Teorema cosinusului

Fie triunghiul ABC oarecare, ca în figura următoare:

Cum putem observa și în figură, vom nota laturile triunghiului ABC după cum urmează:

$\begin{align*} &AB=c\\ &AC=b\\ &BC=a\ .\end{align*}$

Vectorul $\overrightarrow{BC}$ se poate scrie astfel:

$\begin{align*} \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} \end{align*}$ .

Ridicăm relația la puterea a doua și obținem:

$\begin{align*} \overrightarrow{BC}^2&=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\cdot(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\\\ &=\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}^2 \end{align*}$ ,

ceea ce este echivalent cu

$\begin{align*} &2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}^2+\overrightarrow{AB}^2-\overrightarrow{BC}^2 \end{align*}$ .

Conform notației de mai sus, avem că:

$\begin{align*} &2\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=b^2+c^2-a^2 \end{align*}$ .

Procedând analog, putem arăta că:

$\begin{align*} &2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=a^2+c^2-b^2\\ &2\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=a^2+b^2-c^2\\ \end{align*}$ .

Teorema TG8: Teorema cosinusului

Fie ABC un triunghi oarecare.

În acest triunghi au loc următoarele egalități:

$\begin{align*} &a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos A;\\ &b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos B;\\ &c^2=b^2+a^2-2ba\cdot\cos C.\\ \end{align*}$

Demonstrație:

Am văzut mai sus că:

$\begin{align*} &2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=b^2+c^2-a^2 \end{align*}$ .

Prelucrând această egalitate și aplicând definiția produsului scalar, obținem:

$\begin{align*} &b^2+c^2-a^2=2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\\ &\Leftrightarrow b^2+c^2-a^2=2 AC\cdot AB\cdot \cos A\\ &\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2-bc\cdot\cos A\ . \end{align*}$

Analog, folosind relațiile de mai sus și aplicând definiția produsului scalar pentru fiecare în parte, obținem celelalte două egalități din teoremă.

(Demonstrarea celorlalte două relații din enunțul teoremei rămâne ca și exercițiu pentru cititor.)

Observație:

Cu ajutorul acestei teoreme, putem afla măsura unui unghi dintr-un triunghi a cărui laturi le cunoaștem, astfel:

$\begin{align*} &\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};\\\\ &\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};\\\\ &\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}. \end{align*}$

Observație:

Cu ajutorul teoremei cosinusului, putem caracteriza natura unui unghi astfel:

$\begin{align*} &\cos A>0 \end{align*}$

$\begin{align*} & \Leftrightarrow b^2+c^2>a^2\\&\Leftrightarrow A<\frac{\pi}{2}\\&\Leftrightarrow A\ -\text{ unghi ascu\c tit}; \end{align*}$

$\begin{align*} &\cos A=0 \end{align*}$

$\begin{align*}&\Leftrightarrow b^2+c^2=a^2\\&\Leftrightarrow A=\frac{\pi}{2}\\&\Leftrightarrow A\ -\text{ unghi drept}; \end{align*}$

$\begin{align*} &\cos A<0 \end{align*}$

$\begin{align*}&\Leftrightarrow b^2+c^2<a^2\\&\Leftrightarrow A>\frac{\pi}{2}\\&\Leftrightarrow A\ -\text{ unghi obtuz}. \end{align*}$