Progresii aritmetice

Fie şirul de numere naturale nenule 1,2,3,...,n,..., cu proprietatea că diferenţa a două numere consecutive, începând cu cel de-al doilea număr, este egală cu unu. 

Exemplu:

\begin{align*} 2-1=3-2=\cdots=n+1-n=\cdots=1 \end{align*}.

Cu alte cuvinte, în şirul de mai sus fiecare termen, începând cu cel de-al doilea, se obţine din precedentul prin adăugarea unităţii:

\begin{align*} &2=1+1 \\ &3=2+1 \\ &\ \ \ \vdots \\ &n+1=n+1 \\ &\ \ \ \vdots \end{align*}

În continuare, exemplificăm câteva astfel de şiruri: 

  1. 2,4,6,...,2n,2n+2,..., unde n\geq 1;
  2. 1,3,5,...,2n+1,2n+3,..., unde n\geq 0.

Observăm că la cele două şiruri de mai sus, diferenţa a doi termeni consecutivi, începând cu cel de-al doilea, este constantă și egală cu 2:

\begin{align*} 4-2&=6-4\\&\ \ \vdots\\&=2n+2-2n\\&\ \ \vdots\\&=2 \\ 3-1&=5-3\\&\ \ \vdots\\&=2n+3-(2n+1)\\&\ \ \vdots\\&=2 \end{align*}

Astfel de şiruri se numesc progresii aritmetice.

Definiția P1: Progresie aritmetică 

Fie şirul (a_n)_{n\geq 1}. 

Se numește progresie aritmetică acel şir pentru care fiecare termen al său, începând cu cel de-al doilea, se obţine din precedentul său prin adăugarea (adunarea) aceluiaş număr, notat cu r.

Numărul r se numeşte raţia progresiei aritmetice.

Dacă (a_n)_{n\geq 1} este o progresie aritmetică, atunci avem următoarea relaţie de recurenţă

a_n=a_{n-1}+r,\ n\geq 2 . \quad (1)

Pentru a arăta că şirul (a_n)_{n\geq 1} este o progresie aritmetică, trebuie arătat că diferenţa a doi termeni consecutivi a_{n-1} şi a_n este constantă.​

Folosind relaţia (1), avem:

\begin{align*} &a_n=a_{n-1}+r \\ &\Leftrightarrow a_n-a_{n-1}=r, \end{align*} 

unde r este o constantă, oricare ar fi n\geq 2.

Observații:

  1. Dacă se cunosc primul ternen a_1 şi raţia r, atunci progresia aritmetică este bine determinată, adică se pot determina toţi termenii acesteia, folosind relația de recurență (1)

\begin{align*} a_2&=a_1+r \\ a_3&=a_2+r \\ &=a_1+r+r \\ &=a_1+2r \\ \vdots \end{align*}

Notație: Şirul (a_n)_{n\geq 1} este o progresie aritmetică şi notăm \div\ a_1,a_2,...,a_n,... sau \div (a_n).

  1. Numerele a_1,a_2,...,a_n sunt într-o progresie aritmetică, dacă sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice, adică: 

\begin{align*} a_2-a_1&=a_3-a_2\\&\ \ \vdots\\&=a_n-a_{n-1}\\&=r \end{align*}

Exerciții rezolvate:

Să se arate că numerele 6,14, 22, 30 sunt termenii unei progresii aritmetice.

Soluţie:

Aplicăm Observaţia 2 și obținem că:

\begin{align*} 14-6&=8\\22-14&=8\\30-22&=8 \end{align*}

Așadar, numerele sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice, având raţia egală cu 8.

  1. Care dintre următoarele şiruri sunt progresii aritmetice: 
    1. ​​1,5,9,13,17,21,...\ ;
    2. 2,0,-2,-5,-8,-9,...\ .

Soluție:

  1. Observăm că diferenţa a două numere consecutive, începând cu cel de-al doilea număr, este egală cu 4.

​​\begin{align*} 5-1&=4 \\ 9-5&=4 \\ 13-9&=4 \\ 17-13&=4 \\ 21-17&=4 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow 5-1&=9-5=13-9=17-13=21-17=\cdots=4. \end{align*}

Așadar, șirul 1,5,9,13,17,21,... este o progresie aritmetică.

  1. Analog subpunctului anterior, verificăm dacă diferența a două numere consecutive din șirul dat este constantă:

\begin{align*} 0-2&=-2 \\ -2-0&=-2 \\ -5-(-2)&=-5+2 \\ &=-3 \\ -8-(-5)&=-8+5 \\ &=-3 \\ -9-(-8)&=-9+8 \\ &=-1 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow 0-2&=-2-0=-2\neq -5-(-2)=-8-(-5)=-3\neq -9-(-8)=-1\dotsc \end{align*} .

Observăm că diferenţa dintre doi termeni consecutivi, începând cu cel de-al doilea număr, nu mai este egală, deci şirul 2,0,-2,-5,-8,-9,... nu este o progresie aritmetică. 

  1. Să se scrie primii patru termeni ai unei progresii aritmetice, dacă se cunosc următoarele:
    1. ​​a_1=-5, r=4;
    2. a_1=-\frac{1}{3}, \ r=-\frac{1}{2}.

Soluție:

  1. Folosind relaţia (1), avem:

\begin{align*} a_1&=-5 \\ a_2&=a_1+r \\ &=-5+4 \\ &=-1 \\ a_3&=a_2+r \\ &=-1+4 \\ &=3 \\ a_4&=a_3+r \\ &=3+4 \\&=7 \end{align*}

Avem progresia aritmetică \div -5,-1,3,7,\dotsc .

  1. Din relația (1), obținem că:

\begin{align*} a_1&=-\frac{1}{3} \end{align*}

\begin{align*} a_2&=a_1+r \\\\ &=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right) \\\\ &=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2} \\\\ &=-\frac{2}{6}-\frac{3}{6} \\\\ &=\frac{-2-3}{6} \\\\ &=-\frac{5}{6} \end{align*}

\begin{align*} a_3&=a_2+r \\\\ &=-\frac{5}{6}+\left(-\frac{1}{2}\right) \\\\ &=-\frac{5}{6}-\frac{1}{2} \\\\ &=-\frac{5}{6}-\frac{3}{6} \\\\ &=\frac{-5-3}{6} \\\\ &=-\frac{8}{6} \\\\ &=-\frac{4}{3} \end{align*}

\begin{align*} a_4&=a_3+r \\\\ &=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right) \\\\ &=-\frac{4}{3}-\frac{1}{2} \\\\ &=-\frac{8}{6}-\frac{3}{6} \\\\ &=\frac{-8-3}{6} \\\\ &=-\frac{11}{6}\end{align*}

Avem progresia aritmetică \div -\frac{1}{3},-\frac{5}{6},-\frac{4}{3},-\frac{11}{6},\dotsc .

În pagina următoare vei găsi câteva proprietăți ale progresiilor aritmetice, precum și exemple ilustrative, care te vor ajuta să înțelegi și să aplici corect proprietățile prezentate.