Tehnologic

Subiectul I

  1. Arătați că  \left ( \sqrt{8}+1 \right )\cdot \left ( 2\sqrt{2}-1 \right )-\sqrt{36}=1.

Rezolvare:

\begin{align*} &\left ( \sqrt{8}+1 \right )\cdot \left ( 2\sqrt{2}-1 \right )-\sqrt{36}=&\\ &=(2\sqrt{2}+1)(2\sqrt{2}-1)-6&\\ &=(2\sqrt{2})^2-1^2-6&\\ &=2^2\cdot (\sqrt{2})^2-1-6&\\ &=4\cdot 2-7&\\ &=8-7&\\ &=1.& \end{align*}

2. Se consideră funcțiile f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=5x-1 și g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, g(x)=5+2x. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f și g.

Rezolvare:

Abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f și g este soluția ecuației f(x)=g(x).

\begin{align*} &f(x)=g(x)\\ \Leftrightarrow \ & 5x-1=5+2x\\ \Leftrightarrow \ & 5x-2x=5+1\\ \Leftrightarrow \ & 3x=6\\ \Leftrightarrow \ & x=6:3\\ \Leftrightarrow \ & x=2 \end{align*}

\begin{align*} f(2)&=5\cdot 2-1=10-1=9\\ g(2)&=5+2\cdot 2=5+4=9 \end{align*}

Deci punctul A(2,9) este punctul de intersecție a graficelor funcțiilor f și g.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \sqrt{x^2+6x}=x.

Rezolvare:

Condiții de existență: x\geq 0 și x^2+6x\geq 0.

\begin{align*} &x^2+6x\geq 0\\ &\Leftrightarrow \ x(x+6)\geq 0\\ &x\geq 0\ \Rightarrow \ x+6\geq 0\\ &\Rightarrow\ x\geq 0-6\\ & \Leftrightarrow \ x\geq -6 \end{align*}

\Rightarrow x\in \left [ 0,+\infty \right )\cap \left [ -6,+\infty \right )\ \Leftrightarrow \ x\in\left [ 0,+\infty \right )

\begin{align*} &\sqrt{x^2+6x}=x \ |^2 \\ \Leftrightarrow \ & x^2+6x=x^2\\ \Leftrightarrow \ & 6x=x^2-x^2\\ \Leftrightarrow \ & 6x=0\\ \Leftrightarrow \ & x=0:6\\ \Leftrightarrow \ & x=0\in \left [ 0,+\infty \right ). \end{align*}

4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A=\left \{ 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9 \right \}, numărul 4\cdot n să fie element al mulțimii A.

Rezolvare:

p=\frac{\text{num\u ar cazuri favorabile}}{\text{num\u ar cazuri posibile}}

Mulțimea A are 10 elemente. Deci avem 10 cazuri posibile.

Numerele din mulțimea A care verifică 4\cdot n\in A sunt:

\begin{align*} & n=0 \ \Rightarrow \ 4\cdot 0=0\in A \\ & n=1 \ \Rightarrow \ 4\cdot 1=4\in A \\ & n=2 \ \Rightarrow \ 4\cdot 2=8\in A \\ & n\geq 3 \ \Rightarrow \ 4\cdot n\geq 12\notin A \\ \end{align*}

Deci avem 3 cazuri favorabile.

\Rightarrow p=\frac{3}{10}

5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(2,1), B(3,4) și C astfel încât punctul A este mijlocul segmentului BC. Arătați că...

Textul de mai sus este doar un extras. Numai membrii pot citi întregul conținut.

Obține acces la întregul eBook.

Ca membru al Liceunet.ro, beneficiezi de acces la întregul conținut.

Achiziționează un abonament acum

Deja membru? Log in