Numere prime și numere compuse

Definiția NN28: Numere prime

Numerele naturale diferite de 1 care au exact doi divizori, pe 1 și pe ele înseși se numesc numere prime.

Observație:

Numerele naturale care nu sunt prime se numesc numere neprime.

Definiția NN29: Numere compuse

Se numesc numere compuse numerele neprime mai mari decât 1.

Propoziția NN30: Descompunerea unui număr compus

Orice număr compus poate fi în mod unic descompus în produs de puteri de factori primi.

Pentru a determina dacă un număr natural este prim, împărțim numărul la numerele prime, luate în ordine crescătoare și ne oprim în momentul în care obținem un cât mai mic decât împărțitorul. Dacă cel puțin o împărțire este exactă, numărul nu este prim. În caz contrar, dacă nici una dintre împărțiri nu este exactă, atunci numărul respectiv este prim.

Exemple:

  1. Primele numere prime din mulțimea numerelor naturale sunt: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31, 37 etc.
  2. Primele numere compuse din mulțimea numerelor naturale sunt: 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,22,24,25,26,27,28 etc.
  3. Fie numărul 43. Verificăm dacă acesta este prim, folosind procedeul descris mai sus:

\begin{align*} &43:2=21\text{ rest }1\\ &43:3=14 \text{ rest }1\\ &43:5=8 \text{ rest } 3\\ &43:7=6 \text{ rest } 1 \end{align*}

Am împărțit numărul 43 la toate numerele prime luate în ordine crescătoare, până am obținut câtul mai mic decât împărțitorul: 6<7.

Cum nici o împărțire nu este exactă, rezultă că numărul 43 este prim.

  1. Fie numărul 101. Verificăm dacă numărul este prim:

\begin{align*} &101:2=50\text{ rest }1\\ &101:3=33 \text{ rest }2\\ &101:5=20\text{ rest } 1\\ &101:7=14 \text{ rest } 3\\ &101:11=9\text{ rest }2 \end{align*}

Am împărțit numărul 101 la toate numerele prime luate în ordine crescătoare, până am obținut câtul mai mic decât împărțitorul: 9<11.

Cum nici o împărțire nu este exactă, rezultă că numărul 101 este prim.

  1. Fie numărul 215. Verificăm dacă este prim:

\begin{align*} &215:2=107\text{ rest }1\\ &215:3=71 \text{ rest }2\\ &215:5=43\\ &215:7=30 \text{ rest } 5\\ &215:11=19\text{ rest }6\\ &215:13=16 \text{ rest } 7\\ &215:17=12\text{ rest } 11 \end{align*}

Am împărțit numărul 215 la toate numerele prime luate în ordine crescătoare, până am obținut câtul mai mic decât împărțitorul: 12<17.

Observăm că a treia împărțire este exactă, deci numărul 215 nu este prim, ci este un număr compus.