Formule trigonometrice

Cuprins

Formule pentru suma și diferența a două unghiuri
Formule pentru argumentul dublu
Formule pentru jumătate de argument
Formule pentru transformarea produselor în sume
Formule pentru transformarea sumelor în produse

Formule pentru suma și diferența a două unghiuri

Propoziția TG2: Formule trigonometrice pentru suma și diferența a două unghiuri

Fie $a,b\in\mathbb{R}$ . Atunci avem:

$\cos (a-b)=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b$ ;

$\cos (a+b)=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b$ ;

$\sin (a+b)=\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b$ ;

$\sin (a-b)=\sin a\cdot \cos b-\cos a\cdot \sin b$ ;

$\displaystyle tg\ (a+b)=\frac{ tg\ a+ tg\ b}{1- tg\ a\cdot tg\ b},\ a+b\in\mathbb{R}\setminus \left\{(2k+1)\frac{\pi}{2}\Big|k\in\mathbb{Z}\right\}$ ;

$\displaystyle tg\ (a-b)=\frac{ tg\ a-tg\ b}{1+ tg\ a\cdot tg\ b},\ a-b\in\mathbb{R}\setminus \left\{(2k+1)\frac{\pi}{2}\Big|k\in\mathbb{Z}\right\}$ ;

$\displaystyle ctg\ (a+b)=\frac{ctg\ a\cdot ctg\ b-1}{ctg\ a+ctg\ b},\ a+b\in\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi|k\in\mathbb{Z}\right\}$ ;

$\displaystyle ctg\ (a-b)=\frac{ ctg\ a\cdot ctg\ b+1}{- ctg\ a+ ctg\ b},\ a-b\in\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi|k\in\mathbb{Z}\right\}$ .

Demonstrație:

Dorim să demontrăm formulele enumerate mai sus.

Deoarece cele patru funcții trigonometrice sunt periodice, problema se reduce la demonstrarea formulelor pentru $a,b\in\left[0,2\pi \right )$ .

Cunoaștem că funcția cosinus este pară și astfel considerăm că $a\geq b$ .

Dacă a=b atunci relația devine:

$\begin{align*} &\cos 0=\cos^2 a+\sin^2 a\\ &\Leftrightarrow 1=\cos^2 a+\sin^2 a \end{align*}$ ,

ceea ce este adevărat. (Teorema fundamentală a trigonometriei)

Dacă a >b , vom considera punctele $X,Y,Z \in\mathcal{C}$ astfel încât:

$\begin{align*} &X(\cos a,\sin a)\\ &Y(\cos b,\sin b)\\ &Z(\cos (a-b),\sin (a-b)) \end{align*}$

După cum observăm și în figura de mai sus, XY=AZ .

Pentru a calcula lungimea și, vom folosi formula distanței:

$\begin{align*} XY^2&=(\cos b-\cos a)^2+(\sin b-\sin a)^2\\\\ &=\cos^2 b-2\cos a\cos b+\cos^2 a+\sin^2 b-2\sin b\sin a+\sin^2 a\\\\ &=\sin^2 b+\cos^2 b+\sin^2 a+\cos^2 a-2(\cos a\cos b+\sin a\sin b)\\\\ &=1+1-2(\cos a\cos b+\sin a\sin b) \end{align*}$

$\Leftrightarrow XY^2=2-2(\cos a\cos b+\sin a\sin b).$

Analog, calculăm:

$\begin{align*} AZ^2&=[1-\cos(a-b)]^2+\sin^2 (a-b)\\\\ &=1-2\cos (a-b)+\cos^2 (a-b)+\sin^2 (a-b)\\\\ &=1-2\cos (a-b)+1 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow AZ^2&=2-2\cos (a-b). \end{align*}$

Cum XY=AZ , ne rezultă că:

$\begin{align*} &2-2(\cos a\cos b+\sin a\sin b)=2-2\cos (a-b)\ \Big|: 2\\\\ &\Leftrightarrow 1-\cos (a-b)=1-(\cos a\cos b+\sin a\sin b)\ \Big|- 1\\\\ &\Leftrightarrow -\cos (a-b)=-(\cos a\cos b+\sin a\sin b)\ \Big|: (-1)\\\\ &\Leftrightarrow \cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b. \end{align*}$

Ne vom folosi de faptul că funcția cosinus este pară, iar funcția sinus este impară.

Avem:

$\begin{align*} \cos (a+b)&=\cos [a-(-b)]\\\\ &\overset{A.}{=}\cos a\cos (-b)+\sin a\sin (-b)\\\\ &=\cos a\cos b-\sin a\sin b \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow \cos (a+b)&=\cos a\cos b-\sin a\sin b. \end{align*}$

Observație:

Pentru a putea demonstra următoarele două subpuncte, folosim faptul că:

$\begin{align*} &\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x;\\ &\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x. \end{align*}$

Rescriem relația, astfel:

$\begin{align*} \sin (a+b)&=\cos \left[\frac{\pi}{2}-(a+b)\right]\\\\ &=\cos \left[\left(\frac{\pi}{2}-a\right)-b\right]\\\\ &\overset{A.}{=}\cos \left(\frac{\pi}{2}-a\right)\cos b+\sin \left(\frac{\pi}{2}-a\right)\sin b\\\\ &=\sin a\cos b+\cos a\sin b \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow \sin (a+b)&=\sin a\cos b+\cos a\sin b. \end{align*}$

Rescriem membrul stâng al formulei, astfel:

$\begin{align*} \sin (a-b)&=\sin [a+(-b)]\\\\ &\overset{C.}{=}\sin a\cos (-b)+\cos a\sin (-b)\\\\ &=\sin a\cos b-\cos a\sin b \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \sin (a-b)&=\sin a\cos b-\cos a\sin b. \end{align*}$

Avem:

$\begin{align*} tg\ (a+b)&\displaystyle=\frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}\\\\ &=\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b-\sin a\sin b}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\cos a\cos b}}{\displaystyle\frac{\cos a\cos b-\sin a\sin b}{\cos a\cos b}}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{\sin a}{\cos a}+\frac{\sin b}{\cos b}}{1-\displaystyle\frac{\sin a}{\cos a}\cdot\frac{\sin b}{\cos b}}\\\\ &=\frac{tg\ a+tg\ b}{1-tg\ a\cdot tg\ b}\end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow tg\ (a+b)&\displaystyle=\frac{tg\ a+tg\ b}{1-tg\ a\cdot tg\ b}. \end{align*}$

Analog punctului anterior, obținem:

$\begin{align*} tg\ (a-b)&\displaystyle=\frac{\sin(a-b)}{\cos(a-b)}\\\\ &=\frac{\sin a\cos b-\cos a\sin b}{\cos a\cos b+\sin a\sin b}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{\sin a\cos b-\cos a\sin b}{\cos a\cos b}}{\displaystyle\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b}}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin b}{\cos b}}{1+\displaystyle\frac{\sin a}{\cos a}\cdot\frac{\sin b}{\cos b}}\\\\ &=\frac{tg\ a-tg\ b}{1+tg\ a\cdot tg\ b} \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow tg\ (a-b)&\displaystyle&=\frac{tg\ a-tg\ b}{1+tg\ a\cdot tg\ b}. \end{align*}$

Pentru funcția cotangentă, obținem:

$\begin{align*} ctg\ (a+b)&\displaystyle=\frac{\cos(a+b)}{\sin(a+b)}\\\\ &=\frac{\cos a\cos b-\sin a\sin b}{\sin a\cos b+\cos a\sin b}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{\cos a\cos b-\sin a\sin b}{\sin a\sin b}}{\displaystyle\frac{\sin a\cos b+\cos a\sin b}{\sin a\sin b}}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{\cos a}{\sin a}\cdot\frac{\cos b}{\sin b}-1}{\displaystyle\frac{\cos b}{\sin b}+\frac{\cos a}{\sin a}}\\\\ &=\frac{ctg\ a\cdot ctg\ b-1}{ctg\ a+ctg\ b} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow ctg\ (a+b)&\displaystyle=\frac{ctg\ a\cdot ctg\ b-1}{ctg\ a+ctg\ b}. \end{align*}$

Avem:

$\begin{align*} ctg\ (a-b)&\displaystyle=\frac{\cos(a-b)}{\sin(a-b)}\\\\ &=\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\sin a\cos b-\cos a\sin b}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\sin a\sin b}}{\displaystyle\frac{\sin a\cos b-\cos a\sin b}{\sin a\sin b}}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{\cos a}{\sin a}\cdot\frac{\cos b}{\sin b}+1}{\displaystyle\frac{\cos b}{\sin b}-\frac{\cos a}{\sin a}}\\\\ &=\frac{ctg\ a\cdot ctg\ b+1}{-ctg\ a+ctg\ b} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow ctg\ (a-b)&\displaystyle=\frac{ctg\ a\cdot ctg\ b+1}{-ctg\ a+ctg\ b}. \end{align*}$

Exemple:

Pentru a înțelege mai bine cum se aplică aceste formule, vom lua câte un exemplu pentru fiecare formulă:

Acesta este un exemplu pentru formula de la :

$\cos (a-b)=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b$ .

$\begin{align*} \cos \frac{3\pi}{4}&=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)\\\\ &=\cos \pi\cdot \cos \frac{\pi}{4}+\sin \pi\cdot \sin \frac{\pi}{4}\\\\ &=-1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+0\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\ &=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow \cos \frac{3\pi}{4}&=-\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{align*}$

Acesta este un exemplu pentru formula de la :

$\cos (a+b)=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b$ .

$\begin{align*} \cos \frac{7\pi}{12}&=\cos \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)\\\\ &=\cos \frac{\pi}{4}\cdot \cos \frac{\pi}{3}-\sin \frac{\pi}{4}\cdot \sin \frac{\pi}{3}\\\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\ &=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}. \end{align*}$

Acesta este un exemplu pentru formula de la :

$\sin (a+b)=\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b$ .

$\begin{align*} \sin \frac{5\pi}{6}&=\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)\\\\ &=\sin \frac{\pi}{2}\cdot \cos \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{2}\cdot \sin \frac{\pi}{3}\\\\ &=1\cdot \frac{1}{2}+0\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\\\ &=\frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \sin \frac{5\pi}{6}&=\frac{1}{2}. \end{align*}$

Acesta este un exemplu pentru formula de la :

$\sin (a-b)=\sin a\cdot \cos b-\cos a\cdot \sin b$ .

$\begin{align*} \sin \frac{\pi}{12}&=\sin \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)\\\\ &=\sin \frac{\pi}{3}\cdot \cos \frac{\pi}{4}-\cos \frac{\pi}{3}\cdot \sin \frac{\pi}{4}\\\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\\\ &=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \sin \frac{\pi}{12}&=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}. \end{align*}$

Acesta este un exemplu pentru formula de la :

$\displaystyle tg\ (a+b)=\frac{ tg\ a+ tg\ b}{1- tg\ a\cdot tg\ b}$ .

$\begin{align*}tg\ \frac{\pi}{12}&=tg\ \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)\\\\ &=\frac{tg\ \displaystyle\frac{\pi}{3}-tg\ \frac{\pi}{4}}{1+tg\ \displaystyle\frac{\pi}{3}\cdot tg\ \frac{\pi}{4}}\\\\ &=\frac{\displaystyle\sqrt{3}-1}{1+ \displaystyle\sqrt{3}\cdot 1}\\\\ &=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\\\\ &=\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{3-1}\\\\ &=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}\\\\ &=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}\\\\ &=2-\sqrt{3} \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow tg\ \frac{\pi}{12}&=2-\sqrt{3}. \end{align*}$

Acesta este un exemplu pentru formula de la :

$\displaystyle tg\ (a-b)=\frac{ tg\ a-tg\ b}{1+ tg\ a\cdot tg\ b}$ .

$\begin{align*}tg\ \frac{5\pi}{12}&=tg\ \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)\\\\ &=\frac{tg\ \displaystyle\frac{\pi}{4}+tg\ \frac{\pi}{6}}{1-tg\ \displaystyle\frac{\pi}{4}\cdot tg\ \frac{\pi}{6}}\\\\ &=\frac{\displaystyle 1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1- \displaystyle1\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\displaystyle\frac{3-\sqrt{3}}{3}}\\\\ &=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\\\\ &=\frac{\left(3+\sqrt{3}\right)^2}{9-3}\\\\ &=\frac{9-6\sqrt{3}+3}{6}\\\\ &=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}\\\\ &=2-\sqrt{3}\end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow tg\ \frac{5\pi}{12}&=2-\sqrt{3}. \end{align*}$

Acesta este un exemplu pentru formula de la :

$\displaystyle ctg\ (a+b)=\frac{ctg\ a\cdot ctg\ b-1}{ctg\ a+ctg\ b}$ .

$\begin{align*}ctg\ \frac{2\pi}{3}&=ctg\ \left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\\\\ &=\frac{ctg\ \displaystyle\frac{\pi}{2}\cdot ctg\ \frac{\pi}{6}-1}{ctg\ \displaystyle\frac{\pi}{2}+ctg\ \frac{\pi}{6}}\\\\ &=\frac{0\cdot\sqrt{3}-1}{0+\sqrt{3}}\\\\ &=-\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\ &=-\frac{\sqrt{3}}{3} \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow ctg\ \frac{2\pi}{3}&=-\frac{\sqrt{3}}{3}. \end{align*}$

Acesta este un exemplu pentru formula de la :

$\displaystyle ctg\ (a-b)=\frac{ ctg\ a\cdot ctg\ b+1}{- ctg\ a+ ctg\ b}$ .

$\begin{align*}ctg\ \frac{\pi}{12}&=ctg\ \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)\\\\ &=\frac{ctg\ \displaystyle\frac{\pi}{3}\cdot ctg\ \frac{\pi}{4}+1}{-ctg\ \displaystyle\frac{\pi}{3}+ctg\ \frac{\pi}{4}}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot 1+1}{-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}+1}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{3+\sqrt{3}}{3}}{\displaystyle\frac{3-\sqrt{3}}{3}}\\\\ &=\frac{3+\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\\\\ &=\frac{\left(3+\sqrt{3}\right)^2}{9-3}\\\\ &=\frac{9+6\sqrt{3}+3}{6}\\\\ &=\frac{12+6\sqrt{3}}{6}\\\\ &=2+\sqrt{3} \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow ctg\ \frac{\pi}{12}=2+\sqrt{3} . \end{align*}$

Formule pentru argumentul dublu

Utilizând formulele prezentate mai sus, putem găsi exprimări pentru argumentul dublu.

Propoziția TG3: Formule trigonometrice pentru argument dublu

Pentru $a\in\mathbb{R}$ , au loc relațiile:

$\sin 2a=2\sin a\cos a$ ;

Pentru $\cos 2a$ avem următoarele formule (care sunt echivalente):

$\begin{align*} \cos 2a&=\cos^2 a-\sin^2 a\ \text{ (forma omogen\u a)};\\ \cos 2a&=2\cos^2 a-1\ \text{ (forma exprimat\u a \^ in func\c tie de cosinus de a)};\\ \cos 2a &=1-2\sin^2 a\ \text{(forma exprimat\u a \^ in func\c tie de sinus de a)};\\ \end{align*}$

$tg\ 2a=\displaystyle\frac{2tg\ a}{1-tg ^2 \ a},\ \cos 2a\neq0,\cos a\neq 0$ ;

$ctg\ 2a=\displaystyle\frac{ctg^2\ a-1}{2ctg\ a},\ \sin 2a\neq0,\sin a\neq 0$ .

Demonstrație:

Demonstrăm că $\sin 2a=2\sin a\cos a$ , pentru orice $a\in\mathbb{R}$ .

$\begin{align*} \sin 2a&=\sin (a+a)\\ &=\sin a\cos a+\sin a\cos a\\ &=2\sin a\cos a. \end{align*}$

$\Rightarrow \sin 2a=2\sin a\cos a, \forall\ a\in \mathbb{R}$ .

Vrem să arătăm că $\begin{align*} \cos 2a&=\cos^2 a-\sin^2 a\end{align*}$ , pentru $a\in\mathbb{R}$ .

$\begin{align*} \cos 2a&=\cos (a+a)\\ &=\cos a\cos a-\sin a\sin a\\ &=\cos^2 a-\sin^2 a \end{align*}$

Deci $\begin{align*} \cos 2a&=\cos^2 a-\sin^2 a\end{align*}$ .

Aceasta este forma omogenă, adică o formă scrisă și în funcție de cosinus și în funcție de sinus.

Pentru a obține o formă exprimată doar în funcție de sinus sau cosinus, utilizăm formula fundamentală a trigonometriei.

Reamintim expresia formulei fundamentale a trigonometriei pentru $a\in\mathbb{R}$ :

$\begin{align*} \sin^2 a+\cos^2 a=1\end{align*}$ .

Atunci:

$\begin{align*} \cos 2a&=\cos^2 a-\sin^2 a\\ &=(1-\sin^2 a)-\sin^2 a\\ &=1-2\sin^2 a \end{align*}$

și

$\begin{align*} \cos 2a&=\cos^2 a-\sin^2 a\\ &=\cos^2 a-(1-\cos^2 a)\\ &=2\cos^2 a-1. \end{align*}$

Fie $a\in\mathbb{R}$ . Obținem:

$\begin{align*} tg\ 2a&=tg\ (a+a)\\\\ &=\frac{tg\ a+tg\ a}{1-tg\ atg\ a}\\\\ &=\frac{2tg\ a}{1-tg^2\ a}. \end{align*}$

Pentru orice $a\in\mathbb{R}$ , avem că:

$\begin{align*} ctg\ 2a&=ctg\ (a+a)\\\\ &=\frac{ctg\ a\cdot ctg\ a-1}{ctg\ a+ctg\ a}\\\\ &=\frac{ctg^2\ a-1}{2ctg\ a}. \end{align*}$

Exemple:

Pentru a consolida aceste noțiuni vom lua câte un exemplu pentru fiecare formulă.

În acest exemplu, vom aplica formula de la , pentru a calcula $\begin{align*} \sin \frac{2\pi}{4} \end{align*}$ .

Înlocuind în relația $\begin{align*} &\sin 2a=2\sin a\cos a\ \end{align*}$ , obținem:

$\begin{align*} \sin \frac{2\pi}{4}&=2\sin \frac{\pi}{4}\cos \frac{\pi}{4}\\\\ &=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\\\\ &=\frac{2\sqrt{4}}{4}\\\\&=\frac{2}{2}\\\\&=1. \end{align*}$

Pentru o verificare a rezultatului obținut, observăm că $\begin{align*} \sin \frac{2\pi}{4}=\sin \frac{\pi}{2}=1 \end{align*}$ .

Pentru unghiul dublu al funcției cosinus, vom calcula $\begin{align*} \cos \frac{2\pi}{3} \end{align*}$ , pe rând, în toate cele trei cazuri și vom observa că obținem același rezultat:

$\begin{align*} \cos 2a&=\cos^2 a-\sin^2 a\\&=2\cos^2 a-1\\&=1-2\sin^2 a\\ \end{align*}$

Cu ajutorul primei formule, avem:

$\begin{align*} \cos \frac{2\pi}{3}&=\cos^2 \frac{\pi}{3}-\sin^2 \frac{\pi}{3}\\\\ &=\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\\\ &=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}\\\\ &=-\frac{1}{2}. \end{align*}$

Cea de-a doua formulă, obținem:

$\begin{align*} \cos \frac{2\pi}{3}&=2\cos^2 \frac{\pi}{3}-1\\\\ &=2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2-1\\\\ &=2\cdot\frac{1}{4}-1\\\\ &=\frac{1}{2}-1\\\\ &=-\frac{1}{2}. \end{align*}$

Și, folosind ultima formulă, ne rezultă că:

$\begin{align*} \cos \frac{2\pi}{3}&=1-2\sin^2 \frac{\pi}{3}\\\\ &=1-2\cdot\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\\\\ &=1-2\cdot\frac{3}{4}\\\\ &=1-\frac{3}{2}\\\\ &=-\frac{1}{2}. \end{align*}$

Calculăm $tg\ \frac{2\pi}{6}$ , utilizând formula de la punctul , adică:

$tg\ 2a=\displaystyle\frac{2tg\ a}{1-tg ^2 \ a}$ .

$\begin{align*} tg\ \frac{2\pi}{6}&=tg\ \left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)\\\\ &=\frac{2tg\ \displaystyle\frac{\pi}{6}}{1-tg^2\ \displaystyle\frac{\pi}{6}}\\\\ &=\frac{2\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}}{1-\displaystyle\frac{3}{9}}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\displaystyle\frac{6}{9}}\\\\ &=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{9}{6}\\\\ &=\sqrt{3}. \end{align*}$

Vrem să calculăm $tg\ \frac{2\pi}{3}$ , ultizând formula de la punctul :

$ctg\ 2a=\displaystyle\frac{ctg^2\ a-1}{2ctg\ a}$ .

$\begin{align*} ctg\ \frac{2\pi}{3}&=\frac{ctg^2\ \displaystyle\frac{\pi}{3}-1}{2ctg\ \displaystyle\frac{\pi}{3}}\\\\ &=\frac{\left(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2-1}{2\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{3}{9}-1}{\displaystyle\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\\\ &=-\frac{6}{9}\cdot\frac{3}{2\sqrt{3}}\\\\ &=-\frac{\sqrt{3}}{3}. \end{align*}$

Formule pentru jumătate de argument

În continuare vom încerca să exprimăm sinusul, cosinusul și tangenta pentru jumătate de argument, deoarece în unele exemple, s-ar putea să cunoaștem doar valoarea dublului argumentului funcției trigonometrice.

Procedăm în felul următor.

Din formulele pentru cosinusul dublului argumentului avem că:

$\begin{align*} &\cos 2a=2\cos^2 a-1 \\\\ &\Leftrightarrow 2\cos^2 a=1+\cos 2a\\\\ &\Leftrightarrow \cos^2 a=\frac{1+\cos 2a}{2}\\\\ &\Leftrightarrow \cos a=\pm\sqrt{\frac{1+\cos 2a}{2}}\\\\ \end{align*}$

și

$\begin{align*} &\cos 2a=1-2\sin^2 a \\\\ &\Leftrightarrow 2\sin^2 a=1-\cos 2a\\\\ &\Leftrightarrow \sin^2 a=\frac{1-\cos 2a}{2}\\\\ &\Leftrightarrow \sin a=\pm\sqrt{\frac{1-\cos 2a}{2}}. \end{align*}$

Facem următoarea subtituție (înlocuire):

$\begin{align*} a=\frac{m}{2} \end{align*}$ .

Obținem:

Propoziția TG4: Formule trigonometrice pentru jumătate de argument

Dacă $m\in \mathbb{R}$ , atunci:

$\begin{align*} &\cos \frac{m}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos m}{2}};\\\\ \end{align*}$

$\begin{align*}&\sin \frac{m}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos m}{2}}; \end{align*}$

$\begin{align*} &tg\ \frac{m}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos m}{1+\cos m}}.\\ \end{align*}$

Ultima formulă a fost obținută din:

$\begin{align*} &tg\ \frac{m}{2}==\frac{\sin \displaystyle\frac{m}{2}}{\cos \displaystyle\frac{m}{2}} \ (1)\end{align*}$ .

Exemplu:

Vom calcula valorile funcțiilor cosinus, sinus și tangentă pentru unghiul de $15^\circ$ și, doarece acest unghi aparține primului cadran, vom utiliza cazurile pozitive.

Din formula $\begin{align*} A. \end{align*}$ , luată cu semnul „ $\begin{align*}+ \end{align*}$ ”, obținem:

$\begin{align*} \cos \frac{m}{2}&=\sqrt{\frac{1+\cos m}{2}}\\\\ \cos \frac{\pi}{12}&=\cos \frac{\displaystyle\frac{\pi}{6}}{2}\\\\&=\sqrt{\frac{1+\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}}{2}}\\\\ &=\sqrt{\frac{1+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}\\\\ &=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\\\\ &=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}. \end{align*}$

Folosim formula $\begin{align*} B. \end{align*}$ cu semnul „ $\begin{align*}+ \end{align*}$ ” și avem:

$\begin{align*} \sin \frac{m}{2}&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos m}{2}}\\\\ \sin \frac{\pi}{12}&=\sin \frac{\displaystyle\frac{\pi}{6}}{2}\\\\&=\sqrt{\frac{1-\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}}{2}}\\\\ &=\sqrt{\frac{1-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}\\\\ &=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}\\\\ &=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}. \end{align*}$

Din formula $\begin{align*} (1)\end{align*}$ , ne rezultă că:

$\begin{align*} tg\ \frac{m}{2}&=\frac{\sin \displaystyle\frac{m}{2}}{\cos \displaystyle\frac{m}{2}}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}{\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}\\\\ &=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}. \end{align*}$

Formule pentru transformarea produselor în sume

Pentru a realiza aceste transformări, ne vom folosi de primele patru relații pentru suma și diferența a două unghiuri deja demostrate, și anume:

$\cos (a-b)=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b$ ;
$\cos (a+b)=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b$ ;
$\sin (a+b)=\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b$ ;
$\sin (a-b)=\sin a\cdot \cos b-\cos a\cdot \sin b$ .

Vom efectua adunarea relațiilor (1) și (2) :

$\begin{align*} &\cos (a-b)+\cos (a+b)=\\&=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b+\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b\\ &=2\cos a\cos b \end{align*}$

$\begin{align*} &\Rightarrow \cos a\cos b=\frac{\cos (a-b)+\cos (a+b)}{2}. \end{align*}$

Adunăm relațiile (3) și (4) . Obținem:

$\begin{align*} &\sin (a+b)+\sin (a-b)=\\&=\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b+\sin a\cdot \cos b-\cos a\cdot \sin b\\ &=2\sin a\cos b\end{align*}$

$\Rightarrow \sin a\cos b=\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{2}.$

Dacă scădem relația (1) din relația (2) , ne rezultă:

$\begin{align*} &\cos (a+b)-\cos (a-b)=\\&=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b-(\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b)\\ &=\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b-\cos a\cdot \cos b-\sin a\cdot \sin b\\ &=-2\sin a\sin b\end{align*}$

$\Rightarrow \sin a\sin b=\frac{\cos (a-b)-\cos (a+b)}{2}.$

Acum, scădem relația (4) din relația (3) și avem că:

$\begin{align*} &\sin (a+b)-\sin (a-b)=\\&=\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b-(\sin a\cdot \cos b-\cos a\cdot \sin b)\\ &=\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b-\sin a\cdot \cos b+\cos a\cdot \sin b\\ &=2\cos a\sin b \end{align*}$

$\begin{align*} &\Rightarrow \cos a\sin b=\frac{\sin (a+b)-\sin (a-b)}{2}.\end{align*}$

Propoziția TG5: Formule trigonometrice pentru transformarea produselor în sume

Pentru $a,b \in \mathbb{R}$ , se obțin următoarele formule:

$\begin{align*} &\cos a\cos b=\frac{\cos (a-b)+\cos (a+b)}{2}\\ \end{align*}$ ;

$\begin{align*}\sin a\cos b=\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{2} \end{align*}$ ;

$\begin{align*} \sin a\sin b=\frac{\cos (a-b)-\cos (a+b)}{2} \end{align*}$ ;

$\begin{align*} \cos a\sin b=\frac{\sin (a+b)-\sin (a-b)}{2} \end{align*}$ .

Exemple:

Vrem să calculăm $\cos\frac{5\pi}{24}\cdot\cos\frac{\pi}{8}$ folosind formula , adică:

$\begin{align*} &\cos a\cos b=\frac{\cos (a-b)+\cos (a+b)}{2}\\ \end{align*}$ ,

pentru $a=\frac{5\pi}{24}$ și $b=\frac{\pi}{8}$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} \cos\frac{5\pi}{24}\cos\frac{\pi}{8}&=\frac{\cos \left(\displaystyle\frac{5\pi}{24}-\frac{\pi}{8}\right)+\cos \left(\displaystyle\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi}{8}\right)}{2}\\\\ &=\frac{\displaystyle\cos \frac{\pi}{12}+\cos\frac{\pi}{3}}{2}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}+\frac{1}{2}}{2}\\\\ &=\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}+1}{4}. \end{align*}$

Am ultilizat valoarea pentru $\cos\frac{\pi}{12}$ calculată într-unul din exemplele din pagina anterioară.

Calculăm $\sin\frac{3\pi}{8}\cdot\cos\frac{7\pi}{24}$ folosind formula , adică:

$\begin{align*}\sin a\cos b=\frac{\sin (a+b)+\sin (a-b)}{2} \end{align*}$ ,

pentru $a=\frac{3\pi}{8}$ și $b=\frac{7\pi}{24}$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} \sin\frac{3\pi}{8}\cos\frac{7\pi}{24}&=\frac{\sin \left(\displaystyle\frac{3\pi}{8}+\frac{7\pi}{24}\right)+\sin \left(\displaystyle\frac{3\pi}{8}-\frac{7\pi}{24}\right)}{2}\\\\ &=\frac{\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{12}}{2}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}{2}\\\\ &=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}{4}. \end{align*}$

La fel ca la exemplul anterior, valoarea pentru $\sin\frac{\pi}{12}$ a fost calculată într-unul din exemplele din pagina anterioară.

Calculăm $\sin \pi\cdot\sin\frac{\pi}{4}$ folosind formula , adică:

$\begin{align*} \sin a\sin b=\frac{\cos (a-b)-\cos (a+b)}{2} \end{align*}$ ,

cu $a= \pi$ și $b=\frac{\pi}{4}$ .

Rezolvare:

$\begin{align*} \sin \pi\sin\frac{\pi}{4}&=\frac{\cos \left(\displaystyle\pi-\frac{\pi}{4}\right)-\cos \left(\displaystyle\pi+\frac{\pi}{4}\right)}{2}\\\\ &=\frac{\cos \displaystyle\frac{3\pi}{4}-\cos \frac{5\pi}{4}}{2}\\\\ &=\frac{\displaystyle-\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2}\\\\ &=\frac{0}{2}\\\\ &=0. \end{align*}$

Dacă dorim să verificăm rezultatul obținut, trebuie să ținem cont de faptul că $\begin{align*} \sin \pi=0 \end{align*}$ .

Exercițiu:

Să se calculeze $\begin{align*} \cos \frac{\pi}{2}\cdot \sin \frac{\pi}{3} \end{align*}$ , utilizând formula (D) , adică

$\begin{align*} \cos a\sin b=\frac{\sin (a+b)-\sin (a-b)}{2} \end{align*}$ ,

pentru $\begin{align*}a= \frac{\pi}{2} \end{align*}$ și $\begin{align*} b= \frac{\pi}{3} \end{align*}$ .

Formule pentru transformarea sumelor în produse

Pentru a deduce formulele din această ultimă parte, vom proceda analog transformărilor produselor în sume, notând:

$\begin{align*} &\begin{cases} a+b=x&\\ a-b=y& \end{cases}\end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow &\begin{cases} a=\displaystyle\frac{x+y}{2}&\\ \\ b=\displaystyle\frac{x-y}{2}& \end{cases}\end{align*}$

și vom utiliza rezultatele intermediare obținute anterior, adică în Propoziția TG5.

Atunci, formula $\cos (a+b)+\cos (a-b)=2\cos a\cos b$ devine:

$\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$ .

Apoi, formula $\cos (a+b)-\cos (a-b)=-2\sin a\sin b$ se rescrie:

$\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$ .

Formula $\sin (a+b)+\sin (a-b)=2\sin a\cos b$ este echivalentă cu:

$\sin x+\cos y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$ .

Nu în ultimul rând, relația $\sin (a+b)-\sin (a-b)=2\cos a\sin b$ se poate rescrie astfel:

$\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$ .

Pentru funcția tangentă, avem următoarele formule:

$\begin{align*} &tg\ x+tg\ y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y};\\\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &tg\ x-tg\ y=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y}.\\\end{align*}$

Demonstrație:

Avem:

$\begin{align*} tg\ x+tg\ y&=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\sin y}{\cos y}\\\\ &=\frac{\sin x\cos y+\sin y\cos x}{\cos x\cos y}\\\\ &=\frac{\sin (x+y)}{\cos x\cos y} \end{align*}$

și

$\begin{align*} tg\ x-tg\ y&=\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin y}{\cos y}\\\\ &=\frac{\sin x\cos y-\sin y\cos x}{\cos x\cos y}\\\\ &=\frac{\sin (x-y)}{\cos x\cos y}. \end{align*}$

Pentru funcția cotangetă, se pot deduce următoarele formule:

$ctg\ x+ctg\ y=\frac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y}$ ;

$ctg\ x-ctg\ y=-\frac{\sin(x-y)}{\sin x\sin y}\\$ .

Demonstrație:

$\begin{align*} ctg\ x+ctg\ y&=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{\cos y}{\sin y}\\\\ &=\frac{\cos x\sin y+\cos y\sin x}{\sin x\sin y}\\\\ &=\frac{\sin (x+y)}{\sin x\sin y} \end{align*}$

și

$\begin{align*} ctg\ x-ctg\ y&=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\cos y}{\sin y}\\\\ &=\frac{\cos x\sin y-\cos y\sin x}{\sin x\sin y}\\\\ &=\frac{-(-\cos x\sin y+\cos y\sin x)}{\sin x\sin y}\\\\ &=\frac{-\sin (x+y)}{\sin x\sin y}. \end{align*}$

Exemple:

Să se calculeze $\cos 75^\circ+\cos 15^\circ$ .

Rezolvare:

Utilizăm formula (A) , pentru $a= 75^\circ$ și $b=15^\circ$ .

$\begin{align*} &\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow \cos 75^\circ+\cos 15^\circ&=2\cos \frac{75^\circ+15^\circ}{2}\cos\frac{75^\circ-15^\circ}{2}\\\\ &=2\cos 45^\circ\cos 30^\circ\\\\ &=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\ &=\frac{\sqrt{6}}{2}. \end{align*}$

Să se calculeze $\cos\frac{\pi}{2}-\cos \frac{\pi}{6}$ .

Rezolvare:

Vom folosi formula (B) , pentru $a=\frac{\pi}{2}$ și $b= \frac{\pi}{6}$ .

$\begin{align*} &\cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \cos \frac{\pi}{2}-\cos \frac{\pi}{6}&=-2\sin\frac{\displaystyle \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}}{2}\sin\frac{\displaystyle\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}}{2}\\\\ &=-2\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{6}\\\\ &=-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}\\\\ &=-\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{align*}$

Să se calculeze $\sin \pi+\cos \frac{\pi}{3}$ .

Rezolvare:

Vom folosi formula (C) , pentru $a= \pi$ și $b= \frac{\pi}{3}$ .

$\begin{align*} &\sin x+\cos y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \sin \pi+\cos \frac{\pi}{3}&=2\sin\frac{\displaystyle\pi+\frac{\pi}{3}}{2}\cos\frac{\displaystyle\pi-\frac{\pi}{3}}{2}\\\\ &=2\sin \frac{2\pi}{3}\cos\frac{\pi}{3}\\\\ &=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}\\\\ &=\frac{\sqrt{3}}{2}.\end{align*}$

Să se calculeze $\sin 105^\circ-\sin 15^\circ$ .

Rezolvare:

Vom folosi formula (D) , cu $a= 105^\circ$ și $b=15^\circ$ .

$\begin{align*} &\sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}\end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \sin 105^\circ-\sin 15^\circ&=2\cos\frac{105^\circ+15^\circ}{2}\sin\frac{105^\circ-15^\circ}{2}\\\\ &=2\cos 60^\circ\sin 45^\circ\\\\ &=2\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{align*}$

Să se calculeze $tg\ 30^\circ+tg\ 60^\circ$ .

Rezolvare:

Vom utiliza formula (E) , pentru $a= 30^\circ$ și $b=60^\circ$ .

$\begin{align*} &tg\ x+tg\ y=\frac{\sin(x+y)}{\cos x\cos y} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow tg\ 30^\circ+tg\ 60^\circ&=\frac{\sin(30^\circ+60^\circ)}{\cos 30^\circ\cos 60^\circ}\\\\ &=\frac{\sin 90^\circ}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}}\\\\ &=\frac{1}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}}\\\\ &=\frac{4\sqrt{3}}{3}.\end{align*}$

Să se calculeze $tg\ \pi-tg\ \frac{\pi}{6}$ .

Rezolvare:

Vom aplica formula (F) , pentru $a= \pi$ și $b=\frac{\pi}{6}$ .

$\begin{align*} &tg\ x-tg\ y=\frac{\sin(x-y)}{\cos x\cos y}\end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow tg\ \pi-tg\ \frac{\pi}{6}&=\frac{\displaystyle\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)}{\displaystyle\cos \pi\cos \frac{\pi}{6}}\\\\ &=\frac{\sin \displaystyle\frac{5\pi}{6}}{-1\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{-\sqrt{3}}{2}}\\\\ &=-\frac{\sqrt{3}}{3}. \end{align*}$

Să se calculeze $ctg\ \frac{3\pi}{2}+ctg\ \frac{\pi}{6}$ .

Rezolvare:

Aplicăm formula (G) , pentru $a= \frac{3\pi}{2}$ și $b=\frac{\pi}{6}$ .

$\begin{align*} &ctg\ x+ctg\ y=\frac{\sin(x+y)}{\sin x\sin y} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow ctg\ \frac{3\pi}{2}+ctg\ \frac{\pi}{6}&=\frac{\sin\left(\displaystyle\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \displaystyle\frac{3\pi}{2}\sin \frac{\pi}{6}}\\\\ &=\frac{\sin \displaystyle\frac{5\pi}{3}}{-1\cdot\displaystyle\frac{1}{2}}\\\\ &=\frac{-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\displaystyle\frac{1}{2}}\\\\ &=\sqrt{3}. \end{align*}$

Să se calculeze $ctg\ \frac{\pi}{2}-ctg\ \frac{\pi}{3}$ .

Rezolvare:

Folosim formula (H) , pentru $a= \frac{\pi}{2}$ și $b=\frac{\pi}{3}$ .

$\begin{align*} &ctg\ x-ctg\ y=-\frac{\sin(x-y)}{\sin x\sin y} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow ctg\ \frac{\pi}{2}-ctg\ \frac{\pi}{3}&=-\frac{\displaystyle\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right)}{\displaystyle\sin \frac{\pi}{2}\sin \frac{\pi}{3}}\\\\ &=-\frac{\displaystyle\sin\frac{\pi}{6}}{1\cdot \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\\\\ &=-\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\\\\ &=-\frac{\sqrt{3}}{3}. \end{align*}$

Formule pentru suma și diferența a două unghiuri

Formule pentru argumentul dublu

Formule pentru jumătate de argument

Formule pentru transformarea produselor în sume​

Formule pentru transformarea sumelor în produse

Formule pentru transformarea produselor în sume