Relațiile lui Viète
Acest rezultat, care urmează să îți fie prezentat, stabilește legătura între coeficienții polinomului și rădăcinile sale
Mai precis, are loc următoarea teoremă:
Teorema P43: Relațiile lui Viète
Fie un polinom de
Numerele complexe sunt rădăcinile polinomului
dacă și numai dacă sunt verificate următoarele relații:
Aceste relații au fost stabilite de François Viète în anul 1591 și se mai numesc și relații între rădăcini și coeficienți sau Relațiile lui Viète.
Reciproc, dacă se cunosc rădăcinile unui polinom de grad atunci se calculează sumele din relațiile lui Viète, adică:
și se poate determina polinomul care are aceste rădăcini:
Particularizăm acum acest rezultat pentru în cazul în care
- Cazul
Pentru polinomul de grad doi, cu rădăcinile
relațiile lui Viète se scriu astfel:
Reciproc, dacă sunt rădăcinile polinomului
, atunci
Observații:
- În acest caz, aceste formule ne permit să calculăm suma și produsul rădăcinilor ecuației de gradul al doilea, fără a cunoaște efectiv rădăcinile polinomului dat.
- Se pot calcula mintal soluțiile. Există ecuații de gradul al doilea cu rădăcini reale, care pot fi precizate dacă știm suma și produsul rădăcinilor.
- Ori de câte ori pentru o ecuație de gradul al doilea se precizează o relație între rădăcinile acesteia, atunci acestei relații i se asociază relațiile lui Viète.
Exemplu:
Fie polinomul de gradul doi, Relațiile lui Viète pentru acest polinom sunt:
- Cazul
Pentru polinomul de grad trei, cu rădăcinile
relațiile lui Viète se scriu astfel:
Reciproc, dacă sunt rădăcinile polinomului
, atunci
Exemplu:
Fie polinomul de gradul trei, Relațiile lui Viète pentru acest polinom sunt:
- Cazul
Pentru polinomul de grad patru, cu rădăcinile
relațiile lui Viète se scriu astfel:
Reciproc, dacă sunt rădăcinile polinomului
, atunci
Exemplu:
Relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul patru, sunt:
Relații importante, care îți vor fi utile la rezolvarea problemelor cu polinoame în care intervin relațiile lui Viète: