Progresii geometrice

Fie următoarele șiruri de numere:

\begin{align*} (1)&\ 3, 9, 27, 81, \dotsc \ ; \\\\ (2) &\ 5, 1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \dotsc \ ; \\\\ (3)& -1,-4,-16,-32, \dotsc \ ; \\\\ (4)& -2, 6, -18, 54, \dotsc\ .\end{align*}

Observăm că:

  • pentru șirul (1), fiecare termen, începând cu cel de-al doilea, se obține din precedentul prin înmulțirea cu 3, termenii fiind dispuși în ordine crescătoare 3<9<27<81<\dotsc\ ;
  • pentru șirul (2), fiecare termen, începând cu cel de-al doilea, se obține din precedentul prin înmulțirea cu \frac{1}{5}, termenii fiind dispuși în ordine descrescătoare 5>1>\frac{1}{5}>\frac{1}{25}>\dotsc\ ;
  • pentru șirul (3), fiecare termen, începând cu cel de-al doilea, se obține din precedentul prin înmulțirea cu 4, termenii fiind dispuși în ordine descrescătoare -1> -4> -16> -32> \dotsc\ ;
  • pentru șirul (4), fiecare termen, începând cu cel de-al doilea, se obține din precedentul prin înmulțirea  cu -3, termenii șirului alternează, dacă unul este negativ, următorul este pozitiv.

Observație:

Pentru șirurile de mai sus se poate scrie o regulă constantă astfel: câtul a doi termeni consecutivi, începând cu cel de-al doilea este constant. Așadar, pentru șirul (1), câtul este 3, pentru șirul (2), câtul este \frac{1}{5}, pentru șirul (3), câtul 4, iar pentru șirul (4), câtul este -3.

Aceste șiruri se numesc progresii geometrice.

Fie șirul b_1, b_2, b_3,\dotsc, b_n,\dotsc , unde b_1 este primul termen.

Definiția P7: Progresie geometrică

Se numește progresie geometrică, șirul (b_n)_{n\geq1}, cu primul termen b_1\neq 0, unde fiecare termen al său, începând cu cel de-al doilea, se obține prin înmulțirea cu același termen q\neq 0.

Șirul (b_n)_{n\geq1} este o progresie geometrică dacă avem următoarea relație: 

b_n=b_{n-1}\cdot q,

unde b_1=b\in\mathbb{R}, n\geq 2, iar q se numește rația progresiei geometrice.

Observație:

Pentru a arăta că șirul (b_n)_{n\geq1} este o progresie geometrică, trebuie arătat că raportul a doi termeni consecutivi b_n,\ b_{n+1} este constant:

\frac{ b_{n+1}}{b_n }=constant, pentru orice n\geq 2.

Notație: Șirul (b_n)_{n\geq1} este o progresie geometrică și se notează:

Observație:

Numerele b_1, b_2, b_3,\dotsc, b_n,\dotsc sunt într-o progresie geometrică, dacă sunt termenii consecutive ai unei progresii geometrice și îndeplinesc condiția:

\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=\dotsc=\frac{b_n}{b_{n-1}}=\dotsc=constant.

Exemplu:

Să se verifice care din următoarele şiruri sunt progresii geometrice:

  1. 3, 6, 12, 24, 48,\dotsc ;
  2. 3,-12, 48, -192, 768,\dotsc;
  3. \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, \frac{1}{45}, \frac{1}{135}, \frac{1}{405},\dotsc .

Soluție:

Observăm că la fiecare şir, dacă efectuăm raportul dintre doi termeni consecutivi, începând cu cel de-al doilea, obţinem acelaşi număr:

  1.  

\begin{align*} \frac{6}{3}&=\frac{12}{6}\\\\&=\frac{24}{12}\\\\&=\frac{48}{24}\\&\ \ \vdots\\&=2 \end{align*}

  1.  

\begin{align*} \frac{-12}{3}&=\frac{48}{-12}\\\\&=\frac{-192}{48}\\\\&=\frac{768}{-192}\\& \ \ \vdots\\&=-4 \end{align*}

  1.  

\begin{align*} \dfrac{\dfrac{1}{15}}{\dfrac{1}{5}}&=\frac{\dfrac{1}{45}}{\dfrac{1}{15}}\\\\&=\frac{\dfrac{1}{135}}{\dfrac{1}{45}}\\\\&=\frac{\dfrac{1}{405}}{\dfrac{1}{135}}\\&\ \ \vdots\\ &=\frac{1}{15}\cdot\frac{5}{1}\\\\&=\frac{1}{45}\cdot\frac{15}{1}\\\\&=\frac{1}{135}\cdot\frac{45}{1}\\\\&=\frac{1}{405}\cdot\frac{135}{1}\\&\ \ \vdots\\ &=\frac{1}{3} \end{align*}

Așadar, toate cele trei șiruri date sunt progresii geometrice.

În pagina următoare vei găsi ce proprietăți au progresiile geometrice și cum se aplică acestea în exerciții.