Rightarrow & k=12 \end{align*}$

Termenul care nu îl conține pe este $T_{k+1}=T_{12+1}=T_{13}$ .

$\begin{align*} T_{13}&=C_{14}^{12}\\ &=\frac{14!}{12!\cdot (14-12)!}\\ &=\frac{12!\cdot 13\cdot 14}{12!\cdot 2!}\\ &=\frac{13\cdot 14}{2}\\ &=13\cdot 7\\ &=91. \end{align*}$

5. Se consideră paralelogramul ABCD și punctele și astfel încât $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ . Demonstrați că punctele , și sunt coliniare.

Rezolvare:

$\begin{align*} \overrightarrow{DM}&=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}\\ &=\overrightarrow{DA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}\\ &=\overrightarrow{DA}+\frac{1}{4}\left ( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} \right )\\ &=-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}\\ &=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}\\ &=\frac{1}{4}\left ( \overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD} \right ) \end{align*}$

$\begin{align*} \overrightarrow{DN}&=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}\\ &=\overrightarrow{DA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\\ &=-\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\\ &=\frac{1}{3}\left ( \overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD} \right )\\ &=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{4}\left ( \overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AD} \right )\\ &=\frac{4}{3}\overrightarrow{DM} \end{align*}$

Cum $\overrightarrow{DN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{DM}$ , rezultă că vectorii $\overrightarrow{DM}$ și $\overrightarrow{DN}$ sunt coliniari, de unde obținem că punctele , și sunt coliniare.

6. Arătați că, dacă ABC este un triunghi oarecare, atunci $\cos A< \frac{1}{2}\left ( \frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB} \right )$ .

Rezolvare:

Aplicăm teorema cosinusului pentru punctul .

$\begin{align*} & BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A \\ \Leftrightarrow & 2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=AB^2+AC^2-BC^2\\ \Leftrightarrow & \cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC} \end{align*}$

$\frac{1}{2}\left ( \frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB} \right )=\frac{AB^2+AC^2}{2AB\cdot AC}$

Dar AB^2+AC^2-BC^2< AB^2+AC^2 . Atunci

$\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2AB\cdot AC}< \frac{AB^2+AC^2}{2AB\cdot AC}.$

Rezultă că $\cos A< \frac{1}{2}\left ( \frac{AB}{AC}+\frac{AC}{AB} \right )$ .

Subiectul al II-lea

1. Se consideră matricea $A(m)=\begin{pmatrix} 1& 1 &1 \\ m& m^2 &1 \\ m+1&(m+1)^2 &1 \end{pmatrix}\in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ , unde este un număr real.

a) Arătați că $\det \left ( A(0) \right )=0$ .

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui pentru care $\det \left ( A(m) \right )\ne 0$ .

c) În reperul cartezian (xOy) considerăm punctele necoliniare A(1,1) , B(m,m^2) , C(m+1,(m+1)^2) , unde $m\in\mathbb{R}$ . Determinați valorile lui , știind că aria triunghiului...