Compararea, aproximarea și ordonarea numerelor naturale

Compararea numerelor naturale

Propoziția NN5:

Șirul numerelor naturale este un șir crescător (fiecare număr fiind mai mare cu o unitate decât precedentul).

Cel mai mic număr natural este 0.

Considerăm două numere naturale m și n.

Defniția NN6: Compararea numerelor naturale

  1. Spunem că:
  • m este mai mic decât n și notăm m<ndacă m se află înaintea lui n în șirul numerelor naturale;

sau

  • m este mai mare decât n și notăm m>ndacă m se află după n în șirul numerelor naturale.
  1. Spunem că:
  • m este mai mic sau egal decât n și notăm m\leq n, dacă m este mai mic decât n sau m=n;

sau

  • m este mai mare sau egal decât n și notăm m\geq n, dacă m este mai mare decât n sau m=n.

Observație:

Considerând un număr natural m din șirul numerelor naturale, acesta poate fi mai mic, egal sau mai mare decât un număr natural precizat.

Pentru a determina dacă nu număr natural este mai mare decât un alt număr natural, procedăm astfel:

  • dintre două numere naturale, mai mare este acela cu mai multe cifre;
  • dacă cele două numere au un număr egal de cifre, atunci se compară primele cifre ale fiecărui număr de la stânga la dreapta:
    • dacă prima cifră a fiecărui număr este aceeași, se compară cea de-a doua cifră;
    • dacă a doua cifră a fiecărui număr este egală, se compară cea de-a treia cifră;
    • dacă a treia cifră a fiecărui număr este aceeași, se compară următoarea cifră, etc.

Se continuă procedeul până când se ajunge la cifre diferite de același ordin, fiind mai mare numărul care are cifra mai mare corespunzătoare ordinului respectiv.

Observații:

  1. Compararea se realizează în momentul în care se ajunge la cifre diferite de același ordin, fără a se mai ține cont de cifrele care urmează în scrierea numărului.
  2. Dacă avem de comparat mai multe numere, ulterior, le putem ordona crescător (de la cel mai mic la cel mai mare) sau descrescător (de la cel mai mare la cel mai mic).

Aproximarea numerelor naturale

Defniția NN7: Aproximarea numerelor naturale

  1. Aproximarea prin lipsă până la zeci (respectiv sute, mii etc.) a unui număr natural este cel mai mare număr format din zeci (respectiv sute, mii etc.), mai mic sau egal cu numărul dat.
  2. Aproximarea prin adaos până la zeci (respectiv sute, mii etc.)  a unui număr natural este cel mai mic număr natural, format din zeci (respectiv sute, mii etc.) mare mare sau egal cu numărul dat.
  3. Rotunjirea până la zeci (sute, mii etc.) a unui număr natural este aproximarea, prin lipsă sau adaos, cea mai apropiată de numărul dat.  

Observații:

  1. Dacă cele două aproximări sunt egal depărtate de numărul dat, se alege aproximarea prin adaos.
  2. Atunci când rotunjim un număr la un anumit ordin, dacă ordinul este mai mic decât 5, vom aproxima prin lipsă, iar dacă cifra ordinului este mai mare decât 5, vom aproxima prin adaos.

Compararea numerelor naturale - exemple

  1. Fie șirul numerelor naturale: 0,1,2,3,4,5,6,...,12,13,14,...,21,22,23,24,...,34,35,...,55,56,....

Observăm că numărul 13 se află înaintea numărului 23 în șirul numerelor naturale, deci putem spune că 13 este mai mic decât 23 și notăm 13<23.

Numărul 35 se află după numărul 6, deci putem spune că 35 este mai mare decât 6 și notăm 35>6.

Numărul 55 se află înaintea numărului 56, deci putem spune că 55 este mai mic decât 56 sau 56 este mai mare decât 55.

Notăm 55<56 sau 56>55.

Putem spune că 56\geq 56 sau 56\leq 56, deoarece 56=56.

Putem spune că 22\leq 22 sau 22\geq 22, deoarece 22=22.

  1. Fie numărul natural 88 și un număr natural m oarecare.

Nu știm dacă m este inaintea lui 88, egal cu 88 sau după 88 în șirul numerelor naturale.

Dacă m este înaintea lui 88 sau egal cu 88, vom scrie m\leq 88.

Dacă m este egal cu 88 sau după 88 în șirul numerelor naturale, vom scrie m\geq 88.

  1. Fie numerele naturale 23778 și 23789.

Observăm că ambele numere au cinci cifre.

Comparăm fiecare cifră în parte de la stânga la dreapta.

Observăm că prima cifra, a zecilor de mii, este aceeași la ambele numere: 2.

Următoarea cifră, a unităților de mii, este aceeași: 3.

Cifra sutelor este 7 la ambele numere.

Cifra zecilor este 7 la primul număr și 8 la al doilea număr.

În șirul numerelor naturale, 7 se află înaintea lui 8, deci 7 este mai mic decât 87<8.

De aici avem că numărul 23778 este mai mic decât numărul 23789.

Mai putem spune că numărul 23789 este mai mare decât numărul 23778.

Notăm: 23778<23789 sau 23789>23778.

  1. Fie numerele 342 și 1050.

Observăm că primul număr are trei cifre, iar al doilea număr are patru cifre.

Rezultă că 1050 este mai mare decât 342 sau 342 este mai mic decât 1050.

Notăm: 1050>342  sau 342<1050.

  1. Fie numerele 4 300 011 și 4 300 111.

Cele două numere au ambele șapte cifre.

Observăm că cele două numere au aceeași cifră a unităților de milioane (4), aceeași cifră a sutelor de mii (3), aceeași cifră a zecilor de mii (0) și aceeași cifră a unităților de mii (0).

Cifra sutelor diferă însă, la primul număr fiind 0, iar la cel de-al doilea 1.

Cum 0 este înaintea lui 1 în șirul numerelor naturale, avem că 0<1.

În acest caz, primul număr va fi mai mic decât al doilea.

Notăm: 4 300 011<4 300 111.

Aproximarea numerelor naturale - exemple

  1. Se consideră numărul 2368.

Aproximarea până la zeci:

  • prin lipsă: 2360;
  • prin adaos: 2370.

Aproximarea până la sute:

  • prin lipsă: 2300;
  • prin adaos: 2400.

Aproximarea până la mii:

  • prin lipsă: 2000;
  • prin adaos: 3000.

Cum rotunjirea este aproximarea cea mai apropiată de numărul dat, avem:

  • rotunjirea până la zeci: 2370;
  • rotunjirea până la sute: 2400;
  • rotunjirea până la mii: 2000.
  1. Se consideră numărul 6 543 210.

Aproximarea până la zeci:

  • prin lipsă: 6 543 200;
  • prin adaos: 6 543 220.

Aproximarea până la sute:

  • prin lipsă: 6 543 200;
  • prin adaos: 6 543 300.

Aproximarea până la mii:

  • prin lipsă: 6 543 000;
  • prin adaos: 6 544 000.

Aproximarea până la zeci de mii:

  • prin lipsă: 6 540 000;
  • prin adaos: 6 550 000.

Aproximarea până la sute de mii:

  • prin lipsă: 6 500 000;
  • prin adaos: 6 600 000.

Aproximarea până la milioane:

  • prin lipsă: 6 000 000;
  • prin adaos: 7 000 000.

Rotunjiri:

  • până la zeci: 6 543 200 sau 6 543 220 (ambele sunt egal depărtate de număr);
  • până la sute: 6 543 200;
  • până la mii: 6 543 000;
  • până la zeci de mii: 6 540 000;
  • până la sute de mii: 6 500 000;
  • până la milioane: 7 000 000.
  1. Considerăm numărul 44 591.

Aproximarea până la zeci:

  • prin lipsă: 44 590;
  • prin adaos: 44 600.

Aproximarea până la sute:

  • prin lipsă: 44 500;
  • prin adaos: 44 600.

Aproximarea până la mii:

  • prin lipsă: 44 000;
  • prin adaos: 45 000.

Aproximarea până la zeci de mii:

  • prin lipsă: 40 000;
  • prin adaos: 50 000.