Tehnologic

Cuprins

Subiectul I
Subiectul al II-lea
Subiectul al III-lea

Subiectul I

Calculați termenul $a_1{\color{DarkBlue} }$ al progresiei aritmetice $(a_n)_{n\geq 0}$ , știind că și .

Rezolvare:

r=a_4-a_3=9-6=3

$\begin{align*} & a_3=a_1+(3-1)\cdot r \\ \Leftrightarrow & a_3=a_1+2r \\ \Leftrightarrow & a_1=a_3-2r \\ \Leftrightarrow & a_1=6-2\cdot 3 \\ \Leftrightarrow & a_1=6-6 \\ \Leftrightarrow & a_1=0. \end{align*}$

2. Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , f(x)=x^2+2x-3 și $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , g(x)=x-3 . Determinați numerele reale a pentru care f(a)=g(a) .

Rezolvare:

$\begin{align*} & f(a)=g(a) \\ \Leftrightarrow & a^2+2a-3=a-3 \\ \Leftrightarrow & a^2+2a-3-a+3=0 \\ \Leftrightarrow & a^2+a=0 \\ \Leftrightarrow & a(a+1)=0 \\ \Leftrightarrow & a=0\ \text{sau}\ a+1=0 \\ \Leftrightarrow & a=0\ \text{sau}\ a=-1. \end{align*}$

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(x+3)=2$ .

Rezolvare:

Condiții de existență a logaritmului:

0 \\ \Leftrightarrow & x>0-3 \\ \Leftrightarrow & x>-3 \\ \Leftrightarrow & x\in (-3,+\infty) \end{align*}">

$\begin{align*} & \log_3 (x+3)=2\log_3 3 \\ \Leftrightarrow & \log_3 (x+3)=\log_3 3^2 \\ \Leftrightarrow & \log_3 (x+3)=\log_3 9 \\ \Leftrightarrow & x+3=9 \\ \Leftrightarrow & x=9-3 \\ \Leftrightarrow & x=6\in (-3,+\infty) \end{align*}$

4. În urma unei scumpiri cu $30\%$ , prețul unui produs a crescut cu de lei. Determinați prețul produsului după scumpire.

Rezolvare:

Notăm cu prețul produsului înainte de scumpire.

$\begin{align*} & \frac{30}{100}\cdot x=60 \\ \Leftrightarrow & 30x=6000 \\ \Leftrightarrow & x=\frac{6000}{30}\\ \Leftrightarrow & x=200 \end{align*}$

Prețul produsului după scumpire este 200+60=260 de lei.

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(-4,1) , B(2,3) și dreapta de ecuație y=2x+a , unde este număr real. Determinați numărul real , știind că mijlocul segmentului aparține dreptei .

Rezolvare:

Determin...