Tehnologic

Cuprins

Subiectul I
Subiectul II
Subiectul III

Subiectul I

Arătați că $\left ( \sqrt{8}+1 \right )\cdot \left ( 2\sqrt{2}-1 \right )-\sqrt{36}=1$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} &\left ( \sqrt{8}+1 \right )\cdot \left ( 2\sqrt{2}-1 \right )-\sqrt{36}=&\\ &=(2\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-1)-6&\\ &=(2\sqrt{2})^2-1^2-6&\\ &=2^2\cdot (\sqrt{2})^2-1-6&\\ &=4\cdot 2-7&\\ &=8-7&\\ &=1.& \end{align*}$

2. Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , f(x)=5x-1 și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , g(x)=5+2x . Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor și .

Rezolvare:

Abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor și este soluția ecuației f(x)=g(x) .

$\begin{align*} &f(x)=g(x)\\ \Leftrightarrow \ & 5x-1=5+2x\\ \Leftrightarrow \ & 5x-2x=5+1\\ \Leftrightarrow \ & 3x=6\\ \Leftrightarrow \ & x=6:3\\ \Leftrightarrow \ & x=2 \end{align*}$

$\begin{align*} f(2)&=5\cdot 2-1=10-1=9\\ g(2)&=5+2\cdot 2=5+4=9 \end{align*}$

Deci punctul A(2,9) este punctul de intersecție a graficelor funcțiilor și .

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+6x}=x$ .

Rezolvare:

Condiții de existență: $x\geq 0$ și $x^2+6x\geq 0$ .

$\begin{align*} &x^2+6x\geq 0\\ &\Leftrightarrow \ x(x+6)\geq 0\\ &x\geq 0\ \Rightarrow \ x+6\geq 0\\ &\Rightarrow\ x\geq 0-6\\ & \Leftrightarrow \ x\geq -6 \end{align*}$

$\Rightarrow x\in \left [ 0,+\infty \right )\cap \left [ -6,+\infty \right )\ \Leftrightarrow \ x\in\left [ 0,+\infty \right )$

$\begin{align*} &\sqrt{x^2+6x}=x \ |^2 \\ \Leftrightarrow \ & x^2+6x=x^2\\ \Leftrightarrow \ & 6x=x^2-x^2\\ \Leftrightarrow \ & 6x=0\\ \Leftrightarrow \ & x=0:6\\ \Leftrightarrow \ & x=0\in \left [ 0,+\infty \right ). \end{align*}$

4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\left \{ 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9 \right \}$ , numărul $4\cdot n$ să fie element al mulțimii .

Rezolvare:

$p=\frac{\text{num\u ar cazuri favorabile}}{\text{num\u ar cazuri posibile}}$

Mulțimea are elemente. Deci avem cazuri posibile.

Numerele din mulțimea care verifică $4\cdot n\in A$ sunt:

$\begin{align*} & n=0 \ \Rightarrow \ 4\cdot 0=0\in A \\ & n=1 \ \Rightarrow \ 4\cdot 1=4\in A \\ & n=2 \ \Rightarrow \ 4\cdot 2=8\in A \\ & n\geq 3 \ \Rightarrow \ 4\cdot n\geq 12\notin A \\ \end{align*}$

Deci avem cazuri favorabile.

$\Rightarrow p=\frac{3}{10}$

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,1) , B(3,4) și astfel încât punctul este mijlocul segmentului . Arătați că...