Progresii geometrice
Fie următoarele șiruri de numere:
Observăm că:
- pentru șirul
, fiecare termen, începând cu cel de-al doilea, se obține din precedentul prin înmulțirea cu
, termenii fiind dispuși în ordine crescătoare
- pentru șirul
, fiecare termen, începând cu cel de-al doilea, se obține din precedentul prin înmulțirea cu
termenii fiind dispuși în ordine descrescătoare
- pentru șirul
, fiecare termen, începând cu cel de-al doilea, se obține din precedentul prin înmulțirea cu
, termenii fiind dispuși în ordine descrescătoare
- pentru șirul
, fiecare termen, începând cu cel de-al doilea, se obține din precedentul prin înmulțirea cu
, termenii șirului alternează, dacă unul este negativ, următorul este pozitiv.
Observație:
Pentru șirurile de mai sus se poate scrie o regulă constantă astfel: câtul a doi termeni consecutivi, începând cu cel de-al doilea este constant. Așadar, pentru șirul , câtul este
, pentru șirul
, câtul este
pentru șirul
, câtul
, iar pentru șirul
, câtul este
.
Aceste șiruri se numesc progresii geometrice.
Fie șirul unde
este primul termen.
Definiția P7: Progresie geometrică
Se numește progresie geometrică, șirul , cu primul termen
unde fiecare termen al său, începând cu cel de-al doilea, se obține prin înmulțirea cu același termen
Șirul este o progresie geometrică dacă avem următoarea relație:
unde iar
se numește rația progresiei geometrice.
Observație:
Pentru a arăta că șirul este o progresie geometrică, trebuie arătat că raportul a doi termeni consecutivi
este constant:
pentru orice
Notație: Șirul este o progresie geometrică și se notează:
Observație:
Numerele sunt într-o progresie geometrică, dacă sunt termenii consecutive ai unei progresii geometrice și îndeplinesc condiția:
Exemplu:
Să se verifice care din următoarele şiruri sunt progresii geometrice:
Soluție:
Observăm că la fiecare şir, dacă efectuăm raportul dintre doi termeni consecutivi, începând cu cel de-al doilea, obţinem acelaşi număr:
Așadar, toate cele trei șiruri date sunt progresii geometrice.
În pagina următoare vei găsi ce proprietăți au progresiile geometrice și cum se aplică acestea în exerciții.