Ecuații reciproce

Ecuații reciproce

Definiția P51: Polinom reciproc

Polinomul f\in K[X],\ f=a_0+a_1X+a_2X^2+\dotsc+a_nX^n, de gradul n\in\mathbb{N}^\ast, se numește polinom reciproc dacă între coeficienții săi există relațiile: a_k=a_{n-k},\ k\in\{0,1,2,\dotsc,n\}. 

Exemple:

Polinoamele reciproce f\in K[X] de gradul 1,2,3 și 4 au formulele:

  • f_1=aX+a;
  • f_2=aX^2+bX+a;
  • f_3=aX^3+bX^2+bX+a;
  • f_4=aX^4+bX^3+cX^2+bX+a,

unde b,c\in K și a\in K^\ast.

Definiția P52: Ecuație reciprocă

Se numește ecuație algebrică reciprocă de gradul n\in\textbf{\mathbb{N}}^\ast o ecuație de forma f(x)=0, unde f\in K[X] este un polinom reciproc de gradul  n.

Forma particulară a polinoamelor (ecuațiilor) reciproce de gradul n conduce la câteva observații generale:

  1. Orice ecuație algebrică reciprocă de grad impar admite soluția x_1=-1.

Într-adevăr, polinomul f se poate scrie sub forma  f=a_0(1+X^n)+a_1(X+X^{n-1})+a_2(X^2+X^{n-2})+\dotsc  și se obține  f(-1)=0.

  1. Prin împărțirea polinomului reciproc f de grad impar n la X+1 se obține un cât care este polinom reciproc de grad n-1.
  2. Dacă ecuația reciprocă are soluția \alpha, atunci are și soluția  \displaystyle\frac{1}{\alpha }.

În cele ce urmează îți vom prezenta rezolvarea ecuațiilor reciproce de gradul 3 și 4:

Rezolvarea ecuației reciproce de gradul 3

Ecuația reciprocă de gradul 3 cu coeficienți în corpul \mathbb{C} are forma: ax^3+bx^2+bx+a=0.

Ecuația se poate scrie succesiv: a(x^3+1)+bx(x+1)=0 sau (x+1)[ax^2+(b-a)x+a]=0.

Forma de scriere (x+1)[ax^2+(b-a)x+a]=0 arată că ecuația are soluția x_1=-1 și alte două soluții date de ecuația reciprocă de gradul 2: ax^2+(b-a)x+a=0.

Exemplu:

Să se rezolve în \mathbb{C} ecuația 2x^2-5x^2-5x+2=0.

Rezolvare:

Scriem ecuația astfel:

\begin{align*} &2x^2-5x^2-5x+2=0\\ &(x+1)[2x^2+(-5-2)x+2]=0\\ &(x+1)(2x^2-7x+2)=0 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow x+1=0\ \text{\ sau \ } 2x^2-7x+2=0 \end{align*}

De aici avem prima soluție \begin{align*} x_1=-1. \end{align*} 

Pentru a afla celelalte două soluții, rezolvăm ecuația \begin{align*} 2x^2-7x+2=0 \end{align*}.

\begin{align*} \Delta &=b^2-4ac\\ &=(-7)^2-4\cdot2\cdot2\\&=49-16\\&=33 \end{align*}

\begin{align*} x_2&=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\\\\&=\displaystyle\frac{-(-7)+\sqrt{33}}{2\cdot2}\\\\&=\displaystyle\frac{7+\sqrt{33 }}{4} \end{align*}

\begin{align*} x_3&=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\\\\&=\displaystyle\frac{-(-7)-\sqrt{33}}{2\cdot2}\\\\&=\displaystyle\frac{7-\sqrt{33 }}{4} \end{align*}

Ecuația dată are soluțiile  \begin{align*} x_1=-1,\ x_2=\displaystyle\frac{7+\sqrt{33 }}{4} \end{align*}  și  \begin{align*} x_3=\displaystyle\frac{7-\sqrt{33 }}{4}. \end{align*}

Rezolvarea ecuației reciproce de gradul 4

Forma generală a ecuației reciproce de gradul 4 cu coeficienții întregi este az^4+bz^3+cz^2+bz+a=0.

Se observă că ecuația nu admite soluția z=0.

Algoritmul de rezolvare a ecuației reciproce de gradul \underline{4}

Pentru rezolvare se parcurg următorii pași:

Pasul \textbf{1}^\circ: se împarte prin z^2 și se obține az^2+bz+c+\displaystyle\frac{b}{z}+\displaystyle\frac{a}{z^2}=0.

Pasul \textbf{2}^\circse grupează termenii care au coeficienți egali: a\Big(z^2+\displaystyle\frac{1}{z^2}\Big)+b\Big(z+\displaystyle\frac{1}{z}\Big)+c=0.

Pasul \textbf{3}^\circse notează z+\displaystyle\frac{1}{z}=y și rezultă că z^2+\displaystyle\frac{1}{z^2}=y^2-2. 

Se obține ecuația de gradul 2 în  y: a(y^2-2)+by+c=0  sau  ay^2+by+c-2a=0, numită ecuația rezolventă a ecuației reciproce de gradul 4.

Pasul \textbf{4}^\circse rezolvă ecuația rezolventă obținând soluțiile y_1,y_2\in\mathbb{C}.

Pasul \textbf{5}^\circse rezolvă ecuațiile z+\displaystyle\frac{1}{z}=y_1 și  z+\displaystyle\frac{1}{z}=y_2 care se aduc la forma z^2-y_1z+1=0  și  z^2-y_2z+1=0.

Rezultă astfel soluțiile z_1,z_2,z_3,z_4\in\mathbb{C} ale ecuației reciproce.

Așadar, rezolvarea ecuației reciproce de gradul 4 se reduce la rezolvarea a trei ecuații de gradul 2.

Exemplu:

Să se rezolve ecuația reciprocă 2z^4-3z^3+2z^2-3z+2=0.

Rezolvare:

Conform algoritmului de rezolvare a ecuației reciproce de gradul 4 avem următorii pași:

Pasul \small 1^\circ: Împărțim cu z^2 și obținem  2z^2-3z+2-\displaystyle\frac{3}{z}+\displaystyle\frac{2}{z^2}=0.  

Pasul 2^\circ: Grupăm termenii cu coeficienți egali, obținând: 2\Big(z^2+\displaystyle\frac{1}{z^2}\Big)-3\Big(z+\displaystyle\frac{1}{z}\Big)+2=0.

Pasul 3^\circ: Facem notația z+\displaystyle\frac{1}{z}=y și ne rezultă că z^2+\displaystyle\frac{1}{z^2}=y^2-2, de unde avem ecuația de gradul 2 în  y: 2(y^2-2)-3y+2=0

Pasul 4^\circ: Rezolvăm ecuația rezolventă 2(y^2-2)-3y+2=0.

\begin{align*} &2(y^2-2)-3y+2=0\\ &\Leftrightarrow 2y^2+2\cdot2-3y+2=0\\ &\Leftrightarrow 2y^2-4-3y+2=0\\ &\Leftrightarrow 2y^2-3y-2=0 \end{align*}

\begin{align*} \Delta &=b^2-4ac\\ &=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)\\ &=9+16\\ &=25 \end{align*}

\begin{align*} y_1&=\displaystyle\frac{-b+\sqrt\Delta }{2a}\\\\ &=\displaystyle\frac{-(-3)+\sqrt{25}}{2\cdot2}\\\\&=\displaystyle\frac{3+5}{4}\\\\ &=\frac{8}{4}\\\\&=2 \end{align*}

\begin{align*} y_2&=\displaystyle\frac{-b-\sqrt\Delta }{2a}\\\\ &=\displaystyle\frac{-(-3)-\sqrt{25}}{2\cdot2}\\\\&=\displaystyle\frac{3-5}{4}\\\\ &=\frac{-2}{4}\\\\&=-\frac{1}{2} \end{align*}

Pasul 5^\circ: Rezolvăm ecuațiile z+\displaystyle\frac{1}{z}=y_1=2 și  z+\displaystyle\frac{1}{z}=y_2=-\frac{1}{2} care se aduc la forma z^2-2z+1=0  și  z^2+\displaystyle\frac{1}{2}z+1=0.

Luăm pe rând cele două ecuații și le rezolvăm:

\begin{align*} &z^2-2z+1=0\\ &\Leftrightarrow (z-1)^2=0\\ &\Leftrightarrow z-1=0\\ &\Leftrightarrow z=1 \end{align*}

Am obținut primele soluții \begin{align*} z_1=z_2=1. \end{align*} 

Rezolvăm acuma cea de-a doua ecuație, z^2+\displaystyle\frac{1}{2}z+1=0.

\begin{align*} &z^2+\displaystyle\frac{1}{2}z+1=0\big |\cdot2\\ \\&\Leftrightarrow 2z^2+z+2=0 \end{align*}

\begin{align*} \Delta &=b^2-4ac\\&=1^2-4\cdot2\cdot2\\&=1-16\\&=-15 \end{align*}

Putem obține acuma celelalte două rădăcini:

\begin{align*} z_3&=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\\\\ &=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{-15 }}{2\cdot2}\\\\&=\frac{-1+i\sqrt{15}}{4} \end{align*}

\begin{align*} z_4&=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\\\\ &=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{-15 }}{2\cdot2}\\\\&=\frac{-1-i\sqrt{15}}{4} \end{align*}

Am găsit soluțiile \begin{align*} z_1=z_2=1,\ z_3&=\displaystyle\frac{-1+i\sqrt{15}}{4} \end{align*}  și  \begin{align*}z_4&=\displaystyle\frac{-1-i\sqrt{15}}{4}. \end{align*}

Observații:

  1. Dacă \begin{align*} f\in\mathbb{C}[X] \end{align*} este polinom reciproc de gradul \begin{align*} n\in\mathbb{N}^\ast,\ n \end{align*} număr impar, atunci rezolvarea ecuației reciproce de gradul \begin{align*} n \end{align*} se reduce la rezolvarea ecuației \begin{align*} z+1=0 \end{align*} și a unei ecuații reciproce de gradul \begin{align*} n-1. \end{align*} 

Exemplu:

Să se rezolve ecuația \begin{align*} 2x^5+x^4-3x^3-3x^2+x+2=0. \end{align*}

Rezolvare:

Observăm că \begin{align*} x=-1 \end{align*} este soluție a ecuației date. Ne rezultă prima soluție a ecuației date \begin{align*} z_1=-1. \end{align*}

Împărțim polinomului \begin{align*}f= 2X^5+X^4-3X^3-3X^2+X+2 \end{align*} la polinomul \begin{align*}g=X+1. \end{align*}

Obținem descompunerea \begin{align*}f=(X+1)(2X^4-X^3-2X^2-X+2). \end{align*}

Rezultă ecuația  \begin{align*}(x+1)(2x^4-x^3-2x^2-x+2)=0. \end{align*}

Avem o soluție, \begin{align*}x_1=-1, \end{align*} iar celelalte patru soluții sunt date de ecuația reciprocă  \begin{align*}2x^4-x^3-2x^2-x+2=0. \end{align*}

Rezolvăm ecuația reciprocă folosind algoritmul de rezolvare a unei ecuații reciproce de grad 4.

\begin{align*} &2x^4-x^3-2x^2-x+2=0 \big|: x^2\\\\ &\Leftrightarrow 2x^2-x-2-\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}=0\\\\ &\Leftrightarrow 2\Big(x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2}\Big)- \Big(x+\displaystyle\frac{1}{x}\Big)-2=0\end{align*}

Facem notația z+\displaystyle\frac{1}{z}=y și ne rezultă că z^2+\displaystyle\frac{1}{z^2}=y^2-2, de unde avem ecuația de gradul 2 în  y: 2(y^2-2)-y-2=0.

Rezolvăm ecuația rezolventă 2(y^2-2)-y-2=0.

\begin{align*} &2(y^2-2)-y-2=0\\ &\Leftrightarrow 2y^2+2\cdot2-y-2=0\\ &\Leftrightarrow 2y^2-4-y-2=0\\ &\Leftrightarrow 2y^2-y-6=0 \end{align*}

\begin{align*} \Delta &=b^2-4ac\\ &=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-6)\\ &=1+48\\ &=49\end{align*}

\begin{align*} y_1&=\displaystyle\frac{-b+\sqrt\Delta }{2a}\\\\ &=\displaystyle\frac{-(-1)+\sqrt{49}}{2\cdot2}\\\\&=\displaystyle\frac{1+7}{4}\\\\ &=\frac{8}{4}\\\\&=2 \end{align*}

\begin{align*} y_2&=\displaystyle\frac{-b-\sqrt\Delta }{2a}\\\\ &=\displaystyle\frac{-(-1)-\sqrt{49}}{2\cdot2}\\\\&=\displaystyle\frac{1-7}{4}\\\\ &=\frac{-6}{4}\\\\&=-\frac{3}{2} \end{align*}

Rezolvăm ecuațiile z+\displaystyle\frac{1}{z}=y_1=2 și  z+\displaystyle\frac{1}{z}=y_2=-\frac{3}{2}  care se aduc la forma z^2-2z+1=0  și  z^2+\displaystyle\frac{3}{2}z+1=0.

Luăm pe rând cele două ecuații și le rezolvăm:

\begin{align*} &z^2-2z+1=0\\ &\Leftrightarrow (z-1)^2=0\\ &\Leftrightarrow z-1=0\\ &\Leftrightarrow z=1 \end{align*}

Am obținut următoarele soluții \begin{align*} z_2=z_3=1. \end{align*} 

Rezolvăm acuma cea de-a doua ecuație, z^2+\displaystyle\frac{3}{2}z+1=0.

\begin{align*} &z^2+\displaystyle\frac{3}{2}z+1=0\big |\cdot2\\ &\Leftrightarrow 2z^2+3z+2=0 \end{align*}

\begin{align*} \Delta &=b^2-4ac\\&=3^2-4\cdot2\cdot2\\&=9-16\\&=-7 \end{align*}

Putem obține acuma celelalte două rădăcini:

\begin{align*} z_4&=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\\\\ &=\displaystyle\frac{-3+\sqrt{-7 }}{2\cdot2}\\\\&=\frac{-3+i\sqrt{7}}{4} \end{align*}

\begin{align*} z_5&=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\\\\ &=\displaystyle\frac{-3-\sqrt{-7 }}{2\cdot2}\\\\&=\frac{-3-i\sqrt{7}}{4} \end{align*}

Am găsit soluțiile \begin{align*} z_1=-1,\ z_2=z_3=1,\ z_4&=\displaystyle\frac{-3+i\sqrt{7}}{4} \end{align*}  și  \begin{align*}z_5&=\displaystyle\frac{-3-i\sqrt{7}}{4}. \end{align*}

  1. Dacă \begin{align*} f\in\mathbb{C}[X], \end{align*} este un polinom reciproc de gradul \begin{align*} n\in\mathbb{N}^\ast,\ n=2k, \end{align*} adică \begin{align*} n \end{align*} este număr par, atunci rezolvarea ecuației reciproce atașate se poate reduce la rezolvarea unei ecuații de gradul \begin{align*}k\end{align*} cu necunoscuta \begin{align*}y=z+\displaystyle\frac{1}{z}\end{align*} și a \begin{align*}k\end{align*} ecuații de gradul \begin{align*} 2 \end{align*} date de ecuațiile  \begin{align*}z+\displaystyle\frac{1}{z}=y_p,\ p\in\{1,2,\dotsc,k\}.\end{align*}

Exemplu:

Să se rezolve în mulțimea \begin{align*}\mathbb{C}\end{align*} ecuația reciprocă de gradul \begin{align*}6: x^6+x^5+x^4-6x^3+x^2+x+1=0.\end{align*}

Rezolvare:

Împărțim ecuația reciprocă dată la \begin{align*}x^3\end{align*} și obținem:

 \begin{align*}&x^6+x^5+x^4-6x^3+x^2+x+1=0\big|:x^3\\\\ &\Leftrightarrow x^3+x^2+x-6+\displaystyle\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{1}{x^2}+\displaystyle\frac{1}{x^3}=0\\\\ &\Leftrightarrow \Big(x^3+\displaystyle\frac{1}{x^3}\Big)+\Big(x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2}\Big)+\Big(x+\displaystyle\frac{1}{x}\Big)-6=0 \end{align*}

Notăm acuma \begin{align*}x+\displaystyle\frac{1}{x}=y.\end{align*} 

Atunci avem:

\begin{align*}x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2}=y^2-2\end{align*}

și

\begin{align*}x^3+\displaystyle\frac{1}{x^3}&=\Big(x+\frac{1}{x}\Big)\Big(x^2+\frac{1}{x^2}-1\Big)\\\\&=y(y^2-2-1)\\\\&=y(y^2-3).\end{align*}

Obținem astfel ecuația rezolventă de gradul \begin{align*}3\end{align*} în \begin{align*}y:\end{align*}

\begin{align*} &y(y^2-3)+(y^2-2)+y-6=0\\\\ &\Leftrightarrow y^3-3y+y^2-2+y-6=0\\\\ &\Leftrightarrow y^3+y^2-2y-8=0\\\\&\Leftrightarrow (y^3-8)+(y^2-2y)=0\\\\ &\Leftrightarrow (y-2)(y^2+2y+4)+y(y-2)=0\\\\ &\Leftrightarrow (y-1)(y^2+2y+4+y)=0\\\\ &\Leftrightarrow (y-2)(y^2+3y+4)=0 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow y-2=0 \ \text{\ sau\ }\ y^2+3y+4=0 \end{align*}

Avem o soluție \begin{align*} y_1=2. \end{align*} Aflăm și celelalte două soluții, rezolvând ecuația de gradul doi  \begin{align*} y^2+3y+4=0. \end{align*}

\begin{align*} \Delta &=b^2-4ac\\ &=3^2-4\cdot1\cdot4\\ &=9-16\\ &=-7\end{align*}

\begin{align*} y_2&=\displaystyle\frac{-b+\sqrt\Delta }{2a}\\\\ &=\displaystyle\frac{-3+\sqrt{-7}}{2\cdot1}\\\\&=\displaystyle\frac{-3+i\sqrt{7}}{2} \end{align*}

\begin{align*} y_3&=\displaystyle\frac{-b-\sqrt\Delta }{2a}\\\\ &=\displaystyle\frac{-3-\sqrt{-7}}{2\cdot1}\\\\&=\displaystyle\frac{-3-i\sqrt{7}}{2} \end{align*}

Am găsit soluțiile \begin{align*} y_1=2,\ y_2=\displaystyle\frac{-3+i\sqrt{7}}{2} \end{align*} și \begin{align*} y_3=\displaystyle\frac{-3-i\sqrt{7}}{2} .\end{align*}

Se rezolvă acuma ecuația \begin{align*}x+\displaystyle\frac{1}{x}=y,\end{align*} care se scrie echivalent \begin{align*}x^2-yx+1=0,\end{align*} unde \begin{align*} y\in\Big\{2,\displaystyle\frac{-3+i\sqrt{7}}{2},\displaystyle\frac{-3-i\sqrt{7}}{2} \Big\}. \end{align*}