Exerciții și probleme rezolvate

Acestea sunt câteva din problemele cu sisteme de ecuații liniare care s-au dat în sesiunile de Bacalaureat din perioada 2012-2014, pentru cele patru profile (mate-info, științele naturii, tehnologic și pedagogic). Dacă dorești să vezi rezolvările complete și de nota 10 ale acestor probleme, accesează această secțiune a ghidului nostru, intitulată sugestiv Exerciții și probleme rezolvate.

  1. Aceasta este problema dată în sesiunea iunie - iulie anului 2012, pentru profilul mate - info, Subiectul II, exercițiul 1.

Bacalaureat Matematică 2012 | Mate - Info | Sesiunea iunie - iulie | Subiectul II

  1. Se consideră sistemul de ecuații  \left\{\begin{matrix} x+my+m^2z=0\\ mx+m^2y+z=0\\ m^2x+y+mz=0 \end{matrix}\right.,  unde   m\in\mathbb{R}.
  1. Determinați valorile lui m  pentru care determinantul matricei sistemului este nul.
  2. Arătați că, pentru nicio valoare a lui  m,  sistemul nu are o soluție  (x_0,y_0,z_0) cu  x_0,y_0,z_0  numere reale strict pozitive.
  3. Arătați că rangul matricei sistemului este diferit de 2, oricare ar fi  m\in\mathbb{R}.
  1. Această problemă a fost dată în sesiunea specială a anului 2012, pentru profilele științele naturii și tehnologic, la Subiectul II, exercițiul 1.

Bacalaureat Matematică 2012 | Științele naturii și Tehnologic | Sesiunea specială | Subiectul II

  1. Se consideră sistemul de ecuații \begin{cases} & x+y-2z=0\\ &x-y+z=1\\ &x+y+az=2 \end{cases}, unde a\in\mathbb{R}.
  1. Calculați determinantul matricei asociate sistemului.
  2. Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea asociată sistemului este inversabilă.
  3. Pentru a=0, rezolvați sistemul de ecuații.
  1. Această problemă a fost dată în sesiunea iunie-iulie a anului 2012, pentru profilul pedagogic, la subiectul III.

Bacalaureat Matematică 2012 | Pedagogic | Sesiunea iunie-iulie | Subiectul III

Se consideră matricea  A(m)=\begin{pmatrix} m&1&-1\\1&m&-1\\-1&1&m\end{pmatrix}  și sistemul  (S)\left\{\begin{matrix} mx+y-z=1\\ x+my-z=1\\ -x+y+mz=1 \end{matrix}\right. ,  unde  m  este număr real.

  1. Calculați  \det{\big(A(2)\big)}.
  2. Arătați că  \det{\big(A(m)\big)}=m^3-m.
  3. Determinați valorile reale ale lui  m  pentru care  \det{\big(A(m)\big)}=0.
  4. Verificați dacă, pentru m=3, tripletul  \Big(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\Big)  este soluție a sistemului  (S).
  5. Pentru m=2, rezolvați sistemul (S).
  6. Pentru m=0, arătați că sistemul (S) nu are soluții.
  1. Această problemă a fost dată în sesiunea august-septembrie a anului 2012, pentru profilul pedagogic, la subiectul III.

Bacalaureat Matematică 2012 | Pedagogic | Sesiunea august-septembrie | Subiectul III

Se consideră matricele A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\\ 3& 1 &2 \end{pmatrix}B=\begin{pmatrix} 0 & a & a\\ a & a & 0\\ a& 0 &a \end{pmatrix} și sistemul de ecuații (S)\begin{cases} &ay+az=1\\ &ax+ay=0\\ &ax+az=2 \end{cases}, unde a este un număr real nenul.

  1. Calculați determinantul matricei A.
  2. Arătați că matricea B este inversabilă pentru orice a\in\mathbb{R}\setminus \{0\}.
  3. Pentru a=1, arătați că ^t(AB)=BA.
  4. Pentru a=1, arătați că tripletul \Big(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\Big) este soluție a sistemului (S).
  5. Rezolvați sistemul (S), pentru a\in\mathbb{R}\setminus \{0\}.
  6. Determinați numărul real nenul a pentru care soluția (x_0,y_0,z_0) a sistemului (S) verifică relația x_0+y_0+z_0=\frac{1}{4}.
  1. Această problemă a fost dată în anul 2013, pentru profilul pedagogic, la subiectul III, al modelului de subiect dat în acel an.

Bacalaureat Matematică 2013 | Pedagogic | Model de subiect | Subiectul III

Se consideră matricea A=\begin{pmatrix} m & 1 & 2\\ 2& -1 &m \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} și sistemul (S) \begin{cases} &mx+y+2z=1\\ &2x-y+mz=2\\ &x+y+z=1 \end{cases}, unde m\in\mathbb{R}.

  1. Pentru m=1, arătați că \det A =3.
  2. Calculați determinantul matricei A.
  3. Determinanți numărul real pozitiv m pentru care \det (2A)=-16.
  4. Pentru m=3, verificați dacă tripletul \Big(\frac{7}{5}, -\frac{8}{5}, -\frac{4}{5}\Big) este soluție a sistemului (S).
  5. Pentru m=1, rezolvați sistemul (S).
  6. Pentru m=2, arătați că sistemul (S) nu are soluții.

Pentru a vedea mai multe exemple de probleme cu sisteme de ecuații liniare rezolvate, poți accesa unul din eBook-urile următoare:

Textul de mai sus este doar un extras. Numai membrii pot citi întregul conținut.

Obține acces la întregul eBook.

Ca membru al Liceunet.ro, beneficiezi de acces la întregul conținut.

Achiziționează un abonament acum

Deja membru? Log in