Progresii aritmetice

Fie şirul de numere naturale nenule 1,2,3,...,n,... , cu proprietatea că diferenţa a două numere consecutive, începând cu cel de-al doilea număr, este egală cu unu.

Exemplu:

$\begin{align*} 2-1=3-2=\cdots=n+1-n=\cdots=1 \end{align*}$ .

Cu alte cuvinte, în şirul de mai sus fiecare termen, începând cu cel de-al doilea, se obţine din precedentul prin adăugarea unităţii:

$\begin{align*} &2=1+1 \\ &3=2+1 \\ &\ \ \ \vdots \\ &n+1=n+1 \\ &\ \ \ \vdots \end{align*}$

În continuare, exemplificăm câteva astfel de şiruri:

unde $n\geq 1;$
unde $n\geq 0.$

Observăm că la cele două şiruri de mai sus, diferenţa a doi termeni consecutivi, începând cu cel de-al doilea, este constantă și egală cu :

$\begin{align*} 4-2&=6-4\\&\ \ \vdots\\&=2n+2-2n\\&\ \ \vdots\\&=2 \\ 3-1&=5-3\\&\ \ \vdots\\&=2n+3-(2n+1)\\&\ \ \vdots\\&=2 \end{align*}$

Astfel de şiruri se numesc progresii aritmetice.

Definiția P1: Progresie aritmetică

Fie şirul $(a_n)_{n\geq 1}.$

Se numește progresie aritmetică acel şir pentru care fiecare termen al său, începând cu cel de-al doilea, se obţine din precedentul său prin adăugarea (adunarea) aceluiaş număr, notat cu .

Numărul r se numeşte raţia progresiei aritmetice.

Dacă $(a_n)_{n\geq 1}$ este o progresie aritmetică, atunci avem următoarea relaţie de recurenţă:

$a_n=a_{n-1}+r,\ n\geq 2 . \quad (1)$

Pentru a arăta că şirul $(a_n)_{n\geq 1}$ este o progresie aritmetică, trebuie arătat că diferenţa a doi termeni consecutivi $a_{n-1}$ şi a_n este constantă.

Folosind relaţia (1) , avem:

$\begin{align*} &a_n=a_{n-1}+r \\ &\Leftrightarrow a_n-a_{n-1}=r, \end{align*}$

unde este o constantă, oricare ar fi $n\geq 2.$

Observații:

Dacă se cunosc primul ternen şi raţia , atunci progresia aritmetică este bine determinată, adică se pot determina toţi termenii acesteia, folosind relația de recurență :

$\begin{align*} a_2&=a_1+r \\ a_3&=a_2+r \\ &=a_1+r+r \\ &=a_1+2r \\ \vdots \end{align*}$

Notație: Şirul $(a_n)_{n\geq 1}$ este o progresie aritmetică şi notăm $\div\ a_1,a_2,...,a_n,...$ sau $\div (a_n).$

Numerele sunt într-o progresie aritmetică, dacă sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice, adică:

$\begin{align*} a_2-a_1&=a_3-a_2\\&\ \ \vdots\\&=a_n-a_{n-1}\\&=r \end{align*}$

Exerciții rezolvate:

Să se arate că numerele 6,14, 22, 30 sunt termenii unei progresii aritmetice.

Soluţie:

Aplicăm Observaţia 2 și obținem că:

$\begin{align*} 14-6&=8\\22-14&=8\\30-22&=8 \end{align*}$

Așadar, numerele sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice, având raţia egală cu .

Care dintre următoarele şiruri sunt progresii aritmetice:
1. $1,5,9,13,17,21,...\ ;$
2. $2,0,-2,-5,-8,-9,...\ .$

Soluție:

Observăm că diferenţa a două numere consecutive, începând cu cel de-al doilea număr, este egală cu .

$\begin{align*} 5-1&=4 \\ 9-5&=4 \\ 13-9&=4 \\ 17-13&=4 \\ 21-17&=4 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow 5-1&=9-5=13-9=17-13=21-17=\cdots=4. \end{align*}$

Așadar, șirul 1,5,9,13,17,21,... este o progresie aritmetică.

Analog subpunctului anterior, verificăm dacă diferența a două numere consecutive din șirul dat este constantă:

$\begin{align*} 0-2&=-2 \\ -2-0&=-2 \\ -5-(-2)&=-5+2 \\ &=-3 \\ -8-(-5)&=-8+5 \\ &=-3 \\ -9-(-8)&=-9+8 \\ &=-1 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow 0-2&=-2-0=-2\neq -5-(-2)=-8-(-5)=-3\neq -9-(-8)=-1\dotsc \end{align*}$ .

Observăm că diferenţa dintre doi termeni consecutivi, începând cu cel de-al doilea număr, nu mai este egală, deci şirul 2,0,-2,-5,-8,-9,... nu este o progresie aritmetică.

Să se scrie primii patru termeni ai unei progresii aritmetice, dacă se cunosc următoarele:
2. $a_1=-\frac{1}{3}, \ r=-\frac{1}{2}.$

Soluție:

Folosind relaţia , avem:

$\begin{align*} a_1&=-5 \\ a_2&=a_1+r \\ &=-5+4 \\ &=-1 \\ a_3&=a_2+r \\ &=-1+4 \\ &=3 \\ a_4&=a_3+r \\ &=3+4 \\&=7 \end{align*}$

Avem progresia aritmetică $\div -5,-1,3,7,\dotsc$ .

Din relația , obținem că:

$\begin{align*} a_1&=-\frac{1}{3} \end{align*}$

$\begin{align*} a_2&=a_1+r \\\\ &=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right) \\\\ &=-\frac{1}{3}-\frac{1}{2} \\\\ &=-\frac{2}{6}-\frac{3}{6} \\\\ &=\frac{-2-3}{6} \\\\ &=-\frac{5}{6} \end{align*}$

$\begin{align*} a_3&=a_2+r \\\\ &=-\frac{5}{6}+\left(-\frac{1}{2}\right) \\\\ &=-\frac{5}{6}-\frac{1}{2} \\\\ &=-\frac{5}{6}-\frac{3}{6} \\\\ &=\frac{-5-3}{6} \\\\ &=-\frac{8}{6} \\\\ &=-\frac{4}{3} \end{align*}$

$\begin{align*} a_4&=a_3+r \\\\ &=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right) \\\\ &=-\frac{4}{3}-\frac{1}{2} \\\\ &=-\frac{8}{6}-\frac{3}{6} \\\\ &=\frac{-8-3}{6} \\\\ &=-\frac{11}{6}\end{align*}$

Avem progresia aritmetică $\div -\frac{1}{3},-\frac{5}{6},-\frac{4}{3},-\frac{11}{6},\dotsc$ .

În pagina următoare vei găsi câteva proprietăți ale progresiilor aritmetice, precum și exemple ilustrative, care te vor ajuta să înțelegi și să aplici corect proprietățile prezentate.