Algebră

Cuprins

Mulțimea numerelor reale
- Tipuri de mulțimi și notații
Axa numerelor reale. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări
Media aritmetică și media geometrică

Mulțimea numerelor reale

Tipuri de mulțimi și notații

Mulțimea numerelor naturale se notează cu $\mathbb{N}$ și este formată din: $0,1,2,3,4,5,\dotsc$ .

Mulțimea numerelor întregi, notată astfel $\mathbb{Z}=\{\dotsc, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\dotsc \}$ este formată din toate numerele naturale și opusele acestora.

Mulțimea numerelor raționale $\mathbb{Q}$ se definește astfel:

$\mathbb{Q}=\left \{ \dfrac{m}{n}\ \bigg|\ m,n\in\mathbb{Z},n\neq 0 \right \}$ .

Toate fracțiile zecimale, infinite, neperiodice constituie mulțimea numerelor iraționale.

Definiție: Rădăcină pătrată a unui număr rațional nenegativ

Se numește rădăcina pătrată a unui număr rațional nenegativ unicul număr real nenegativ al cărui pătrat este numărul .

Noțiunea de rădăcină pătrată se extinde și la numere reale:

Definiție: Rădăcină pătrată a unui număr real nenegativ

Se numește rădăcina pătrată a numărului real nenegativ un număr real pozitiv cu proprietatea că y^2=x .

Vom nota $\sqrt{x}=y$ .

Propoziție: Proprietăți ale rădăcinii pătratice a unui număr real

Avem următoarele proprietăți:

$(\sqrt{x})^2=x,\forall\ x\in\mathbb{R},\ x\geq 0$ ;
$\sqrt{x^2}=|x|,\forall\ x\in\mathbb{R}$ ;
$\sqrt{x^2}=x,\forall \ x\in\mathbb{R_+}$ ;
$\sqrt{x^n}=(\sqrt{x})^n,\forall\ x\in\mathbb{R^*_+},\ n\in\mathbb{Z}$ ;
$\sqrt{x}\cdot\sqrt{y}=\sqrt{x\cdot y},\forall \ x\in\mathbb{R_+}$ ;
$\sqrt{x}:\sqrt{y}=\sqrt{x:y},\forall\ x\in\mathbb{R_+},\ y\in\mathbb{R^*_+}$ ;
$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}},\forall\ x\in\mathbb{R_+},\ y\in\mathbb{R^*_+}$ .

Reunind mulțimea numerelor raționale cu mulțimea numerelor iraționale se obține mulțimea numerelor reale, notată cu $\mathbb{R}$ .

Prin urmare, mulțimea numerelor iraționale se va nota $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ , adică diferența dintre mulțimea numerelor reale și mulțimea numerelor raționale.

Observații:

1. Din cele de mai sus, putem observa că numerele naturale sunt conținute în mulțimea numerelor întregi, toate numerele întregi sunt conținute în mulțimea numerelor raționale, toate numerele raționale sunt conținute în mulțimea numerelor reale.

Prin urmare, între cele patru mulțimi remarcabile există relația $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ .

2. Mulțimea $\mathbb{R}$ poate fi scrisă și ca reuniunea mulțimilor $\mathbb{R_-}$ și $\mathbb{R_+}$ , unde:

$\mathbb{R_-}=\left \{ x\in\mathbb{R}: x\leq 0\right \}$ ,

respectiv

$\mathbb{R_+}=\left \{ x\in\mathbb{R}:x\geq 0 \right \}$ .

Axa numerelor reale. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări

Definiție: Axa numerelor

Se numește axa numerelor o dreaptă pe care s-a fixat o origine , un sens pozitiv reprezentat de o săgeată și o unitate de măsură.

Toate numerele pornind de la origine spre dreapta sunt pozitive (semiaxa pozitivă ), iar numerele de la origine spre stânga sunt negative (semiaxa negativă).

Pentru a reprezenta numerele reale pe axă este necesar să știm reprezenta numerele naturale, cele întregi, raționale și iraționale.

Fiecărui punct de pe axă îi corespunde un unic număr real numit abscisa punctului, iar fiecărui număr real îi corespunde un punct unic pe axă.

Pentru a reprezenta un număr natural, se stabilește o unitate de măsură.

Astfel, pentru a reprezenta numărul pe axă, se ia o unitate de măsură spre dreapta; pentru a reprezenta numărul pe axă, se numără două unități de măsură spre dreapta, pentru a reprezenta numărul se numără trei unități de măsură spre dreapta ș.a.m.d.

În cazul numerelor întregi, simetrizăm față de origine punctele de pe axă corespunzătoare numerelor naturale nenule, obținând astfel reprezentarea numerelor întregi negative și, implicit, reprezentarea pe axă a numerelor întregi.

Pentru a reprezenta pe axă numere raționale, fie transformăm numerele raționale în fracții ordinare, fie în fracții zecimale.

Media aritmetică a două numere raționale este tot un număr rațional, ceea ce înseamnă că între două numere raționale există un al treilea număr, iar între acesta și celelalte două există alte două numere raționale. Putem spune că între două numere raționale există o infinitate de numere raționale.

Cu toate acestea, pe axă există puncte a căror abscisă nu este rațională. Acestea sunt punctele corespunzătoare numerelor iraționale.

Pentru a reprezenta pe axă numere iraționale, folosim aproximările zecimale ale acestora.

În cazul radicalilor de forma $\sqrt{n}$ , se extrage rădăcina pătrată sau, folosind rigla și compasul, se determină segmentul de lungime $\sqrt{n}$ .

În acest fel putem reprezenta exact pe axa numerelor reale radicalii.

În cazul în care dorim să determinăm intervalul în care se situează un anume radical, încadrăm cantitatea de sub radical între două pătrate perfecte și aplicăm apoi radicalul celor trei numere.

Definiție: Aproximare zecimală prin lipsă

Se numește aproximare zecimală prin lipsă a unui număr rațional, numărul rațional obținut prin eliminarea succesivă a cifrelor de la partea zecimală, începând din stânga.

Definiție: Aproximare zecimală prin adaos

Se numește aproximare zecimală prin adaos a unui număr rațional, numărul rațional obținut prin adăugarea unei unități la partea întreagă (o zecime la prima zecimală, o sutime la a doua zecimală, etc.) la ultima cifră a unei aproximări prin lipsă.

Aproximările zecimale prin lipsă sunt numere raționale mai mici decât numărul aproximat, iar aproximările zecimale prin adaos sunt numere raționale mai mari decât numărul aproximat.

Media aritmetică și media geometrică

Fie $x_1,x_2,x_3,\dotsc,x_n$ numere reale nenule.

Definiție: Media aritmetică a numere reale

Se numește media aritmetică a celor numere reale raportul dintre suma lor și numărul lor:

$m_a=\dfrac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n},\ n\in\mathbb{N^*}.$

Definiție: Media geometrică a două numere reale pozitive

Se numește medie geometrică a două numere reale pozitive rădăcina pătrată a produsului lor:

$m_g=\sqrt{x_1\cdot x_2},\forall \ x,y\in\mathbb{R_+^*}.$

Observație:

Între media aritmetică și media geometrică a două numere există următoarea relație de inegalitate:

$m_g\leq m_a$ ,

numită inegalitatea mediilor.

În continuare, vei găsi definiții, proprietăți și exemple referitoare la următoarele capitole:

În cadrul paginii intitulate sugestiv Algebră, vei putea vedea ce s-a studiat la orele de matematică în clasa a 8-a, la algebră.

Cu ajutorul acestei pagini a memoratorului de matematică pentru clasa a 8-a vei putea să îți recapitulezi pentru teste, teză sau chiar și pentru examenul final, noțiuni teoretice despre trei mari capitule algebrice: numere reale (calcule algebrice, formule de calcul prescurtat, descompuneri în factori, operații cu rapoarte de numere reale reprezentate prin litere), funcții (definiții, grafice, reprezentări și interpretări geometrice) și ecuații, inecuații și sisteme de ecuații (rezolvarea ecuațiilor, inecuațiilor și a sistemelor de ecuații).

Echipa Liceunet a selectat doar noțiunile teoretice care se regăsesc în următoarele materiale educaționale:

Pentru a obține nota dorită la testul de la clasă, teza semestrială, un concurs sau chiar la examen, te sfătuim ca mai întâi să repeți noțiunile teoretice de algebră pe care o vei găsi în acest material educațional, iar mai apoi să accesezi ghidurile indicate mai sus pentru a afla cum se aplică aceste fiecare noțiune algebrică în exerciții și problemele.

Acesta este un fragment din ceea ce urmează să citești în cadrul paginii Algebră:

Mulțimea numerelor reale

Tipuri de mulțimi și notații

Mulțimea numerelor naturale se notează cu $\mathbb{N}$ și este formată din: $0,1,2,3,4,5,\dotsc$ .

Mulțimea numerelor întregi, notată astfel $\mathbb{Z}=\{\dotsc, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\dotsc \}$ este formată din toate numerele naturale și opusele acestora.

Mulțimea numerelor raționale $\mathbb{Q}$ se definește astfel:

$\mathbb{Q}=\left \{ \dfrac{m}{n}\ \bigg|\ m,n\in\mathbb{Z},n\neq 0 \right \}$ .

Toate fracțiile zecimale, infinite, neperiodice constituie mulțimea numerelor iraționale.

Definiție: Rădăcină pătrată a unui număr rațional nenegativ

Se numeşte rădăcina pătrată a unui număr raţional nenegativ unicul număr real nenegativ al cărui pătrat este numărul .

Noţiunea de rădăcină pătrată se extinde şi la numere reale:

Definiție: Rădăcină pătrată a unui număr real nenegativ

Se numeşte rădăcina pătrată a numărului real nenegativ un număr real pozitiv cu proprietatea că y^2=x .