Aplicații vectoriale și trigonometrice în geometrie - Teorema sinusurilor

​​​​​​​Teorema sinusurilor

Teorema TG9: Teorema sinusurilor

Într-un triunghi oarecare ABC, raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus ei este constant și egal cu diametrul cercului circumscris triunghiului.

Astfel vom avea relațiile:

\begin{align*} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R \end{align*}.

Observație:

Din teorema de mai sus, putem să exprimăm fiecare latură a unui triunghi oarecare în funcție de unghiul opus și de raza cercului circumscris triunghiului.

\begin{align*} &a=2R\sin A\\\\ &b=2R\sin B\\\\ &c=2R\sin C \end{align*}

Demonstrație: (Teorema TG9)

Atunci când triunghiul ABC este dreptunghic în A, avem că:

\begin{align*} &\sin A=1\\\\ &\sin B=\frac{b}{a}\\\\ &\sin C=\frac{c}{a} \end{align*}

Atunci când triunghiul este oarecare (ascuțitunghic sau obtuzunghic), vom considera T\in AC, iar perpendiculara în T pe AC se intersectează cu latura BC într-un punct P, așa cum se poate observa și în desenul de mai jos.

 

Vectorul \overrightarrow{BC} se poate scrie:

\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}.

Înmulțim această relație cu vectorul \overrightarrow{PT} și obținem:

\overrightarrow{PT}\cdot \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{PT}\cdot\overrightarrow{BA}+ \overrightarrow{PT}\cdot\overrightarrow{AC}.

Să calculăm, pe rând, fiecare produs scalar.

\begin{align*} &\overrightarrow{PT}\cdot \overrightarrow{BC}=PT\cdot a\cdot\cos P=PT\cdot a\cdot\cos (90^\circ-C)\\ &\overrightarrow{PT}\cdot\overrightarrow{BA}=PT\cdot c\cdot\cos O=PT\cdot c\cdot\cos (90^\circ-A)\\ &\overrightarrow{PT}\cdot\overrightarrow{AC}=0 \text{ deoarece } PT\bot AC \end{align*}

Ținând cont de faptul că \begin{align*} \cos (90^\circ-A)=\sin A \end{align*}, rescriem relația înlocuind calculele obținute:

\begin{align*} &\overrightarrow{PT}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{PT}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{PT}\cdot\overrightarrow{AC}\\\\ &\Leftrightarrow PT\cdot a\cdot\cos (90^\circ-C)=PT\cdot c\cdot\cos (90^\circ-A)+0\ \Big|: PT\\\\ &\Leftrightarrow a\cdot\sin C=c\cdot\sin A\\\\ &\Leftrightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C} \ .\end{align*}

Celelalte relații din teoremă se pot obține analog, deci demonstrarea acestora rămâne un exercițiu.

Rezolvarea triunghiurilor oarecare

La fel ca în cazul rezolvării tringhiului dreptunghic, rezolvarea triunghiului oarecare presupune determinarea tuturor elementelor acelui triunghi, având cunoscute unele dintre ele. Reamintim faptul că elementele unui triunghi sunt cele trei unghiuri și cele trei laturi ale sale.

  1. Luăm cazul în care cunoaștem două laturi și unghiul cuprins între ele.

Fie triunghiul ABC unde AB=6AC=8 și măsura unghiului A este de 60^\circ.

Cu ajutorul teoremei cosinusului vom determina latura BC, apoi măsura unghiuluiB.

\begin{align*} BC^2&=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cos A\\\\ &=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cos 60^\circ\\\\ &=36+64-96\cdot\frac{1}{2}\\\\ &=52\\ \end{align*}

\begin{align*} &\Rightarrow BC=\sqrt{52}=2\sqrt{13} \end{align*}.

\begin{align*} \cos B&=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC}\\\\ &=\frac{36+64-52}{2\cdot 6\cdot 2\sqrt{13}}\\\\ &=\frac{48}{24\sqrt{13}}\\\\ &=\frac{2}{\sqrt{13}}\\\\ &=\frac{2\sqrt{13}}{13} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow B=\arccos B \end{align*}.

Atunci:

\begin{align*} m(\sphericalangle C)=[90^\circ-m(\sphericalangle A)-m(\sphericalangle B)] \end{align*}.

  1. În acest caz, cunoaștem masurile a două unghiuri și lungimea laturii dintre ele.

Fie triunghiul ABC unde AC=15A=\frac{\pi}{6} și C=\frac{\pi}{4}.

\begin{align*} m(\sphericalangle B)&=[90^\circ-m(\sphericalangle A)-m(\sphericalangle C)]\\&=[90^\circ-(30^\circ+45^\circ)]\\&=90^\circ-75^\circ\\&=15^\circ \end{align*}

Pentru a afla lungimile laturilor BC=a și AB=c vom folosi teorema sinusului.

Dar, mai întâi calculăm \sin 15^\circ.

\begin{align*} \sin 15^\circ&=\sin (45^\circ-30^\circ)\\\\ &=\sin 45^\circ\cos 30^\circ-\cos 45^\circ\sin 30^\circ\\\\ &=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}\\\\ &=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \end{align*}

Atunci:

\begin{align*} \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\\\\ \frac{a}{\displaystyle\frac{1}{2}}=\frac{15}{\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=\frac{c}{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}\\ \end{align*}

Rezultă:

\begin{align*} &\frac{a}{\displaystyle\frac{1}{2}}=\frac{15}{\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\\\\ &\Leftrightarrow a\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=15\cdot\frac{1}{2}\\\\ &\Leftrightarrow a\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)=30\\\\ &\Leftrightarrow a=\frac{30}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\\\ &\Leftrightarrow a=\frac{30\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{6-2}\\\\ &\Leftrightarrow a=\frac{15\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{2}\\ \end{align*}

și

\begin{align*} &\frac{15}{\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}=\frac{c}{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}\\\\ &\Leftrightarrow c\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=15\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\ &\Leftrightarrow c\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)=30\sqrt{2}\\\\ &\Leftrightarrow c=\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}\\\\ &\Leftrightarrow c=\frac{30\sqrt{2}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{6-2}\\\\ &\Leftrightarrow c=\frac{15\sqrt{2}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)}{2}\\\\ &\Leftrightarrow c=\frac{15\sqrt{12}+15\cdot 2}{2}\\\\ &\Leftrightarrow c=\frac{15\cdot 2\sqrt{3}+15\cdot 2}{2}\\\\ &\Leftrightarrow c=15\left(\sqrt{3}+1\right)\ . \end{align*}

  1. În acest caz, cunoaștem toate cele trei laturi ale triunghiului.

Fie triunghiul ABC unde AC=15AB=12BC=18.

Folosind teorema cosinusului, obținem:

\begin{align*} \cos A&=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\\\ &=\frac{225+144-324}{2\cdot 15\cdot 12}\\\\ &=\frac{45}{360}\\\\ \end{align*}

\begin{align*} &\Rightarrow\cos A=\frac{1}{8} \end{align*}.

\begin{align*} \cos B&=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\\\ &=\frac{324+144-225}{2\cdot 18\cdot 12}\\\\ &=\frac{243}{432}\\\\ &=\frac{9}{16} \end{align*}

\begin{align*} &\Rightarrow\cos B=\frac{9}{16} \end{align*}.

\begin{align*} \cos C&=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\\\\ &=\frac{324+225-144}{2\cdot 18\cdot 15}\\\\ &=\frac{405}{540}\\\\ &=\frac{3}{4}\\\\ \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \cos C=\frac{3}{4}\\\\ \end{align*}.