Științe ale naturii

Cuprins

Subiectul I
Subiectul II
Subiectul III

Subiectul I

Arătați că numărul $N=\log_2 24-\log_2 12+3$ este pătratul unui număr natural.

Rezolvare:

$\begin{align*} N&=\log_2 24 -\log_2 12+3 \\ &=\log_2 \frac{24}{12}+3\\ &=\log_2 2 +3 \\ &=1+3\\ &=4 \end{align*}$

$\Rightarrow N=4=2^2$

Deci numărul este pătratul numărului .

2. Determinați numărul real pentru care punctul A(a,a^2) aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , f(x)=2x-1 .

Rezolvare:

$\begin{align*} & A(a,a^2)\in G_f\ \Rightarrow \ f(a)=a^2\\ \Leftrightarrow \ & 2a-1=a^2\\ \Leftrightarrow \ & a^2-2a+1=0\\ \Leftrightarrow \ & (a-1)^2=0\\ \Leftrightarrow \ & a-1=0\\ \Leftrightarrow \ & a=0+1\\ \Leftrightarrow \ & a=1\in \mathbb{R}. \end{align*}$

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2-2x-2}=x-2$ .

Rezolvare:

Condiții de existență: $x-2\geq 0$ și $x^2-2x-2\geq 0$ .

$\begin{align*} & x-2\geq 0\\ \Leftrightarrow \ & x\geq 0+2\\ \Leftrightarrow \ & x\geq 2\\ \Leftrightarrow \ & x\in \left [ 2,+\infty \right ) \end{align*}$

$x^2-2x-2\geq 0$

Rezolvăm ecuația x^2-2x-2=0 .

$\begin{align*} \Delta&= (-2)^2-4\cdot 1\cdot (-2)&\\ &=4+8\\ &=12 \end{align*}$

$\begin{align*} x_1&=\frac{-(-2)-\sqrt{12}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}\\ &=1-\sqrt{3} \end{align*}$

$\begin{align*} x_2&=\frac{-(-2)+\sqrt{12}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{2+2\sqrt{3}}{2}\\ &=1+\sqrt{3} \end{align*}$

$\Rightarrow \ x\in \left ( -\infty,1-\sqrt{3} \right ]\cup \left [ 1+\sqrt{3},+\infty \right )$

Deci $x\in \left [ 1+\sqrt{3},+\infty \right )$ .

Rezolvăm ecuația din enunț.

$\begin{align*} & \sqrt{x^2-2x-2}=x-2\ |^2\\ \Leftrightarrow \ & x^2-2x-2x=(x-2)^2\\ \Leftrightarrow \ & x^2-2x-2=x^2-4x+4\\ \Leftrightarrow \ & -2x+4x=4+2\\ \Leftrightarrow \ & 2x=6\\ \Leftrightarrow \ & x=6:2\\ \Leftrightarrow \ & x=3\in \left [ 1+\sqrt{3},+\infty \right ). \end{align*}$

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\left \{ 1!, 2!, 3!,\dots, 10! \right \}$ , acesta să fie divizibil cu .

Rezolvare:

$p=\frac{\text{num\u ar cazuri favorabile}}{\text{num\u ar cazuri posibile}}$

Mulțimea conține elemente. Deci avem cazuri posibile.

Numerele din mulțimea care sunt divizibile cu sunt:

$\begin{align*} & 6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=1\cdot 2^2\cdot 4\cdot 5\cdot 9\ \vdots\ 9\\ & 7!=6!\cdot 7\ \vdots \ 9\\ & 8!=6!\cdot 7\cdot 8\ \vdots\ 9\\ & 9!=8!\cdot 9\ \vdots\ 9\\ & 10!=8!\cdot 9\cdot 10\ \vdots\ 9 \end{align*}$

Deci avem cazuri favorabile.

$\Rightarrow p=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.$

5. Se consideră triunghiul ABC , punctul mijlocul segmentului . Arătați că, pentru orice puncte și astfel încât $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FD}$ , are loc relația $2\left(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ .

Rezolvare:

Cum punctul este mijlocul segmentului , rezultă că $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$ și $\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{DC}$ .

$\begin{align*} &\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\\ &\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC} \end{align*}$

Adunând relațiile de mai...