Mate-Info

Subiectul I

  1. Arătați că numerele 6-3\sqrt{3}, \sqrt{3} și 2+\sqrt{3} sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Rezolvare:

Verificăm dacă \sqrt{(6-3\sqrt{3})\cdot (2+\sqrt{3})}=\sqrt{3}\ |^2 \Leftrightarrow (6-3\sqrt{3})\cdot (2+\sqrt{3})=3.

\begin{align*} (6-3\sqrt{3})(2+\sqrt{3})&=6\cdot 2+6\cdot \sqrt{3}-3\sqrt{3}\cdot 2-3\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}\\ &=12+6\sqrt{3}-6\sqrt{3}-3\cdot 3\\ &=12-9\\ &=3 \end{align*}

Deci numerele  6-3\sqrt{3}, \sqrt{3} și 2+\sqrt{3} sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

2. Se consideră funcția f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=x^2+mx+1, unde m este număr real. Determinați numerele reale m pentru care axa Ox este tangentă graficului funcției f.

Rezolvare:

Dacă axa Ox este tangentă la graficul funcției f, atunci vârful parabolei V(x_V,y_V) aparține axei Ox. Deci discriminantul ecuației f(x)=0 este nul.

\begin{align*} &\Delta=0&\\ \Leftrightarrow\ &m^2-4\cdot 1\cdot 1=0&\\ \Leftrightarrow\ &m^2-4=0&\\ \Leftrightarrow\ &m^2=0+4&\\ \Leftrightarrow\ &m^2=4&\\ \Leftrightarrow\ &m=\pm\sqrt{4}&\\ \Leftrightarrow\ &m=\pm 2.& \end{align*}

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5^{x+2}=5^x+24.

Rezolvare:

\begin{align*} &5^{x+2}=5^x+24&\\ \Leftrightarrow\ &5^{x}\cdot 5^2=5^x+24&\\ \Leftrightarrow\ &25\cdot 5^x-5^x=24&\\ \Leftrightarrow\ &24\cdot 5^x=24&\\ \Leftrightarrow\ &5^x=24:24&\\ \Leftrightarrow\ &5^x=1&\\ \Leftrightarrow\ &5^x=5^0&\\ \Leftrightarrow\ &x=0.&\\ \end{align*}

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre distincte, acesta să aibă cifra zecilor multiplu de 3.

Rezolvare:

p=\frac{\text{num\u ar cazuri favorabile}}{\text{num\u ar cazuri posibile}}

Sunt 90 de numere naturale de două cifre, dintre care excludem cele 9 numere care au cifrele egale. Obținem 90-9=81 de numere naturale de două c...

Textul de mai sus este doar un extras. Numai membrii pot citi întregul conținut.

Obține acces la întregul eBook.

Ca membru al Liceunet.ro, beneficiezi de acces la întregul conținut.

Achiziționează un abonament acum

Deja membru? Log in