Relațiile lui Viète

Acest rezultat, care urmează să îți fie prezentat, stabilește legătura între coeficienții polinomului f=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\dotsc+a_1X+a_0\in\mathbb{C}[X],\ a_n\ne0 și rădăcinile sale x_1,x_2,\dotsc,x_n.

Mai precis, are loc următoarea teoremă:

Teorema P43: Relațiile lui Viète

Fie f\in\mathbb{C}[X],\ f=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\dotsc+a_1X+a_0, un polinom de grad (f)=n\ (\Leftrightarrow a_n\ne0).

Numerele complexe  x_1,x_2,\dotsc,x_n  sunt rădăcinile polinomului f dacă și numai dacă sunt verificate următoarele relații:

\begin{cases} x_1+x_2+\dotsc+x_n=-\displaystyle\frac{a_{n-1}}{a_n}\\\\ x_1x_2+x_1x_3+\dotsc+x_{n-1}x_n=\displaystyle\frac{a_{n-2}}{a_n}\\\\ x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+\dotsc+x_{n-2}x_{n-1}x_n=-\displaystyle\frac{a_{n-3}}{a_n}\\\\ \dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\\\\ x_1x_2\dotsc x_k+\dotsc=(-1)^k\cdot\displaystyle\frac{a_{n-k}}{a_n}\\\\ \dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\\\\ x_1x_2\dotsc x_n=(-1)^\cdot\displaystyle\frac{a_{0}}{a_n} \end{cases}

 Aceste relații au fost stabilite de François Viète în anul 1591 și se mai numesc și relații între rădăcini și coeficienți sau Relațiile lui Viète. 

Reciproc, dacă se cunosc rădăcinile unui polinom de grad  n, atunci se calculează sumele din relațiile lui Viète, adică:

\begin{cases} S_1=x_1+x_2+\dotsc+x_n\\ S_2=x_1x_2+x_1x_3+\dotsc+x_{n-1}x_n\\ S_3=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+\dotsc+x_{n-2}x_{n-1}x_n\\ \dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\dotsc\\ S_n=x_1x_2\dotsc x_n\end{cases}

și se poate determina polinomul care are aceste rădăcini:

f=X^n-S_1X^{n-1}+S_2X^{n-2}+\dotsc+(-1)^n\cdot S_n.

Particularizăm acum acest rezultat pentru f\in\mathbb{C}[X] în cazul în care grad(f)\in\{2,3,4\}.

  • Cazul \textbf{grad{(f)}=2}

Pentru polinomul de grad doi, f=aX^2+bX+c,\ a\ne0,\ f\in\mathbb{C}[X], cu rădăcinile x_1,x_2, relațiile lui Viète se scriu astfel:

\begin{cases}S_1= x_1+x_2=-\displaystyle\frac{b}{a}\\ S_2=x_1x_2=\displaystyle\frac{c}{a} \end{cases}

Reciproc, dacă x_1,x_2 sunt rădăcinile polinomului f, atunci f=a(X^2-S_1X+S_2),\ a\in K\setminus{0}.

Observații:

  1. În acest caz, aceste formule ne permit să calculăm suma și produsul rădăcinilor ecuației de gradul al doilea, fără a cunoaște efectiv rădăcinile polinomului dat.
  2. Se pot calcula mintal soluțiile. Există ecuații de gradul al doilea cu rădăcini reale, care pot fi precizate dacă știm suma și produsul rădăcinilor.
  3. Ori de câte ori pentru o ecuație de gradul al doilea se precizează o relație între rădăcinile acesteia, atunci acestei relații i se asociază relațiile lui Viète.

Exemplu:

Fie polinomul de gradul doi, f=2X^2-6X+4, f\in\mathbb{C}[X]. Relațiile lui Viète pentru acest polinom sunt:

\begin{align*}S_1&= x_1+x_2\\\\&=-\displaystyle\frac{-6}{2}\\\\&=3\\\\ S_2&=x_1x_2\\\\&=\displaystyle\frac{4}{2}\\\\&=2 \end{align*}

  • Cazul \textbf{grad{(f)}=3}

Pentru polinomul de grad trei, f=aX^3+bX^2+cX+d,\ a\ne0,\ f\in\mathbb{C}[X], cu rădăcinile x_1,x_2,x_3, relațiile lui Viète se scriu astfel:

\begin{cases}S_1= x_1+x_2+x_3=-\displaystyle\frac{b}{a}\\\\ S_2=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\displaystyle\frac{c}{a}\\\\ S_3=x_1x_2x_3=-\displaystyle\frac{d}{a} \end{cases}

Reciproc, dacă x_1,x_2,x_3 sunt rădăcinile polinomului f, atunci f=a(X^3-S_1X^2+S_2X-S_3),\ a\in K\setminus{0}.

Exemplu:

Fie polinomul de gradul trei, f=X^3-3X^2+4X-10, f\in\mathbb{C}[X]. Relațiile lui Viète pentru acest polinom sunt:

\begin{align*}S_1&= x_1+x_2+x_3\\\\&=-\displaystyle\frac{-3}{1}\\\\&=3\\\\ S_2&=x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3\\\\&=\displaystyle\frac{4}{1}\\\\&=4\\\\ S_3&=x_1x_2x_3\\\\&=-\displaystyle\frac{-10}{1}\\\\&=10 \end{align*}

  • Cazul \textbf{grad{(f)}=4}

Pentru polinomul de grad patru, f=aX^4+bX^3+cX^2+dX+e,\ a\ne0,\ f\in\mathbb{C}[X], cu rădăcinile x_1,x_2,x_3,x_4 relațiile lui Viète se scriu astfel:

\begin{cases}S_1= x_1+x_2+x_3+x_4=-\displaystyle\frac{b}{a}\\\\ S_2=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=\displaystyle\frac{c}{a}\\\\ S_3=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\displaystyle\frac{d}{a} \\\\ S_4=x_1x_2x_3x_4=\displaystyle\frac{e}{a}\end{cases}

Reciproc, dacă x_1,x_2,x_3,x_4 sunt rădăcinile polinomului f, atunci f=a(X^4-S_1X^3+S_2X^2-S_3X+S_4),\ a\in K\setminus{0}.

Exemplu:

Relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul patru, f=X^4-X^2+12X-36, f\in\mathbb{C}[X], sunt:

\begin{align*}S_1&= x_1+x_2+x_3+x_4\\\\&=-\displaystyle\frac{0}{1}\\\\&=0\\ \\S_2&=x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4\\\\&=\displaystyle\frac{-1}{1}\\\\&=-1\\\\ S_3&=x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4\\\\&=-\displaystyle\frac{12}{1}\\\\&=-12 \\\\ S_4&=x_1x_2x_3x_4\\\\&=\displaystyle\frac{-36}{1}\\\\&=-36\end{align*}

Relații importante, care îți vor fi utile la rezolvarea problemelor cu polinoame în care intervin relațiile lui Viète:

(x_1+x_2)^2=x_1^2+x_2^2+2x_1x_2

\Rightarrow x^2+x^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S_1^2-2S^2;

\begin{align*} &(x_1+x_2+x_3)^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2(x_1x_2+x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3) \end{align*}

&\Rightarrow x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=S_1^2-2S_2;

\begin{align*}& x_1^3+x_2^3+x_3^3-x_1x_2x_3=(x_1+x_2+x_3)(x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1x_2-x_1x_3-x_2x_3) \\\\ &\Rightarrow x_1^3+x_2^3+x_3^3=(x_1+x_2+x_3)(x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_1x_2-x_1x_3-x_2x_3)+x_1x_2x_3\\\\ &\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3+x_3^3=S_1\cdot(S_1^2-2S_2-S_2)+S_3=S_1^3-3S_1S_2+S_3.\end{align*}