Dolj Mate-Info

Cuprins

Subiectul I
Subiectul al II-lea
Subiectul al III-lea

Subiectul I

1. Dacă z^2+z+1=0 , unde este număr complex, arătați că $z^{2023}+\frac{1}{z^{2023}}=-1$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} & z^2+z+1=0\ |\cdot (z-1) \\ \Leftrightarrow & (z-1)(z^2+z+1)=0 \\ \Leftrightarrow & z^3-1=0\\ \Leftrightarrow & z^3=0+1\\ \Leftrightarrow & z^3=1 \end{align*}$

$\begin{align*} & z^2+z+1=0\ |:z \\ \Leftrightarrow & z+1+\frac{1}{z}=0\\ \Leftrightarrow & z+\frac{1}{z}=0-1\\ \Leftrightarrow & z+\frac{1}{z}=-1 \end{align*}$

$\begin{align*} z^{2023}&=z^{2022}\cdot z\\ &=z^{3\cdot 674}\cdot z\\ &=\left ( z^3 \right )^{674}\cdot z\\ &=1^{674}\cdot z\\ &=1\cdot z\\ &=z \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow & z^{2023}+\frac{1}{z^{2023}}=z+\frac{1}{z}\\ \Leftrightarrow & z^{2023}+\frac{1}{z^{2023}}=-1. \end{align*}$

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=\left \{ 2023x \right \}$ , unde $\left \{ x \right \}$ reprezintă partea fracționară a lui . Arătați că $f\left ( x+\frac{1}{2023} \right )=f(x)$ , pentru orice număr real .

Rezolvare:

$\begin{align*} f\left(x+\frac{1}{2023}\right)&=\left \{ 2023\left(x+\frac{1}{2023}\right) \right \}\\ &=\left \{ 2023x+2023\cdot \frac{1}{2023} \right \}\\ &=\left \{ 2023x+1 \right \}\\ &=\left \{ 2023x \right \}\\ &=f(x) \end{align*}$

$\Rightarrow f\left ( x+\frac{1}{2023} \right )=f(x)$ .

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x-5\cdot 2^x+4=0$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} &4^x-5\cdot 2^x+4=0\\ \Leftrightarrow & (2^2)^x-5\cdot 2^x+4=0\\ \Leftrightarrow & (2^x)^2-5\cdot 2^x+4=0\\ \end{align*}$

Notăm 2^x=y , 0">.

y^2-5y+4=0

$\begin{align*} \Delta&=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4\\ &=25-16\\ &=9 \end{align*}$

$\begin{align*} y_1&=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{5-3}{2}\\ &=\frac{2}{2}\\ &=1 \end{align*}$

$\begin{align*} y_2&=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{5+3}{2}\\ &=\frac{8}{2}\\ &=4 \end{align*}$

Pentru fiecare găsit, determinăm din relația 2^x=y .

$\begin{align*} & y=1 \\ \Leftrightarrow &y=2^0\\ \Leftrightarrow &2^x=2^0\\ \Leftrightarrow &x=0 \end{align*}$

$\begin{align*} & y=4 \\ \Leftrightarrow &y=2^2\\ \Leftrightarrow &2^x=2^2\\ \Leftrightarrow &x=2. \end{align*}$

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să nu conțină cifra .

Rezolvare:

$p=\frac{\text{num\u ar cazuri favorabile}}{\text{num\u ar cazuri posibile}}$

Sunt de numere naturale de două cifre. Deci avem de cazuri posibile.

Numerele naturale de două cifre care conțin cifra sunt:

$\begin{align*} &12,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,32,42,52,62,72,82,92. \end{align*}$

Sunt numere naturale de două cifre care conțin cifra .

Rămân 90-18=72 de numere naturale care nu conțin cifra . Deci avem de cazuri favorabile.

Obținem $p=\frac{72}{90}=\frac{4}{5}$ .

5. În reperul cartezian xOy se consideră trapezul ABCD cu $AB\parallel CD$ și A(1,2) , B(4,5) și D(-3,2) . Determinați ecuația dreptei , știind că segmentul este linie mijlocie a trapezului ABCD .

Rezolvare:

Determinăm ecuația dreptei .

$\begin{align*} &AB:\ \frac{x-x_A}{x_B-x_A}\\ &AB:\ \frac{x-1}{4-1}=\frac{y-2}{5-2}\\ &AB:\ \frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{3}\ \Big| \cdot 3\\ &AB:\ x-1=y-2\\ &AB:\ y=x-1+2\\ &AB:\ y=x+1 \end{align*}$

Panta dreptei este $m_{AB}=1$ .

Cum este linie mijlocie în trapezul ABCD , rezultă că $AB\parallel MN$ , deci cele două drepte au pantele egale. Rezultă că $m_{MN}=1$ .

Determinăm coordonatele punctul , care este mijlocul segmentului .

$\begin{align*} x_M&=\frac{x_A+x_D}{2}\\ &=\frac{1+(-3)}{2}\\ &=\frac{-2}{2}\\ &=-1 \end{align*}$

$\begin{align*} y_M&=\frac{y_A+y_D}{2}\\ &=\frac{2+2}{2}\\ &=\frac{4}{2}\\ &=2 \end{align*}$

Obținem punctul M(-1,2) .

Determinăm ecuația dreptei .

$\begin{align*} &MN:\ y-y_M=m_{MN}(x-x_M)\\ &MN:\ y-2=1\cdot (x-(-1))\\ &MN:\ y-2=x+1\\ &MN:\ y=x+1+2\\ &MN:\ y=x+3\\ &MN:\ x-y+3=0. \end{align*}$

6. Știind că $\text{tg}\ a=\sqrt{3}$ și $a\in \mathbb{R}$ , arătați că $\frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a}=2-\sqrt{3}$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} \frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a}&= \frac{\cos a\left ( \dfrac{\sin a}{\cos a}-1 \right )}{\cos a\left ( \dfrac{\sin a}{\cos a} +1\right )}\\ &=\frac{\text{tg}\ a-1}{\text{tg}\ a+1}\\ &=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\ &=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}\\ &=\frac{\sqrt{3}^2-2\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}^2-1^2}\\ &=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}\\ &=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}\\ &=\frac{2(2-\sqrt{3})}{2}\\ &=2-\sqrt{3}. \end{align*}$

Subiectul al II-lea

1. Se consideră matricea $A(x)=\begin{pmatrix} 1& x &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0&0 &2^x \end{pmatrix}$ , unde este număr real.

a) Determinați $\det\left ( A(10) \right )$ .

b) Determi...