Criterii de divizibilitate

De multe ori, pentru a determina dacă un număr natural este divizibil cu un alt număr natural nenul, este suficient să verificăm anumite proprietăți ale numărului. În acest fel, nu va fi nevoie să verificăm dacă împărțirea este exactă. Mai mult, nu va mai fi nevoie să efectuăm împărțirea.

Astfel, vom prezenta criteriile pe care un număr trebuie să le îndeplinească pentru a fi divizibil cu 2,3,4, 5, 9 sau 10.

Criteriul de divizibilitate cu 2

Un număr natural este divizibil cu 2 dacă ultima sa cifră este pară, adică 0,2,4,6 sau 8.

Reciproc, dacă un număr este divizibil cu 2, înseamnă că ultima sa cifră este 0,2,4,6, sau 8.

Spunem că un număr natural m este divizibil cu 2 dacă există un număr natural n astfel încât m=2\cdot n, adică m se împarte exact la 2.

Observație:

Numărul natural m este par.

Exemple:

  1. Numărul 34 este divizibil cu 2, deoarece ultima sa cifră este 4 și există 17 astfel încât 34=2\cdot 17Notăm 34\ \vdots\ 2 sau 2\ |\ 34.
  2. Numărul 205898 este divizibil cu 2, deoarece ultima sa cifră este 8 și există 102949 astfel încât 205898=2\cdot 102949Notăm 205898\ \vdots\ 2 sau 2\ |\ 205898.
  3. Numărul 79573210 este divizibil cu 2 deoarece ultima sa cifră este 0 și există 39786605 astfel încât 79573210=2\cdot 39786605Vom nota 79573210\ \vdots\ 2 sau 2\ |\ 79573210.

Criteriul de divizibilitate cu 3

Dacă un număr natural este divizibil cu 3, atunci suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.

Reciproc, dacă suma cifrelor unui număr natural este divizibilă cu 3, atunci numărul respectiv este divizibil cu 3.

Spunem că un număr natural m este divizibil cu 3 dacă există un număr natural n astfel încât m=3\cdot n.

Exemple:

  1. Suma cifrelor numărului 138 este 1+3+8=12.

12 este număr divizibil cu 3 (12:3=4).

Deci, numărul 138 va fi divizibil cu 3.

Notăm 138\ \vdots\ 3.

De asemenea, există numărul natural 46 astfel încât 138=3\cdot 46.

  1. Numărul 100368 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 1+0+0+3+6+8=18.

18 este număr divizibil cu 3 (18:3=6).

Așadar, numărul 100368 va fi divizibil cu 3.

Notăm 100368 \ \vdots\ 3.

Există numărul natural 33456 astfel încât 100368=3\cdot 33456.

  1. Numărul 9833400 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 27.

27 este divizibil cu 3 (27:3=9).

Deci 9833400 va fi divizibil cu 3.

Există numărul natural 3277800 astfel încât 9833400=3\cdot 3277800.

Notăm 9833400\ \vdots\ 3.

Criteriul de divizibilitate cu 4

Un număr natural este divizibil cu 4 dacă numărul format din ultimele două cifre ale sale este divizibil cu 4.

Exemple:

  1. Numărul 5424 este divizibil cu 4, deoarece ultimele două cifre formeză un număr divizibil cu 4, adică 24 se împarte exact la 4 (24:4=6). În plus, 5424=4\cdot1356.
  1. Numărul 994540 este divizibil cu 4, deoarece ultimele două cifre formează numărul 40, care este divizibil cu 4 (40:4=10). În plus, 994540=4\cdot 248635.

Criteriul de divizibilitate cu 5

Dacă un număr natural m se divide cu 5, atunci ultima sa cifră este 0 sau 5.

Reciproc, dacă ultima cifră a unui număr natural este 0 sau 5, acel număr este divizibil cu 5.

Spunem că un număr natural m este divizibil cu 5 dacă există un număr natural n astfel încât m=5\cdot n.

Exemple:

  1. Numărul 455 este divizibil cu 5, deoarece ultima sa cifră este 5.

Există numărul natural 91 astfel încât 455=5\cdot 91.

Notăm 455\ \vdots\ 5.

  1. Numărul 1000 este divizibil cu 5, deoarece ultima sa cifră este 0.

Există numărul natural 200 astfel încât 1000=5\cdot 200.

Notăm 1000\ \vdots\ 5.

  1. Numărul 999762105 este divizibil cu 5, deoarece ultima sa cifră este 5.

Există numărul natural 199952421 astfel încât 999762105=5\cdot 199952421.

Notăm 999762105\ \vdots\ 5.

Criteriul de divizibilitate cu 9

Dacă un număr natural este divizibil cu 9, atunci suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.

Reciproc, dacă suma cifrelor unui număr natural este divizibilă cu 9, atunci numărul respectiv este divizibil cu 9.

Spunem că un număr natural m este divizibil cu 9 dacă există un număr natural n astfel încât m=9\cdot n.

Exemple:

  1. Numărul 1098 este divizibil cu 9, deoarece suma cifrelor sale este 1+0+9+8=18, iar 18 este un număr divizibil cu 9 (18:9=2).

Există 122 astfel încât 1098=9\cdot 122.

Notăm 1098\ \vdots \ 9.

  1. Numărul 105021 este divizibil cu 9, deoarece suma cifrelor sale este 1+0+5+0+2+1=9, iar 9 este divizibil cu el însuși.

Există 11669 astfel încât 105021=9\cdot 11669.

Notăm 105021\ \vdots\ 9.

  1. Numărul 6905511 este divizibil cu 9, deoarece suma cifrelor sale este 6+9+0+5+5+1+1= 27, iar 27 este număr divizibil cu 9 (27:9=3).

Există 767279 astfel încât 6905511=9\cdot 767279.

Notăm 6905511\ \vdots\ 9.

Criteriul de divizibilitate cu 10

Dacă un număr natural este divizibil cu 10, atunci ultima sa cifră este 0.

Reciproc, dacă ultima cifră a unui număr natural este 0, atunci număr respectiv se divide cu 10.

Spunem că un număr natural m este divizibil cu 10 dacă există un număr natural n astfel încât m=10\cdot n.

Observație:

Dacă un număr este divizibil cu 10, atunci acel număr este divizibil și cu 2, cât și cu 5, deoarece 10=2\cdot 5.

Exemple:

  1. Numărul 1020 este divizibil cu 10, deoarece ultima sa cifră este 0 și există numărul natural 102 astfel încât 1020=10\cdot102Notăm 1020\ \vdots \ 10.
  2. Numărul 5821000 este divizibil cu 10, deoarece ultima sa cifră este 0 și există 582100 astfel încât 5821000=10\cdot 582100Notăm 5821000\ \vdots\ 10.
  3. Numărul 90600010 este divizibil cu 10, deoarece ultima sa cifră este 0 și există numărul natural 9060001 astfel încât 90600010=10\cdot 9060001Notăm 90600010\ \vdots\ 10.