Ecuații bipătratice și ecuații binome

În cele ce urmează ne vom ocupa de rezolvarea unor ecuații algebrice de grad superior cu coeficienți în \mathbb{C}.

ECUAȚII BIPĂTRATICE

Definiția P49: Ecuație bipătratică

ecuație bipătratică cu coeficienți în  \mathbb{C} este o ecuație algebrică de forma:  az^4+bz^2+c=0,\ a,b,c\in\mathbb{C},\ a\ne0.

Pentru a rezolva această ecuație se parcurg următorii pași:

  • se notează z^2=y și se obține ecuația de gradul doi: ay^2+by+c=0, numită ecuația rezolventă a ecuației bipătratice;
  • se rezolvă ecuația rezolventă în mulțimea \mathbb{C}, obținându-se soluțiile y_1,y_2\in\mathbb{C};
  • se scriu și se rezolvă ecuațiile z^2=y_1 și z^2=y_2, obținându-se soluțiile z_1,z_2,z_3,z_4 ale ecuației bipătratice date.

Exemple:

Să se rezolve ecuațiile în \mathbb{C}:

  1. z^4-2z^2-15=0;
  2. z^4-10z^2+9=0.

Rezolvare:

 Observăm că ecuațiile date sunt bipătratice.

  1. Fie z^2=y. Se obține ecuația rezolventă y^2-2y-15=0. Rezolvăm această ecuație rezolventă.

\begin{align*} \Delta &=b^2-4ac\\ &=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-15)\\&=4+60\\&=64\end{align*}

\begin{align*} y_1&=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\&=\displaystyle\frac{-(-2)+\sqrt{64}}{2\cdot1}\\\\&=\displaystyle\frac{2+8}{2}\\\\&=\frac{10}{2}\\\\&=5 \end{align*}

\begin{align*} y_2&=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\&=\displaystyle\frac{-(-2)-\sqrt{64}}{2\cdot1}\\\\&=\displaystyle\frac{2-8}{2}\\\\&=\frac{-6}{2}\\\\&=-3 \end{align*}

Atunci avem că: 

\begin{align*}& z^2=y_1 \\&\Leftrightarrow z^2=5 \end{align*},

având soluțiile \begin{align*} z_1=\sqrt{5} \end{align*} și \begin{align*} z_2=-\sqrt{5}; \end{align*}

\begin{align*} &z^2=y_2\\&\Leftrightarrow z^2=-3 \end{align*},

având soluțiile \begin{align*} z_3=i\sqrt{3} \end{align*} și \begin{align*} z_4=-i\sqrt{3}. \end{align*}

  1. Fie z^2=y. Se obține ecuația rezolventă y^2-10y+9=0. Rezolvăm această ecuație rezolventă.

\begin{align*} \Delta &=b^2-4ac\\ &=(-10)^2-4\cdot1\cdot9\\&=100-36\\&=64\end{align*}

\begin{align*} y_1&=\displaystyle\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\&=\displaystyle\frac{-(-10)+\sqrt{64}}{2\cdot1}\\\\&=\displaystyle\frac{10+8}{2}\\\\&=\frac{18}{2}\\\\&=9 \end{align*}

\begin{align*} y_2&=\displaystyle\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\&=\displaystyle\frac{-(-10)-\sqrt{64}}{2\cdot1}\\\\&=\displaystyle\frac{10-8}{2}\\\\&=\frac{2}{2}\\\\&=1 \end{align*}

Atunci avem că: 

\begin{align*}& z^2=y_1\\& \Leftrightarrow z^2=9 \end{align*},

cu soluțiile \begin{align*} z_1=3 \end{align*} și \begin{align*} z_2=-3; \end{align*}

\begin{align*}& z^2=y_2\\&\Leftrightarrow z^2=1 \end{align*},

cu soluțiile \begin{align*} z_3=1 \end{align*} și \begin{align*} z_4=-1. \end{align*}

ECUAȚII BINOME

Definiția P50: Ecuație binomă

O ecuație binomă cu coeficienți în mulțimea \mathbb{C} este o ecuație algebrică de forma: z^n-a=0, unde n\in\mathbb{ N} ^\ast,\ a\in\mathbb{C}.

Înainte de a continua avem nevoie să ne reamintim, din clasa a X-a, următoarele noțiuni:

Pentru z\in\mathbb{C}, se cunosc:

  • z=a+bi, forma algebrică;
  • \left |z \right |=\sqrt{a^2+b^2 }, modulul lui z;
  • z=\left |z \right |(\cos(t)+i\sin(t)),\ \cos(t)=\displaystyle\frac{a}{\left | z \right |},\ \sin(t)=\displaystyle\frac{b}{\left | z \right |}, cu t\in [0,2\pi), forma trigonometrică;
  • (\cos(t)+i\sin(t))^n=\cos(nt)+i\sin(nt),  formula lui Moivre.

Algoritmul de rezolvare a ecuației binome:

Se scrie ecuația binomă z^n-a=0 sub forma z^n=a. Rezolvarea acestei ecuații, se reduce la determinarea rădăcinilor de ordinul n\in\mathbb { N} ^\ast ale numărului complex a.

Dacă a=r(\cos(t)+i\sin(t)) este scrierea sub formă trigonometrică a numărului a, atunci se obține:

z_k=\sqrt[n]{r}\Big(\cos\displaystyle\frac{t+2k\pi}{n}+i\sin\displaystyle\frac{t+2k\pi}{n}\Big),\ k\in\{0,1,2,\dotsc,n-1\}.

Acestea sunt rădăcinile complexe ale lui z\in\mathbb{C}.

Exemple:

Să se rezolve ecuațiile binome:

  1. z^3+125=0;
  2. z^4-625=0.

Rezolvare:

  1. Scriem ecuația binomă z^3+125=0 sub forma z^3=-125.

Forma trigonometrică a numărului a=-125 se scrie folosind formula a=r(\cos(t)+i\sin(t)), unde

\begin{align*} r&=\sqrt{(-125)^2+0^2}\\ &=\sqrt{(-125)^2}\\&=\left | -125 \right |\\ &=125 \end{align*}

Avem a=125\cdot (\cos(t)+i\sin(t)) . Pentru a avea loc această relație, \cos(t)=-1 și \sin(t)=0. 

Pentru a îndeplini simultan condițiile \cos(t)=-1, respectiv \sin(t)=0 trebuie ca t=\pi.

Așadar, forma trigonometrică a numărului a=-125 este -125=125\cdot(\cos \pi+i\sin \pi).

Atunci, rădăcinile complexe ale lui z\in\mathbb{C}, le aflăm folosind formula: 

z_k=\sqrt[3]{r}\Big(\cos\displaystyle\frac{\pi+2k\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{\pi+2k\pi}{3}\Big),\ k\in\{0,1,2\}.

\begin{align*} z_k&=\sqrt[3]{125}\Big(\cos\displaystyle\frac{(2k+1)\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{(2k+1)\pi}{3}\Big),\ k\in\{0,1,2\}\\\\ z_k&=\sqrt[3]{5^3}\Big(\cos\displaystyle\frac{(2k+1)\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{(2k+1)\pi}{3}\Big),\ k\in\{0,1,2\}\\\\ z_k&=5 \cdot\Big(\cos\displaystyle\frac{(2k+1)\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{(2k+1)\pi}{3}\Big),\ k\in\{0,1,2\}\end{align*}

Aflăm pe rând rădăcinile ecuației binome date:

Pentru \begin{align*} k=0 \end{align*} avem că:

\begin{align*} z_0&=5\cdot\Big(\cos\displaystyle\frac{(2\cdot0+1)\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{(2\cdot0+1)\pi}{3}\Big)\\\\ &=5\cdot\Big(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\Big)\\\\ &=5\cdot \Big(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)\\\\ &=\displaystyle\frac{5\cdot(1+i\sqrt{3})}{2}\\\\ &=\displaystyle\frac{5+i5\sqrt{3}}{2} \end{align*}

Pentru \begin{align*} k=1 \end{align*} avem că:

\begin{align*} z_1&=5\cdot\Big(\cos\displaystyle\frac{(2\cdot1+1)\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{(2\cdot1+1)\pi}{3}\Big)\\\\ &=5\cdot\Big(\cos\displaystyle\frac{3\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{3\pi}{3}\Big)\\\\ &=5\cdot\Big(\cos \pi+i\sin\pi\Big)\\\\ &=5\cdot(-1+i\cdot0)\\\\&=5\cdot(-1)+5\cdot0\\\\&=-5 \end{align*}

Pentru \begin{align*} k=2 \end{align*} avem că:

\begin{align*} z_2&=5\cdot\Big(\cos\displaystyle\frac{(2\cdot2+1)\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{(2\cdot2+1)\pi}{3}\Big)\\\\ &=5\cdot\Big(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\Big)\end{align*}

Luăm separat și calculăm \begin{align*}\cos\frac{5\pi}{3},\end{align*} respectiv \begin{align*}\sin\frac{5\pi}{3}.\end{align*}

\begin{align*}\cos\displaystyle\frac{5\pi}{3}&=\cos\Big(\displaystyle\frac{2\pi}{3}+\displaystyle\frac{3\pi}{3}\Big)\\\\ &=\cos\Big(\displaystyle\frac{2\pi}{3}+\pi\Big)\\\\ &=\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}\cdot\cos\pi-\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}\cdot\sin\pi\\\\ &=\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}\cdot(-1)-\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}\cdot0\\\\ &=-\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}\\\\ &=-\cos2\cdot\displaystyle\frac{\pi}{3}\\\\ &=-\Big(\cos^2\displaystyle\frac{\pi}{3}-\sin^2\displaystyle\frac{\pi}{3}\Big)\\\\ &=-\Big[\Big(\displaystyle\frac{1}{2}\Big)^2-\Big(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2\Big]\\\\ &=-\Big(\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{3}{4}\Big)\\\\ &=-\displaystyle\frac{1-3}{4}\\\\ &=-\displaystyle\frac{-2}{4}\\\\ &=\displaystyle\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*}\sin\displaystyle\frac{5\pi}{3}&=\sin\Big(\displaystyle\frac{2\pi}{3}+\displaystyle\frac{3\pi}{3}\Big)\\\\ &=\sin\Big(\displaystyle\frac{2\pi}{3}+\pi\Big)\\\\ &=\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}\cdot\cos\pi+\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}\cdot\sin\pi\\ \\&=\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}\cdot(-1)+\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}\cdot0\\ \\&=-\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}\\ \\&=-\sin2\cdot\displaystyle\frac{\pi}{3}\\\\ &=-2\cdot\sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos\frac{\pi}{3}\\\\ &=-2\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}\\\\ &=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}

Revenind la calcularea rădăcinei z_2, obținem:

\begin{align*} z_2&=5\cdot\Big(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\Big)\\\\ &=5\cdot\Big(\displaystyle\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)\\\\ &=\displaystyle\frac{5\cdot(1-i\sqrt{3})}{2}\\\\ &=\displaystyle\frac{5-i5\sqrt{3}}{2} \end{align*}

Am găsit rădăcinile \begin{align*} z_0&=\displaystyle\frac{5+i5\sqrt{3}}{2}, \ z_1=-5 \end{align*} și  \begin{align*} z_2&=\displaystyle\frac{5-i5\sqrt{3}}{2}, \end{align*} care verifică ecuația binomă dată.

  1. Scriem ecuația binomă z^4-625=0 sub forma z^4=625.

Forma trigonometrică a numărului a=625 se scrie folosind formula a=r(\cos(t)+i\sin(t)), unde

\begin{align*} r&=\sqrt{625^2+0^2}\\ &=\sqrt{625^2}\\&=\left |625\right |\\ &=625 \end{align*}

Avem a=625\cdot (\cos(t)+i\sin(t)). Pentru a avea loc această relație, \cos(t)=1 și \sin(t)=0. 

Pentru a îndeplini simultan condițiile \cos(t)=1, respectiv \sin(t)=0 trebuie ca t=0^\circ sau t=2\pi.

În cele ce urmează vom folosi t=0^\circ.

Așadar, forma trigonometrică a numărului a=625 este 625=625\cdot(\cos 0^\circ+i\sin 0^\circ).

Atunci, rădăcinile complexe ale lui z\in\mathbb{C}, le aflăm folosind formula: 

z_k=\sqrt[4]{r}\Big(\cos\displaystyle\frac{0+2k\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{0+2k\pi}{3}\Big),\ k\in\{0,1,2,3\}.

\begin{align*} z_k&=\sqrt[4]{625}\Big(\cos\displaystyle\frac{2k\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{2k\pi}{3}\Big),\ k\in\{0,1,2,3\}\\\\ z_k&=\sqrt[4]{5^4}\Big(\cos\displaystyle\frac{2k\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{2k\pi}{3}\Big),\ k\in\{0,1,2,3\}\\\\ z_k&=\left |5 \right | \cdot\Big(\cos\displaystyle\frac{2k\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{2k\pi}{3}\Big),\ k\in\{0,1,2,3\}\\\\ z_k&=5\cdot\Big(\cos\displaystyle\frac{2k\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{2k\pi}{3}\Big),\ k\in\{0,1,2,3\}\\ \end{align*}

Aflăm pe rând rădăcinile ecuației binome date:

Pentru \begin{align*} k=0 \end{align*} avem că:

\begin{align*} z_0&=5\cdot\Big(\cos\displaystyle\frac{2\cdot0\cdot\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{2\cdot0\cdot\pi}{3}\Big)\\\\ &=5\cdot\Big(\cos0+i\sin0\Big)\\ \\&=5\cdot(1+0)\\\\ &=5\cdot1\\\\&=5 \end{align*}

Pentru \begin{align*} k=1 \end{align*} avem că:

\begin{align*} z_1&=5\cdot\Big(\cos\displaystyle\frac{2\cdot1\cdot\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{2\cdot1\cdot\pi}{3}\Big)\\\\ &=5\cdot\Big(\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}\Big) \end{align*}

Luăm separat și calculăm \begin{align*}\cos\frac{2\pi}{3},\end{align*} respectiv \begin{align*}\sin\frac{2\pi}{3}.\end{align*}

\begin{align*}\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}&=\cos2\cdot\displaystyle\frac{\pi}{3}\\\\ &=\Big(\cos^2\displaystyle\frac{\pi}{3}-\sin^2\displaystyle\frac{\pi}{3}\Big)\\\\ &=\Big[\Big(\displaystyle\frac{1}{2}\Big)^2-\Big(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2\Big]\\\\ &=\Big(\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{3}{4}\Big)\\\\ &=\displaystyle\frac{1-3}{4}\\\\ &=\displaystyle\frac{-2}{4}\\\\ &=-\displaystyle\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*}\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}&=\sin2\cdot\displaystyle\frac{\pi}{3}\\\\ &=2\cdot\sin\frac{\pi}{3}\cdot\cos\frac{\pi}{3}\\\\ &=2\cdot\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}\\\\ &=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}

Revenind la calcularea rădăcinei z_1, obținem:

\begin{align*} z_1&=5\cdot\Big(\cos\displaystyle\frac{2\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{2\pi}{3}\Big)\\\\ &=5\cdot\Big(-\displaystyle\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)\\\\ &=\displaystyle\frac{5\cdot(-1+i\sqrt{3})}{2}\\\\ &=\displaystyle\frac{-5+i5\sqrt{3}}{2} \end{align*}

Pentru \begin{align*} k=2 \end{align*} avem că:

\begin{align*} z_2&=5\cdot\Big(\cos\displaystyle\frac{2\cdot2\cdot\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{2\cdot2\cdot\pi}{3}\Big)\\\\ &=5\cdot\Big(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\Big)\end{align*}

Luăm separat și calculăm \begin{align*}\cos\frac{4\pi}{3},\end{align*} respectiv \begin{align*}\sin\frac{4\pi}{3}.\end{align*}

\begin{align*}\cos\displaystyle\frac{4\pi}{3}&=\cos\Big(\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{3\pi}{3}\Big)\\\\ &=\cos\Big(\displaystyle\frac{\pi}{3}+\pi\Big)\\\\ &=\cos\displaystyle\frac{\pi}{3}\cdot\cos\pi-\sin\displaystyle\frac{\pi}{3}\cdot\sin\pi\\\\ &=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot(-1)-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot0\\ \\&=-\displaystyle\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*}\sin\displaystyle\frac{4\pi}{3}&=\sin\Big(\displaystyle\frac{\pi}{3}+\displaystyle\frac{3\pi}{3}\Big)\\\\ &=\sin\Big(\displaystyle\frac{\pi}{3}+\pi\Big)\\\\ &=\sin\displaystyle\frac{\pi}{3}\cdot\cos\pi+\cos\displaystyle\frac{\pi}{3}\cdot\sin\pi\\\\ &=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot(-1)+\frac{1}{2}\cdot0\\\\ &=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}

Revenind la calcularea rădăcinei z_2, obținem:

\begin{align*} z_2&=5\cdot\Big(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\Big)\\\\ &=5\cdot\Big(-\displaystyle\frac{1}{2}+i\frac{-\sqrt{3}}{2}\Big)\\\\ &=\displaystyle\frac{5\cdot(-1-i\sqrt{3})}{2}\\\\ &=\displaystyle\frac{-5-i5\sqrt{3}}{2} \end{align*}

Pentru \begin{align*} k=3 \end{align*} avem că:

\begin{align*} z_3&=5\cdot\Big(\cos\displaystyle\frac{2\cdot3\cdot\pi}{3}+i\sin\displaystyle\frac{2\cdot3\cdot\pi}{3}\Big)\\\\ &=5\cdot\Big(\cos2\pi+i\sin2\pi\Big)\\\\ &=5\cdot(1+0)\\\\ &=5\cdot1\\\\&=5 \end{align*}

Am găsit rădăcinile \begin{align*} z_0=5,\ z_1=\displaystyle\frac{-5+i5\sqrt{3}}{2}, \ z_2=\displaystyle\frac{-5-i5\sqrt{3}}{2} \end{align*} și  \begin{align*} z_3&=5, \end{align*} care verifică ecuația binomă dată.