Metoda lui Gauss

O altă metodă de a rezolva un sistem de ecuații liniare este metoda lui Gauss, care se mai numește și metoda eliminării succesive.

Această metodă constă în eliminarea a câte o necunoscută din ecuațiile sistemului, astfel încât sistemul să aibă o formă triunghiulară.

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare, utilizând metoda lui Gauss, presupune parcurgerea următoarelor etape:

Etapa 1^\circ 

Se fixează o necunoscută în prima ecuație, care se elimină din toate celelalte ecuații, prin transformări elementare (adunarea unei linii înmulțite cu un număr la o altă linie, schimbarea a două linii între ele, înmulțirea unei linii cu un scalar nenul);

Etapa 2^\circ

Se elimină o altă necunoscută din următoarele ecuații, pănă la obținerea unui sistem triunghiular.

Cu alte cuvinte prin aceste transformări elementare asupra sistemului de ecuații liniare se înțelege eliminarea parțială a necunoscutei x_1 din ecuațiile 2,3,\dotsc, n, eliminarea necunoscutei x_2 din ecuațiile 3,4,\dotsc, n și așa mai departe, pentru a obține un sistem de ecuații triunghiular (a cărui matrice asociată va fi o matrice triunghiulară superior).

Transformările elementare care se pot face asupra unei ecuații a unui sistem și care conduc la sisteme echivalente cu sistemul dat sunt:

  • înmulțirea unei ecuații cu un număr nenul;
  • adunarea unei ecuații la altă ecuație înmulțită eventual cu un număr nenul;
  • schimbarea ordinii de scriere a două ecuații în sistem.

Metoda lui Gauss se poate aplica oricărui tip de sistem de ecuații liniare.

Exemple:

  1. Fie sistemul \begin{cases} 2x_1-5x_2+4x_3=1\\ -3x_1+x_2+x_3=2\\ 2x_1-x_2+2x_3=0 \end{cases}. Determinați soluția acestui sistem. 

Rezolvare:

 Eliminăm necunoscuta x_1 din ultimele două ecuații ale sistemului dat:

Luăm primele două ecuații:

\begin{align*}&\begin{cases}- 3x_1+x_2+x_3=2\ | \cdot 2\\ 2x_1-x_2+2x_3=0\ | \cdot3 \end{cases} \\ &\Updownarrow \\ &\begin{cases}-6x_1+2x_2+2x_3=4\\6 x_1-3x_2+6x_3=0 \end{cases} \end{align*}

Adunând cele două ecuații, obținem:

\begin{align*} & -6x_1+2x_2+2x_3+ 6 x_1-3x_2+6x_3=4+0\\ &\Updownarrow\\ & -x_2+8x_3=4 \end{align*}

Luăm prima ecuație și a treia ecuație:

\begin{align*}&\begin{cases} 2x_1-5x_2+4x_3=1\\ 2x_1-x_2+2x_3=0 \ |\cdot(-1)\end{cases} \\ &\Updownarrow \\ &\begin{cases} 2x_1-5x_2+4x_3=1\\ -2x_1+x_2-2x_3=0 \end{cases} \end{align*}

Adunând cele două ecuații, obținem:

\begin{align*} &2x_1-5x_2+4x_3-2x_1+x_2-2x_3=1+0\\ &\Updownarrow \\ &-4x_2+2x_3=1 \end{align*}

Sistemul echivalent care se obține după eliminarea necunoscutei  x_1 din ultimele două ecuații ale sistemului dat, este:

\begin{cases} -x_2+8x_3=4 \\ -4x_2+2x_3=1 \end{cases}

Din prima ecuație obținem:

\begin{align*} & -x_2+8x_3=4 \\ \Updownarrow\\ & x_2=8x_3-4 \end{align*}

Înlocuind în cea de-a doua ecuație a sistemului, se obține:

\begin{align*} & -4x_2+2x_3=1\\ \\&\Leftrightarrow -4(8x_3-4)+2x_3=1\\\\ & \Leftrightarrow -32x_3+16+2x_3=1\\\\ & \Leftrightarrow -30x_3=1-16\\\\ & \Leftrightarrow -30x_3=-15\\ \\& \Leftrightarrow x_3=\displaystyle\frac{-15}{-30}\\\\& \Leftrightarrow x_3=\frac{1}{2}\end{align*}

Sistemul echivalent obținut este:

\begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\\ x_2+2x_3=3 \\x_3=6 \end{cases}

Rezolvăm acum sistemul astfel obținut, prin înlocuirea de jos în sus a necunoscutelor cu valorile găsite:

\begin{align*} &\begin{cases}2 x_1-5x_2+4x_3=1\\\\ x_2=8x_3-4 \\\\x_3=\displaystyle\frac{1}{2} \end{cases} \\\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} 2 x_1-5x_2+4x_3=1\\\\ x_2=8\cdot\displaystyle\frac{1}{2}-4 \\\\x_3=\displaystyle\frac{1}{2} \end{cases}\\\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} 2 x_1-5x_2+4x_3=1\\\\ x_2=4-4 \\\\x_3=\displaystyle\frac{1}{2} \end{cases}\end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow \begin{cases} 2 x_1-5x_2+4x_3=1\\\\ x_2=0 \\\\x_3=\displaystyle\frac{1}{2} \end{cases}\\\\ &\Leftrightarrow \begin{cases}2 x_1=1+5x_2-4x_3\\\\ x_2=0 \\\\x_3=\displaystyle\frac{1}{2} \end{cases}\\\\ &\Leftrightarrow\begin{cases} 2 x_1=1+5\cdot0-4\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\\\\ x_2=0 \\\\x_3=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\\\\ &\Leftrightarrow\begin{cases} 2 x_1=1+0-2\\\\ x_2=0 \\\\x_3=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\\\\ &\Leftrightarrow\begin{cases} 2 x_1=-1\\\\ x_2=0 \\\\x_3=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases}\\\\&\Leftrightarrow\begin{cases} x_1=-\displaystyle\frac{1}{2}\\\\ x_2=0 \\\\x_3=\displaystyle\frac{1}{2}\end{cases} \end{align*}

Pentru acest sistem, am obținut soluția \begin{align*} S=\Big\{\Big(-\displaystyle\frac{1}{2},0, \displaystyle\frac{1}{2}\Big)\Big \}. \end{align*}

  1. Rezolvați sistemul următor cu metoda lui Gauss:

\begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\ \ \ \ \ \ \ (1)\\ x_1+2x_2+3x_3=4\ \ \ \ \(2) \\ x_1+4x_2+9x_3=16\ \ \ (3) \end{cases}

Rezolvare:

Am numerotat ecuațiile pentru a face referiri la acestea, astfel:

Eliminăm necunoscuta x_1 din ecuațiile (2) și (3).

Luăm primele două ecuații:

\begin{align*}&\begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\ | \ \cdot(-1)\\ x_1+2x_2+3x_3=4 \end{cases}\\ &\Updownarrow\\& \begin{cases}-x_1-x_2-x_3=-1\\ x_1+2x_2+3x_3=4 \end{cases} \end{align*}

Adunând cele două ecuații, obținem:

\begin{align*} & -x_1-x_2-x_3+x_1+2x_2+3x_3=-1+4\\ &\Leftrightarrow x_2+2x_3=3 \end{align*}

Luăm prima ecuație și a treia ecuație:

\begin{align*}&\begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\ | \ \cdot(-1)\\ x_1+4x_2+9x_3=16 \end{cases} \\ &\Updownarrow\\& \begin{cases}-x_1-x_2-x_3=-1\\ x_1+4x_2+9x_3=16 \end{cases} \end{align*}

Adunând cele două ecuații, obținem:

\begin{align*} & -x_1-x_2-x_3+x_1+4x_2+9x_3=-1+16\\ &\Leftrightarrow 3x_2+7x_3=15 \end{align*}

Sistemul echivalent care se obține după eliminarea necunoscutei  x_1 din ecuațiile (2) și (3) este:

\begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\ (1)\\ x_2+2x_3=3\ \ \ \ \ \ \(2) \\ 3x_2+7x_3=15\ \ \ (3) \end{cases}

Acum, se elimină necunoscuta x_2 din ultima ecuație :

\begin{align*}&\begin{cases}x_2+2x_3=3\ | \ \cdot(-3) \\ 3x_2+7x_3=15 \end{cases} \\ &\Updownarrow\\& \begin{cases}-3x_2-6x_3=-9 \\ 3x_2+7x_3=15 \end{cases} \end{align*}

Adunând cele două ecuații, obținem:

\begin{align*} & -3x_2-6x_3+ 3x_2+7x_3 =-9+15 \\ &\Leftrightarrow x_3=6 \end{align*}

Sistemul echivalent obținut este:

\begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\\ x_2+2x_3=3 \\x_3=6 \end{cases}

Rezolvăm acum sistemul astfel obținut, prin înlocuirea de jos în sus a necunoscutelor cu valorile găsite:

\begin{align*} & \begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\\ x_2+2\cdot6=3 \\x_3=6 \end{cases} \\\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\\ x_2=3-12 \\x_3=6 \end{cases}\\\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\\ x_2=-9 \\x_3=6 \end{cases}\\\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x_1-9+6=1\\ x_2=-9 \\x_3=6 \end{cases}\\\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x_1=1+9-6\\ x_2=-9 \\x_3=6 \end{cases}\\\\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x_1=4\\ x_2=-9 \\x_3=6 \end{cases}\\ \end{align*}

Am obținut soluția \begin{align*} S=\{4,-9,6\}. \end{align*}