Produsul scalar a doi vectori

Fie doi vectori liberi $\vec{x},\vec{y}$ , ca cei din figura de mai jos.

Cei doi vectori formează unghiul orientat XOY , unghi a cărui măsură o notăm cu $a\in\[0,\pi]$ .

Definiția TG6: Produs scalar

Numărul $\vec{x}\cdot\vec{y}$ se numește produsul scalar al vectorilor $\vec{x}$ și $\vec{y}$ și este egal cu produsul dintre modulul vectorului $\vec{x}$ , modulul vectorului $\vec{y}$ și cosinusul unghiului dintre cei doi vectori.

Matematic, avem:

$\begin{align*} \vec{x}\cdot\vec{y}=|\vec{x}|\cdot|\vec{y}|\cdot\cos a \end{align*}$

În plus, $\vec{x}\vec{y}=0$ dacă $\vec{x}=0$ sau $\vec{y}=0$ .

Observație:

Dacă unghiul format de cei doi vecori are măsura de $90^\circ$ $\left (a=\frac{\pi}{2} \right )$ , atunci cei doi vectori sunt ortogonali și îi vom nota $\vec{x}\perp \vec{y}$ , iar produsul lor scalar va fi nul.

$\begin{align*} \vec{x}\perp \vec{y}\Leftrightarrow\vec{x}\cdot\vec{y}=0 \end{align*}$ .

Din definiția anterioară, putem determina unghiul format de vectorii $\vec{x},\vec{y}$ cu ajutorul funcției cosinus astfel:

$\begin{align*} \cos a=\frac{\vec{x}\vec{y}}{|\vec{x}||\vec{y}|},\ \vec{x}\neq\vec{0}\neq \vec{y} \end{align*}$ .

Proprietățile produsului scalar a doi vectori

Fie $\vec{x}$ un vector liber. Produsul scalar al acestui vector cu el însuși este egal cu modulul său la pătrat, pentru că unghiul format are măsura de $0^\circ$ , iar $\cos 0^\circ=1$ .

$\begin{align*} \vec{x}\cdot\vec{x}=|\vec{x}|^2 \end{align*}$

În capitolul anterior am văzut că funcția cosinus este pară. Rezultă că produsul scalar este o operație comutativă.

$\begin{align*} \vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{y}\cdot\vec{x} \end{align*}$

Orice produs scalar dintre doi vectori se poate înmulți cu un număr real astfel:

$\begin{align*} a\cdot (\vec{x}\cdot\vec{y})=(a\cdot\vec{x})\cdot\vec{y}=\vec{x}\cdot (a\cdot\vec{y}),\ a\in\mathbb{R} \end{align*}$

Semul produsului scalar depinde de semnul funcției cosinus astfel:

Dacă $\begin{align*} \cos a>0 \end{align*}$ , atunci $\begin{align*} \vec{x}\cdot\vec{y}>0 \end{align*}$ ;
Dacă $\begin{align*} \cos a<0\end{align*}$ , atunci $\vec{x}\cdot\vec{y}<0$ .

Produsul scalar este distributiv atât față de adunarea vectorilor, cât și față de scăderea vectorilor.

$\begin{align*} &\vec{x}\cdot (\vec{y}+\vec{z})=\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{x}\cdot\vec{z}\\\\ &\vec{x}\cdot (\vec{y}-\vec{z})=\vec{x}\cdot\vec{y}-\vec{x}\cdot\vec{z} \end{align*}$

Scoaterea factorului comun din sume sau diferențe de vectori se realizează astfel:

$\begin{align*} &\vec{x}\cdot\vec{y}+\vec{x}\cdot\vec{z}=\vec{x}\cdot (\vec{y}+\vec{z})\\\\ &\vec{y}\cdot\vec{x}+\vec{z}\cdot\vec{x}=(\vec{y}+\vec{z})\cdot \vec{x}\\\\ &\vec{x}\cdot\vec{y}-\vec{x}\cdot\vec{z}=\vec{x}\cdot (\vec{y}-\vec{z})\\\\ &\vec{y}\cdot\vec{x}-\vec{z}\cdot\vec{x}=(\vec{y}-\vec{z})\cdot \vec{x}\\\\ \end{align*}$

Proiecția unui vector pe direcția altui vector

Produsul scalar dintre doi vectori mai este egal cu produsul scalar dintre un vector și proiecția celuilalt pe direcția celul dintâi vector.

După cum putem să observăm și în imaginea de mai jos, proiecția vectorului $\vec{y}$ pe direcția vectorului $\vec{x}$ , este vectorul $\vec{z}$ , notat $\vec{z}=pr_{\vec x}\ \vec y$ .