Exerciții și probleme rezolvate cu numere reale

Pentru a-ți fixa mai bine fiecare noțiune a acestui ghid, te sfătuim să încerci să rezolvi singur aceste exerciții pregătite special pentru tine de către profesorii noștri de matematică, iar apoi accesează această pagină, pentru a-ți compara rezultatele cu cele obținute de către profesorii noștri experimentați.

Aceste exerciții enumerate mai jos se rezolvă folosind noțiunile prezentate deja în acest eBook, intitulat Ghid | Numere reale.

Exercițiul 1

Să se precizeze valoarea de adevăr a următoarelor propoziții:

  1. 5\in\mathbb{N}.
  1. -3\notin\mathbb{N}.
  1. -3\in\mathbb{Z}.
  1. 0\in\mathbb{R^*}.
  1. -2.4\in\mathbb{Q}.
  1. \sqrt{4}\in\mathbb{Q}.
  1. \sqrt{13}\notin\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
  1. \{-2,5.6,8,0\}\subset\mathbb{Z}.
  1. \left\{\sqrt{5},-\dfrac{7}{9},2,-1.5\right\}\nsubseteq \mathbb{R}.
  1. \left\{\dfrac{3}{2},67,-21,-5.8\right\}\subset\mathbb{Z}.
  1. \{0,4,21,903,51\}\nsubseteq\mathbb{N^*}.
  1. [3.4,8]\subset [0,8].
  1. \left(\dfrac{5}{8},1 \right )\subset[0,1].
  1. 7\in(0,7).
  1. -31\notin[-31,4).
  1. \{-3,5\}\in(-2,5].
  1. \sqrt{3}-5\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}.
  1. \21\sqrt{3}=3\sqrt{21}.

Exercițiul 2

Să se reprezinte pe axa numerelor reale și să se ordoneze descrescător următoarele numere: -4,\ 7,\ \dfrac{3}{2},\ \sqrt{8},\ -4.25,\ \sqrt{76}.

Exercițiul 3

Să se reprezinte pe axa numerelor reale următoarele:

  1. [-3.5,0.7).
  1. \{x\in\mathbb{R}: |x-2|\leq 3\}.
  1. \begin{align*} \left\{x\in\mathbb{Z}:4<\dfrac{3x+1}{2}<11 \right \} \end{align*}.

Exercițiul 4

Să se ordoneze crescător următoarele numere reale: -3,\ -3.4,\ 7,\ \sqrt{7},\ \dfrac{3}{25},\ -2.1(7),\ 5.(9)​.

Exercițiul 5

Să se compare următoarele numere x=\sqrt{\dfrac{4-\sqrt{7}}{4+\sqrt{7}}}+\sqrt{\dfrac{\sqrt{7}-2}{3(\sqrt{7}+2)}} și y=\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}}+\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}.

Exercițiul 6

Fie mulțimile:

  • \begin{align*} A=(3,10] \end{align*}.
  • \begin{align*} B=\left\{x\in\mathbb{R}:-2.5<\dfrac{2x-1}{4}<4 \right\} \end{align*}.
  • \begin{align*} C=\left\{x\in\mathbb{R}:|3x-2|\leq 1\right\} \end{align*}.

Să se calculeze:

  1. \begin{align*} A\cup B \end{align*}.
  1. \begin{align*} A\cap C \end{align*}.
  1. \begin{align*} A\setminus C \end{align*}.
  1. \begin{align*} B\cup C \end{align*}.
  1. \begin{align*} (A\cap B)\cap C \end{align*}.

Exercițiul 7

Să se calculeze:

  1. A\cap B,
  1. A\setminus B,

unde

A=\left\{x\in\mathbb{Z}:\dfrac{15}{x+2}\in\mathbb{Z}\right\},

respectiv

B=\{x\in\mathbb{Q}:|2x-5|\leq 9\}.

Exercițiul 8

Să se calculeze:

  1. \begin{align*} (-3,7)\cap (-4,5) \end{align*};
  1. \begin{align*} [2,7]\cup[1,4] \end{align*};
  1. \begin{align*} (-10.4,10]\setminus(-10.4,10) \end{align*};
  1. \begin{align*} (-4,7]\setminus[-6,5) \end{align*};
  1. \begin{align*} (-3,5)\cap (2,8] \end{align*};
  1. \begin{align*} (-\infty,4)\cup[4,+\infty) \end{align*};
  1. \begin{align*} \left(\infty,\dfrac{3}{5}\right)\cap\left(\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{5}\right] \end{align*}.

Exercițiul 9

Să se determine numărul real \begin{align*} x \end{align*} știind că:

  1. \begin{align*} \left[\dfrac{x-5}{2} \right ]=\dfrac{3x+2}{7} \end{align*}.
  1. \left\{ \dfrac{7x-2}{5}\right \}=\dfrac{3}{5}.
  1. 4x-1=2[x]+7\{x\}.
  1. [x-5]+2\{x\}=195.

Exercițiul 10

Să se calculeze:

  1. 25^{-1}:0.008-\left(5\sqrt{7}-\dfrac{2}{\sqrt{7}} \right )\cdot\left(\sqrt{7} \right )^{-1}.
  1. (-0.6)^3+2.5\sqrt{0.0016}-(-0.2)^2\cdot 1000.
  1. \left[0.63:10^{-2}+\sqrt{0.0225}\cdot (0.04)^{-1} \right ]\cdot0.(2) .
  1. \sqrt{\left(\sqrt{3}-3 \right )^2}+\sqrt{\left( 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right )^2}+\sqrt{\left(5-2\sqrt{2} \right )^2}.
  1. \left[\left(6+5\sqrt{7} \right )^{100} -\dfrac{139^{100}}{\left(6-5\sqrt{7} \right )^{100}}\right ]\cdot\dfrac{\left( 12+10\sqrt{7}\right )^{99}}{2^{100}}.
  1. \sqrt{\dfrac{12}{11}+\dfrac{13}{22}+\dfrac{14}{33}+\dots+\dfrac{110}{1089}-\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{99} \right )}.

Exercițiul 11

Să se determine numărul real x, știind că \dfrac{\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\dfrac{x}{\sqrt{2}}.

(Algebra.Geometrie.Partea I,Clasa a VIII-a; Anton Negrila, Maria Negrila, Paralela 45)

Exercițiul 12

Să se calculeze media aritmetică a numerelor x=\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{27}+\sqrt{28}} și  y=\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}.

Exercițiul 13

Să se determine media geometrică a numerelor: x=\left(\sqrt{23}-2\right)\left(1.7+\sqrt{0.064} \right )\left(\sqrt{12.04}-\sqrt{11.21}\right) și y=\left(\sqrt{23}+2\right)\left(1.7-\sqrt{0.064} \right )\left(\sqrt{12.04}+\sqrt{11.21}\right).

Textul de mai sus este doar un extras. Numai membrii pot citi întregul conținut.

Obține acces la întregul eBook.

Ca membru al Liceunet.ro, beneficiezi de acces la întregul conținut.

Achiziționează un abonament acum

Deja membru? Log in