Trigonometrie | Ghid
  1. Matematică
  2. Trigonometrie | Ghid
  3. Elemente de trigonometrie
[9]

Cercul trigonometric

Cuprins

Ce este cercul trigonometric?

Definiția TG1: Cercul trigonometric

Cercul trigonometric este cercul cu centrul în originea reperului cartezian și de rază o unitate. El este notat cu \mathcal{C}(O,1) sau, mai simplu cu \mathcal{C}.

Observație:

Sensul de parcurgere în cercul trigonometric este unul pozitiv, adică invers acelor de ceasornic. 

Într-un reper cartezian, graficul unui cerc trigonometric este:

Cercul trigonometric | Trigonometrie | Liceunet.ro

După cum observăm și în figura anterioară, axa Ox este axa cosinus, iar axa Oy este axa sinus.

Lungimea cercului unitate este de 2\pi.

Fie \alpha un unghi din intervalul [0,2\pi]. Atunci lui îi corespunde un punct T situat pe cerc.

În funcție de poziția acestui T pe cerc, avem următoarele cazuri:

  • Dacă T aparține primului cadran, atunci \alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2} \right );
  • Dacă T aparține celui de-al doilea cadran, atunci \alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi \right );
  • Dacă T aparține celui de-al treilea cadran, atunci \alpha\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2} \right );
  • Dacă T aparține celui de-al patrulea cadran, atunci \alpha\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi \right ).

Definirea funcțiilor trigonometrice pe cercul trigonometric și pe axa reală

Funcția sinus

Fie funcția f:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sin x.

Graficul acestei funcții este rezentat în figura de mai jos:

Deoarece funcția sinus este o funcție periodică, putem să o studiem pe toată mulțimea numerelor reale.

În plus, se observă că funcția sinus ia valori doar pe intervalul [ -1,1 ].

Astfel avem funcția f:\mathbb{R}\rightarrow [-1,1], f(x)=\sin x.

Sunt câteva valori de unghiuri importante pe care le vom trata în tabelul următor:

Graficul funcției sinus pe \mathbb{R} este:

Proprietățile funcției sinus

  • Intersecția cu axele
    • Gf\cap Ox în puncte de forma x=k\pi, k\in\mathbb{Z}.
    • Gf\cap Oy în punctul O(0,0).
  • Paritate

Funcția sinus este o funcție impară, adică \sin (-x)=-\sin (x).

  • Periodicitate

Funcția sinus este o funcție periodică, de perioadă principală 2\pi, adică \sin (x+2k\pi)=\sin x, k\in\mathbb{Z}.

  • Monotonie

Vom studia monotonia pe intervalul [0,2\pi].

După cum observăm din tabel, funcția sinus este:

  • strict crescătoare pe \left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right];
  • strict descrescătoare pe \left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\cup\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right].

În cazul general putem spune că funcția sinus este:

  • strict crescătoare pe \left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right];
  • strict descrescătoare pe \left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right].
  • Mărginire

Funcția sinuns este mărginită, pentru că -1\leq \sin x\leq 1.

  • Semnul funcției

\begin{align*} &\sin x \geq 0,\ x\in[0,\pi];\\ &\sin x \leq 0,\ x\in[\pi,2\pi]. \end{align*}

În general, avem că:

\begin{align*} &\sin x \geq 0,\ x\in[0+2k\pi,\pi+2k\pi];\\ &\sin x \leq 0,\ x\in[\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi]. \end{align*}

Funcția cosinus

Fie funcția f:[0,2\pi]\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\cos x.

Graficul acestei funcții este reprezentat în firgura de mai jos:

Se observă faptul că, la fel ca și la funcția sinus, funcția cosinus ia valori doar pe intervalul [ -1,1 ].

Deoarece funcția cosinus este o funcție periodică putem să o studiem pe toată mulțimea numerelor reale.

Astfel, avem funcția f:\mathbb{R}\rightarrow [-1,1], f(x)=\cos x.

În tabelul următor sunt câteva valori de unghiuri importante:

Graficul funcției cosinus pe axa numerelor reale este:

Proprietățile funcției cosinus

  • Intersecția cu axele
    • Gf\cap Ox în puncte de forma x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z};
    • Gf\cap Oy în punctul M(0,1).
  • Paritate

Funcția cosinus este o funcție pară, adică \cos (-x)=\cos (x).

  • Periodicitate

Funcția cosinus este o funcție periodică, de perioadă 2\pi, adică \cos (x+2k\pi)=\cos x, k\in\mathbb{Z}.

  • Monotonie

Vom studia monotonia pe intervalul [0,2\pi].

După cum observăm din tabel, funcția cosinus este:

  • strict crescătoare pe \left[\pi,2\pi\right]:
  • strict descrescătoare pe \left[0,\pi\right]

În cazul general putem spune că funcția cosinus este:

  • strict crescătoare pe \left[\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi\right];
  • strict descrescătoare pe \left[0+2k\pi,\pi+2k\pi\right].
  • Mărginire

Funcția cosinuns este mărginită, pentru că -1\leq \cos x\leq 1.

  • Semnul funcției

\begin{align*} &\cos x \geq 0,\ x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right];\\ &\cos x \leq 0,\ x\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right].\\ \end{align*}

În general avem că:

\begin{align*} &\cos x \geq 0,\ x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right];\\ &\cos x \leq 0,\ x\in\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi\right].\\ \end{align*}

Funcția tangentă

Fie funcția f:[0,2\pi]\setminus\left\{\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right\}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=tg \ x.

Graficul acestei funcții este:

Deoarece funcția tangentă este o funcție periodică putem să o studiem pe toată mulțimea numerelor reale.

Astfel avem funcția f:\mathbb{R}\setminus \left\{(2k+1)\frac{\pi}{2} | k\in\mathbb{Z}\right\}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=tg \ x.

În tabelul următor sunt valori ale tangentei pentru câteva unghiuri importante:

Pentru funcția tangentă, graficul pe axa numerelor reale este:

Proprietățile funcției tangentă

  • Intersecția cu axele
    • Gf\cap Ox în puncte de forma x=k\pi, k\in\mathbb{Z};
    • Gf\cap Oy în punctul O(0,0).
  • Paritate

Funcția tangentă este o funcție impară, adică tg\ (-x)=-tg\ (x).

  • Periodicitate

Funcția tangentă este o funcție periodică, de perioadă principală \pi, adică tg\ (x+k\pi)=tg\ x, k\in\mathbb{Z}.

  • Monotonie

Din graficul funcției putem observa că funcția tangentă este o funcție strict crescătoare.

  • Mărginire

Funcția tangentă este nemărginită.

  • Semnul funcției

Din definiția funcției tangentă, putem să deducem că semnul acestei funcții depinde de semnul funcțiilor deja amintite: sinus și cosinus.

Dacă ne uităm la proprietățile funcțiilor amintite, putem deduce că: 

\begin{align*} &tg\ x \geq 0,\ x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right);\\ &tg\ x \leq 0,\ x\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right]\cup\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right].\\ \end{align*}

Funcția cotangentă

Fie funcția f:[0,2\pi)\setminus\left\{\pi\right\}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ctg\ x.

Graficul acestei funcții este:

Deoarece funcția cotangentă este o funcție periodică, putem să o studiem pe toată mulțimea numerelor reale.

Astfel avem funcția f:\mathbb{R}\setminus \{k\pi\ | k\in\mathbb{Z}\}\rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ctg\ x.

În tabelul următor sunt câteva valori de unghiuri importante pentru funcția cotangentă:

Graficul cotangentei pe \mathbb{R} este redat în imaginea următoare:

Proprietățile funcției cotangentă

  • Intersecția cu axele
    • Gf\cap Ox în puncte de forma x=\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z};
    • Gf nu intersectează axa Oy.
  • Paritate

Funcția cotangentă este o funcție impară, adică ctg\ (-x)=-ctg\ (x).

  • Periodicitate

Funcția cotangentă este o funcție periodică, de perioadă principală \pi, adică ctg\ (x+k\pi)=ctg\ x, k\in\mathbb{Z}..

  • Monotonie

Din graficul funcției putem observa că funcția cotangentă este o funcție strict descrescătoare.

  • Mărginire

Funcția cotangentă este nemărginită.

  • Semnul funcției

Din definiția funcției cotangentă putem să deducem că semnul acestei funcții depinde de semnul funcțiilor deja amintite: sinus și cosinus.

Dacă ne uităm la proprietățile funcțiilor amintite deducem că:

\begin{align*} &ctg\ x \geq 0,\ x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right];\\ &ctg\ x \leq 0,\ x\in\left[\frac{\pi}{2},\pi\right)\cup\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right).\\ \end{align*}

Toate aceste funcții trigonometrice au fost abordate și detaliate în ghidul Funcții elementare, mai precis, în cadrul subcapitolului Funcții trigonometrice directe și inverse.

Exercițiu rezolvat

Să se stabilească semnul următoarelor trei numere:

\sin\frac{301\pi}{11}, \cos\frac{9057\pi}{20},tg\ \frac{2135\pi}{46}.

Rezolvare:

Vom folosi periodicitatea acestor funcții; astfel obținem:

\begin{align*} &\frac{301\pi}{11}=286\pi+\frac{15\pi}{11};\\ \\ &\frac{9057\pi}{20}=452\pi+\frac{17\pi}{20};\\\\ &\frac{2135\pi}{46}=46\pi+\frac{19\pi}{46} .\end{align*}

Deoarece sinus și cosinus au perioada principală \begin{align*} 2\pi \end{align*}, iar tangenta \begin{align*} \pi \end{align*}, ne rezultă că:

\begin{align*} &\sin\frac{301\pi}{11}=\sin \left(286\pi+\frac{15\pi}{11}\right)=\sin\frac{15\pi}{11};\\\\ &\cos\frac{9057\pi}{20}=\cos \left(452\pi+\frac{17\pi}{20}\right)=\cos\frac{17\pi}{20};\\\\ &tg\ \frac{2135\pi}{46}=tg\ \left(46\pi+\frac{19\pi}{46}\right)=tg\ \frac{19\pi}{46}. \end{align*}

Analizând poziția acestor numere pe cercul trigonometric, observăm că:

\begin{align*} &\frac{15\pi}{11}\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right)\Rightarrow \sin\frac{15\pi}{11}<0;\\\\ &\frac{17\pi}{20}\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)\Rightarrow \cos\frac{17\pi}{20}<0;\\\\ &\frac{19\pi}{46}\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\Rightarrow \tan\frac{19\pi}{46}>0. \end{align*}

Formula fundamentală a trigonometriei

Un rezultat important în trigonometrie este faptul că pentru orice a\in\mathbb{R}, avem:

\cos^2 a+\sin^2 a=1.

Acest rezultat poartă numele de formula fundamentală a trigonometriei.

Demonstrație:

Dacă a\in\mathbb{R}, atunci punctul M_a (\cos a,\sin a)\in\mathcal{C}.

Cunoaștem ecuația cercului \mathcal{C}:

x^2+y^2=1.

Facem substituția: 

\begin{cases} x=\cos a& \\ y=\sin a \end{cases}.

Obținem relația:

\cos^2 a+\sin^2 a=1.

Observație:

Cu ajutorul formulei fundamentale a trigonometriei putem calcula sinus în funcție de cosinus și invers, cosinus în funcție de sinus astfel:

\begin{align*} &\cos^2 a+\sin^2 a=1\\ &\cos^2 a=1-\sin^2 a\\ &\cos a=\pm\sqrt{1-\sin^2 a} \end{align*}

și

\begin{align*} &\cos^2 a+\sin^2 a=1\\ &\sin^2 a=1-\cos^2 a\\ &\sin a=\pm\sqrt{1-\cos^2 a}. \end{align*}

Funcțiile sinus și cosinus pe cercul trigonometric în cazuri particulare

În această secțiune vom învăța să citim ușor multipli de \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4} și \frac{\pi}{6}.

Pentru aceasta, vom desena un cerc trigonometric și vom evidenția pe rând acești multipli.

  1. Multiplii de \frac{\pi}{6} ( π / 6) 

În primul rând să ne amintim că:

\begin{align*} &\frac{\pi}{6}=30^\circ;\\ \\ &\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2};\\ \\ &\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{align*}

Atunci, calculăm și funcțiile tangentă și cotangentă:

\begin{align*} tg\ \frac{\pi}{6}&= \frac{\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}}{\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}}\\\\&=\frac{ \displaystyle\frac{1}{2}}{ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\\\\&=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\\\\&=\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\&=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow tg\ \frac{\pi}{6}&=\frac{\sqrt{3}}{3}; \end{align*}

\begin{align*} ctg\ \frac{\pi}{6}&= \frac{1}{tg\ \displaystyle\frac{\pi}{6}}\\\\&=\frac{1}{ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}}\\\\&=\frac{3}{\sqrt{3}}\\\\&=\sqrt{3} \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow ctg\ \frac{\pi}{6}&=\sqrt{3}. \end{align*}

Să citim acum multiplii de \frac{\pi}{6} evidențiați în desen și să le calculăm sinusul, cosinusul, dar și tangenta și cotangenta:

  • \begin{align*} &\frac{5\pi}{6}=150^\circ:\\\\\end{align*}

\begin{align*} \sin\frac{5\pi}{6}&=\sin \frac{\pi}{6}\\\\&=\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow \sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}; \end{align*}

\begin{align*} \cos\frac{5\pi}{6}&=-\cos \frac{\pi}{6}\\\\&=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow \cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}; \end{align*}

\begin{align*} tg\ \frac{5\pi}{6}&=\frac{\sin\displaystyle\frac{5\pi}{6}}{\cos\displaystyle\frac{5\pi}{6}}\\\\&=\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\\\\&=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\\\\&=-\frac{\sqrt{3}}{3}\end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow tg\ \frac{5\pi}{6}&=-\frac{\sqrt{3}}{3};\end{align*}

\begin{align*} ctg\ \frac{5\pi}{6}&=\frac{1}{tg\ \displaystyle\frac{5\pi}{6}}\\\\ &=\frac{1}{-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}}\\\\&=-\frac{3}{\sqrt{3}}\\\\&=-\frac{3\sqrt{3}}{3}\\\\&=-\sqrt{3} \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow ctg\ \frac{5\pi}{6}&=-\sqrt{3}. \end{align*}

  • \begin{align*} &\frac{7\pi}{6}=210^\circ:\\\\\end{align*}

\begin{align*} \sin\frac{7\pi}{6}&=-\sin \frac{\pi}{6}\\\\&=-\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \sin\frac{7\pi}{6}&=-\frac{1}{2}; \end{align*}

\begin{align*} \cos\frac{7\pi}{6}&=-\cos \frac{\pi}{6}\\\\&=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \cos\frac{7\pi}{6}&=-\frac{\sqrt{3}}{2} ;\end{align*}

\begin{align*} tg\ \frac{7\pi}{6}&=\frac{\sin\displaystyle\frac{7\pi}{6}}{\cos\displaystyle\frac{7\pi}{6}}\\\\&=\frac{-\displaystyle\frac{1}{2}}{-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\\\\&=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\\\\&=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow tg\ \frac{7\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}; \end{align*}

\begin{align*}ctg\ \frac{7\pi}{6}&=\frac{1}{tg\ \displaystyle\frac{7\pi}{6}}\\\\&=\frac{1}{\dfrac{\sqrt{3}}{3}}\\\\&=\frac{3}{\sqrt{3}}\\\\&=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{3}\\\\&=\sqrt{3}\end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow ctg\ \frac{7\pi}{6}&=\sqrt{3}.\end{align*}

  • \begin{align*} &\frac{11\pi}{6}=330^\circ:\\\\ \end{align*}

\begin{align*} \sin\frac{11\pi}{6}&=-\sin \frac{\pi}{6}\\\\&=-\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow \sin\frac{11\pi}{6}&=-\frac{1}{2} ;\end{align*}

\begin{align*}\cos\frac{11\pi}{6}&=\cos \frac{\pi}{6}\\\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow \cos\frac{11\pi}{6}&=\frac{\sqrt{3}}{2};\end{align*}

\begin{align*} tg\ \frac{11\pi}{6}&=\frac{\sin\displaystyle\frac{11\pi}{6}}{\cos\displaystyle\frac{11\pi}{6}}\\\\&=\frac{-\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\\\\&=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\\\\&=-\frac{1}{\sqrt{3}}\\\\&=-\frac{\sqrt{3}}{3} \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow tg\ \frac{11\pi}{6}&=-\frac{\sqrt{3}}{3}; \end{align*}

\begin{align*}ctg\ \frac{11\pi}{6}&=\frac{1}{tg\ \displaystyle\frac{11\pi}{6}}\\\\&=\frac{1}{-\dfrac{\sqrt{3}}{3}}\\\\&=-\frac{3}{\sqrt{3}}\\\\&=-\frac{3\cdot \sqrt{3}}{3}\\\\&=-\sqrt{3} \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow ctg\ \frac{11\pi}{6}=-\sqrt{3}. \end{align*}

  1. Multiplii de \frac{\pi}{4} ( π / 4 )

Procedând similar cazului de mai sus, să ne amintim că:

\begin{align*} &\frac{\pi}{4}=45^\circ;\\\\ &\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2};\\\\ &\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}. \end{align*}

Atunci:

\begin{align*} tg\ \frac{\pi}{4}&=\frac{\sin \displaystyle\frac{\pi}{4}}{\cos \displaystyle\frac{\pi}{4}}\\\\&=\frac{ \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}{ \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}\\\\&=1 \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow tg\ \frac{\pi}{4}&=1; \end{align*}

\begin{align*}ctg \ \frac{\pi}{4}&= \frac{1}{tg \ \displaystyle\frac{\pi}{4}}\\\\&=\frac{1}{1}\\\\&=1\end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow ctg \ \frac{\pi}{4}&=1.\end{align*}

Să citim acum multiplii de \frac{\pi}{4} evidențiați în desen și să le calculăm sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta:

  • \begin{align*}&\frac{3\pi}{4}=135^\circ:\\ \end{align*}

\begin{align*} \sin\frac{3\pi}{4}&=\sin \frac{\pi}{4}\\\\&=\frac{\sqrt{2}}{2};\\\\ \cos\frac{3\pi}{4}&=-\cos \frac{\pi}{4}\\\\&=-\frac{\sqrt{2}}{2};\\ \end{align*}

\begin{align*} tg\ \frac{3\pi}{4}&=\frac{\sin\displaystyle\frac{3\pi}{4}}{\cos\displaystyle\frac{3\pi}{4}}\\\\&=\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}\\\\&=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\\\\&=-1;\\ \\ ctg\ \frac{3\pi}{4}&=\frac{1}{tg\ \displaystyle\frac{3\pi}{4}}\\\\&=-1. \end{align*}

  • \begin{align*} &\frac{5\pi}{4}=225^\circ:\\\\ \end{align*}

\begin{align*} \sin\frac{5\pi}{4}&=-\sin \frac{\pi}{4}\\\\&=-\frac{\sqrt{2}}{2};\\\\\cos\frac{5\pi}{4}&=-\cos \frac{\pi}{4}\\\\&=-\frac{\sqrt{2}}{2}; \end{align*}

\begin{align*} tg\ \frac{5\pi}{4}&=\frac{\sin\displaystyle\frac{5\pi}{4}}{\cos\displaystyle\frac{5\pi}{4}}\\\\&=\frac{-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}\\\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\\\\&=1;\\ \\ ctg\ \frac{5\pi}{4}&=\frac{1}{tg\ \displaystyle\frac{5\pi}{4}}\\\\&=1. \end{align*}

  • \begin{align*} &\frac{7\pi}{4}=315^\circ:\\\\ \end{align*}

\begin{align*} \sin\frac{7\pi}{4}&=-\sin \frac{\pi}{4}\\\\&=-\frac{\sqrt{2}}{2};\\ \\ \cos\frac{7\pi}{4}&=\cos \frac{\pi}{4}\\\\&=\frac{\sqrt{2}}{2};\\ \end{align*}

\begin{align*} tg\ \frac{7\pi}{4}&=\frac{\sin\displaystyle\frac{7\pi}{4}}{\cos\displaystyle\frac{7\pi}{4}}\\\\&=\frac{-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}\\\\&=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}\\\\&=-1;\\\\ ctg\ \frac{7\pi}{4}&=\frac{1}{tg\ \displaystyle\frac{7\pi}{4}}\\\\&=-1. \end{align*}

  1. Multiplii de \frac{\pi}{3} ( π / 3 )

La fel cum am procedat la celelalte cazuri particulare, ne amintim că:

\begin{align*} &\frac{\pi}{3}=60^\circ\\\\ &\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\\ &\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}. \end{align*}

Atunci, obținem:

\begin{align*} tg\ \frac{\pi}{3}&= \frac{\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}}{\cos \displaystyle\frac{\pi}{3}}\\\\&=\frac{ \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}{ \displaystyle\frac{1}{2}}\\\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{1}\\\\&=\sqrt{3}; \end{align*}

\begin{align*} ctg\ \frac{\pi}{3}&= \frac{1}{tg\ \displaystyle\frac{\pi}{3}}\\\\&=\frac{ 1}{\sqrt{3}}\\\\&=\frac{\sqrt{3}}{3}. \end{align*}

În continuare, vom citi multiplii lui \frac{\pi}{3} și le vom calcula sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta.

  • \frac{2\pi}{3}=120^\circ:

\begin{align*} \sin\frac{2\pi}{3}&=\sin \frac{\pi}{3}\\\\&=\frac{\sqrt{3}}{2};\\\\ \cos\frac{2\pi}{3}&=-\cos \frac{\pi}{3}\\\\&=-\frac{1}{2};\\ \end{align*}

\begin{align*} ctg\ \frac{2\pi}{3}&=\frac{\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}}{\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}}\\\\&=\frac{-\displaystyle\frac{1}{2}}{\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\\\\&=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\\\\&=-\frac{\sqrt{3}}{3};\\\\ tg\ \frac{2\pi}{3}&=\frac{1}{ctg\ \displaystyle\frac{2\pi}{3}}\\\\&=-\sqrt{3}. \end{align*}

  • \begin{align*} &\frac{4\pi}{3}=240^\circ:\end{align*}

\begin{align*} \sin\frac{4\pi}{3}&=-\sin \frac{\pi}{3}\\\\&=-\frac{\sqrt{3}}{2};\\\\ \cos\frac{4\pi}{3}&=-\cos \frac{\pi}{3}\\\\&=-\frac{1}{2};\\ \end{align*}

\begin{align*} ctg\ \frac{4\pi}{3}&=\frac{\cos\displaystyle\frac{4\pi}{3}}{\sin\displaystyle\frac{4\pi}{3}}\\\\&=\frac{-\displaystyle\frac{1}{2}}{-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\\\\&=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\\\\&=\frac{\sqrt{3}}{3};\\\\ tg\ \frac{4\pi}{3}&=\frac{1}{ctg\ \displaystyle\frac{4\pi}{3}}\\\\&=\sqrt{3}. \end{align*}

  • \begin{align*} &\frac{5\pi}{3}=300^\circ:\\ \end{align*}

\begin{align*} \sin\frac{5\pi}{3}&=-\sin \frac{\pi}{3}\\\\&=-\frac{\sqrt{3}}{2};\\\\ \cos\frac{5\pi}{3}&=\cos \frac{\pi}{3}\\\\&=\frac{1}{2}; \end{align*}

\begin{align*} ctg\ \frac{5\pi}{3}&=\frac{\cos\displaystyle\frac{5\pi}{3}}{\sin\displaystyle\frac{5\pi}{3}}\\\\&=\frac{\displaystyle\frac{1}{2}}{-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}}\\\\&=-\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\\\\&=-\frac{\sqrt{3}}{3};\\\\ tg\ \frac{5\pi}{3}&=\frac{1}{ctg\ \displaystyle\frac{5\pi}{3}}\\\\&=-\sqrt{3}. \end{align*}

Elemente de trigonometrieFormule de reducere la primul cadran