Științe ale naturii

Subiectul I

  1. Arătați că numărul N=\log_2 24-\log_2 12+3 este pătratul unui număr natural.

Rezolvare:

\begin{align*} N&=\log_2 24 -\log_2 12+3 \\ &=\log_2 \frac{24}{12}+3\\ &=\log_2 2 +3 \\ &=1+3\\ &=4 \end{align*}

\Rightarrow N=4=2^2

Deci numărul N este pătratul numărului 2.

2. Determinați numărul real a pentru care punctul A(a,a^2) aparține graficului funcției f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=2x-1.

Rezolvare:

\begin{align*} & A(a,a^2)\in G_f\ \Rightarrow \ f(a)=a^2\\ \Leftrightarrow \ & 2a-1=a^2\\ \Leftrightarrow \ & a^2-2a+1=0\\ \Leftrightarrow \ & (a-1)^2=0\\ \Leftrightarrow \ & a-1=0\\ \Leftrightarrow \ & a=0+1\\ \Leftrightarrow \ & a=1\in \mathbb{R}. \end{align*}

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația \sqrt{x^2-2x-2}=x-2.

Rezolvare:

Condiții de existență: x-2\geq 0 și x^2-2x-2\geq 0.

\begin{align*} & x-2\geq 0\\ \Leftrightarrow \ & x\geq 0+2\\ \Leftrightarrow \ & x\geq 2\\ \Leftrightarrow \ & x\in \left [ 2,+\infty \right ) \end{align*}

x^2-2x-2\geq 0

Rezolvăm ecuația x^2-2x-2=0.

\begin{align*} \Delta&= (-2)^2-4\cdot 1\cdot (-2)&\\ &=4+8\\ &=12 \end{align*}

\begin{align*} x_1&=\frac{-(-2)-\sqrt{12}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}\\ &=1-\sqrt{3} \end{align*}

\begin{align*} x_2&=\frac{-(-2)+\sqrt{12}}{2\cdot 1}\\ &=\frac{2+2\sqrt{3}}{2}\\ &=1+\sqrt{3} \end{align*}

\Rightarrow \ x\in \left ( -\infty,1-\sqrt{3} \right ]\cup \left [ 1+\sqrt{3},+\infty \right )

Deci x\in \left [ 1+\sqrt{3},+\infty \right ).

Rezolvăm ecuația din enunț.

\begin{align*} & \sqrt{x^2-2x-2}=x-2\ |^2\\ \Leftrightarrow \ & x^2-2x-2x=(x-2)^2\\ \Leftrightarrow \ & x^2-2x-2=x^2-4x+4\\ \Leftrightarrow \ & -2x+4x=4+2\\ \Leftrightarrow \ & 2x=6\\ \Leftrightarrow \ & x=6:2\\ \Leftrightarrow \ & x=3\in \left [ 1+\sqrt{3},+\infty \right ). \end{align*}

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea A=\left \{ 1!, 2!, 3!,\dots, 10! \right \}, acesta să fie divizibil cu 9.

Rezolvare:

p=\frac{\text{num\u ar cazuri favorabile}}{\text{num\u ar cazuri posibile}}

Mulțimea A conține 10 elemente. Deci avem 10 cazuri posibile.

Numerele din mulțimea A care sunt divizibile cu 9 sunt:

\begin{align*} & 6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=1\cdot 2^2\cdot 4\cdot 5\cdot 9\ \vdots\ 9\\ & 7!=6!\cdot 7\ \vdots \ 9\\ & 8!=6!\cdot 7\cdot 8\ \vdots\ 9\\ & 9!=8!\cdot 9\ \vdots\ 9\\ & 10!=8!\cdot 9\cdot 10\ \vdots\ 9 \end{align*}

Deci avem 5 cazuri favorabile.

\Rightarrow p=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.

5. Se consideră triunghiul ABC, punctul D mijlocul segmentului BC. Arătați că, pentru orice puncte E și F astfel încât \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{FD}, are loc relația 2\left(\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{FC}\right)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.

Rezolvare:

Cum punctul D  este mijlocul segmentului BC, rezultă că \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC} și \overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{DC}.

\begin{align*} &\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}\\ &\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{FD}+\overrightarrow{DC} \end{align*}

Adunând relațiile de mai...

Textul de mai sus este doar un extras. Numai membrii pot citi întregul conținut.

Obține acces la întregul eBook.

Ca membru al Liceunet.ro, beneficiezi de acces la întregul conținut.

Achiziționează un abonament acum

Deja membru? Log in