Polinoame ireductibile. Descompunerea polinoamelor în factori ireductibili

În secțiunea intiulată Polinoame ireductibile. Descompunerea polinoamelor în factori ireductibili vei putea afla ce este un polinom reductibil, respectiv ce este un polinom ireductibil și cum se descompune în factori ireductibili polinomul în funcție de corpul în care polinomul are coeficienți (adică dacă coeficienții sunt complecși, reali, raționali sau fac parte din mulțimea claselor de resturi modulo p).

POLINOAME IREDUCTIBILE ÎN \small \underline{\textbf{K}\left [ X \right ]}

 Fie (K,+,\cdot) un corp comutativ.

Definiția P39: Polinom reductibil 

Polinomul nenul f\in K[X]  se numește reductibil pente corpul K dacă există polinoamele g,h\in K[X] de grad cel puțin 1, astfel încât f=g\cdot h.

Definiția P40: Polinom ireductibil 

Un polinom f\in K[X], grad(f)\ge1, care nu este reductibil peste K, se numește ireductibil peste K.

Observații:

  1. Orice polinom de gradul  1 din K[X] este polinom ireductibil peste K.
  2. Dacă un polinom f\in K[X], de grad cel puțin 2, este ireductibil peste K, atunci el nu are rădăcini în K.

Întra-adevăr, dacă f ar avea elementul \alpha \in K rădăcină, atunci f se divide cu X-\alpha și se poate scrie că f=(X-\alpha )\cdot g, deci f nu ar fi ireductibil.

  1. Dacă polinomul f\in K[X] are gradul 2 sau 3 și nu admite rădăcini în K, atunci el este polinom ireductibil peste K.

Într-adevăr, dacă f ar fi ireductibil peste K, atunci el s-ar scrie sub forma f=g\cdot h, unde g sau h ar avea gradul 1. Dacă g=aX+b, atunci g(-ba^{-1})=0 și se contrazice ipoteza că f nu are rădăcini în K.

Exemple:

  1. Polinomul f=X^2-3\in\mathbb{Q}[X]  este ireductibil peste \mathbb{Q}. Dacă f ar fi reductibil peste \mathbb{Q}, atunci el ar avea o rădăcină \alpha \in\mathbb{Q}. Dar f(\alpha )=0 conduce la \alpha^2=3, deci \alpha\in\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}, ceea ce nu se poate.
  2. Polinomul f=X^2-3\in\mathbb{R}[X] este reductibil peste \mathbb{R}, deoarece f=(X-\sqrt{3})(X+\sqrt{3}).

După cum s-a observat în exemplele anterioare, descompunerea în factori ireductibili depinde de corpul K în care polinomul are coeficienții.

Astfel, identificăm următoarele cazuri:

  • Cazul K=\mathbb{C}

Fie f\in\mathbb{C}[X] un polinom nenul de grad n,n\in\mathbb{N}^\ast. Dacă n\ge2, din Teorema P37: teorema fundamentală a algebrei rezultă că f are cel puțin o rădăcină \alpha \in\mathbb{C}, iar din Teorema P34: Bé​zout se obține că f se divide cu polinomul g=X-\alpha \in\mathbB{C}[X]. Așadar, f nu este ireductibil pentru n\ge2.

În concluzie, un polinom nenul f\in\mathbb{C}[X] este ireductibil peste \mathbb{C} dacă și numai dacă are gradul 1.

  • Cazul K=\mathbb{R}

Dacă f\in\mathbb{R}[X] este un polinom nenul, el este ireductibil numai în cazurile când: 

\rightarrow f are gradul 1;

\rightarrow f are gradul 2 și nu are rădăcini reale.

Rezultă că orice polinom f\in\mathbb{R}[X] de grad n,\ n\ge3, este polinom reductibil peste \mathbb{R}, deci el se poate scrie ca produs de polinoame de grad cel puțin 1.

  • Cazul K=\mathbb{Q} și K=\mathbb{Z}_p,\ p prim

În inelele de polinoame \mathbb{Q}[X] și \mathbb{Z}_p[X] există polinoame ireductibile de orice grad n,\ n\in\mathbb{N}^\ast. De exemplu f=X^n-3\in\mathbb{Q}[X] este ireductibil peste \mathbb{Q}.

DECOMPUNEAREA POLINOAMELOR ÎN FACORI IREDUCTIBILI

Teorema P41: Descompunerea în polinoame ireductibile 

Fie K un corp comutativ și f\in K[X] un polinom de grad  n\in\mathbb{N}^\ast.

Au loc următoarele rezultate:

  1. Polinomul f se descompune într-un produs finit de polinoame ireductibile peste K.
  2. Dacă f=f_1\cdot f_2\cdot \dotsc\cdot f_m=g_1\cdot g_2\cdot \dotsc\cdot g_k sunt două descompuneri în produs de polinoame ireductibile ale lui f, atunci m=k și există o permutare \sigma \in S_m cu proprietatea că f_i\sim g_{\sigma(i)},\ i\in\{1,2,\dotsc,m\}.

Teorema P42: Descompunere cu ajutorul rădăcinilor 

Fie f\in \mathbb{C}[X],\ f=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsc+a_nX^n un polinom de grad n,\ n\in\mathbb{N}^\ast.

  1. Dacă \alpha _1,\alpha _2,\dotsc,\alpha _n\in\mathbb{C} sunt rădăcinile polinomului f, atunci: f=a_n(X-\alpha _1)(X-\alpha _2)\dotsc(X-\alpha _n). 
  2. Dacă \alpha _1,\alpha _2,\dotsc,\alpha _n\in\mathbb{C} sunt rădăcinile distincte ale polinomului f, cu multiplicitățile m_1,m_2,\dotsc,m_k\in\mathbb{N}^\ast, atunci: f=a_n(X-\alpha _1)^{m_1}(X-\alpha _2)^{m_2}\dotsc(X-\alpha _k)^{m_k}.

În concluzie, polinomul f\in \mathbb{R}[X] va avea următoarea descompunere în polinoame ireductibile:

f=a_n(X-\alpha _1)^{m_1}\dotsc(X-\alpha _k)^{m_k}(X^2+a_1X+b_1)^{n_1}\dotsc(X^2+a_pX+b_p)^{n_p},

unde m_1,m_2,\dotsc,m_k,n_1,n_2,\dotsc,n_p\in\mathbb{N}^\ast și \alpha _1,\alpha _2,\dotsc,\alpha _k\in\mathbb{R} sunt rădăcinile reale ale lui f, iar polinoamele X^2+a_sX+b_s,\ s\in\{1,2,\dotsc,p\} nu au rădăcini reale.

Exemple:

  1. Descompuneți în factori ireductibili peste corpurile \begin{align*} \mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C} \end{align*} polinomul f=2X^5+2X^4-2X^3-2X^2-4X-4.

Rezolvare:

Observăm \begin{align*} f(-1)=0,\end{align*} deci polinomul \begin{align*} f\end{align*} se divide cu  \begin{align*} X+1.\end{align*}

Folosim schema lui Horner astfel:

 22-2-2-4-4
\alpha =-120-20-40

Am obținut că:

\begin{align*} f&=(X+1)(2X^4-2X^2-4)\\\\ &=(X+1)(2X^4-2-2X^2-2)\\\\ &=(X+1)\big[2(X^4-1)-2(X^2+1)\big]\\\\ &=(X+1)\big[2(X^2+1)(X^2-1)-2(X^2+1)\big]\\\\ &=(X+1)\cdot2(X^2+1)(X^2-1-1)\\\\ &=2(X+1)(X^2+1)(X^2-2) \end{align*}

Rezultă că polinomul dat are următoarele descompuneri:

  • \begin{align*} f=2(X+1)(X^2+1)(X^2-2) \end{align*} peste \begin{align*} \mathbb{Q}; \end{align*}
  • \begin{align*} f=2(X+1)(X^2+1)(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2}) \end{align*} peste \begin{align*} \mathbb{R}; \end{align*}
  • \begin{align*} f=2(X+1)(X-i)(X+i)(X-\sqrt{2})(X+\sqrt{2}) \end{align*} peste \begin{align*} \mathbb{C}. \end{align*}
  1. Să se descompună în factori ireductibili polinomul f=X^4-3X^3+2X^2\in\mathbb{R}[X].

Rezolvare:

\begin{align*} f&=X^4-3X^3+2X^2\\\\ &=X^2(X^2-3X+2)\\\\ &=X^2(X^2-X-2X+2)\\\\ &=X^2\cdot\big[X(X-1)-2(X-1)\big]\\\\ &=X^2(X-1)(X-2) \end{align*}

Descompunerea în factori ireductibili a polinomului dat este \begin{align*} f&=X^2(X-1)(X-2). \end{align*}

  1. Să se determine c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. pentru polinoamele \begin{align*} f,g\in\mathbb{R}[X],\ f=X^2(X^2-X)(X^2-1) \end{align*} și g=2X^4-6X^3+4X^2.

Rezolvare:

Descompunem mai întâi în factori ireductibili cele două polinoame:

\begin{align*} f&=X^2(X^2-X)(X^2-1)\\\\ &=X^2\cdot X(X-1)(X-1)(X+1)\\\\ &=X^3(X-1)^2(X+1) \end{align*}

\begin{align*} g&=2X^4-6X^3+4X^2\\\\ &=2X^2(X^2-3X+2)\\\\ &=2X^2(X^2-X-2X+2)\\\\ &=2X^2\cdot\big[X(X-1)-2(X-1)\big]\\\\ &=2X^2(X-1)(X-2) \end{align*}

Atunci:

\begin{align*} (f,g)=X^2(X-1) \end{align*} (alegem factorii ireductibili comuni celor două polinoame, la puterea cea mai mică);

\begin{align*} [f,g]=2X^3(X-1)^2(X+1)(X-2) \end{align*} (alegem factorii comuni și necomuni la puterea cea mai mare).

Observație:

Dacă polinoamele \begin{align*} f,g\in K[X] \end{align*}  sunt descompuse în produse de factori ireductibile, atunci:

  • c.m.m.d.c. \begin{align*} (f,g)\end{align*} este produsul factorilor ireductibili comuni, luați la puterea cea mai mică;
  • c.m.m.m.c.  \begin{align*} \left [ f,g \right ]\end{align*} este produsul factorilor ireductibili comuni sau necomuni, luați la puterea cea mai mare.