Modulul unui număr complex

Fie un număr complex de forma $z=a+bi\in \mathbb{C}$ .

Definiția NC9: Modulul unui număr complex

Se numește modulul lui , notat |z| , numărul pozitiv $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

Exemple:

Modulul numărului complex este:

$\begin{align*} |z|&=\sqrt{\underbrace{2^2}_{a}+\underbrace{1^2}_{b}}\\ \\ &= \sqrt{4+1} \\\\ &= \sqrt{5} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow |z|= \sqrt{5}. \end{align*}$

Fie numărul complex . Modulul numărului dat este:

$\begin{align*} |z|&=\sqrt{\underbrace{4^2}_{a}+\underbrace{3^2}_{b}}\\ \\ &= \sqrt{16+9} \\\\ &= \sqrt{25} \\\\ &= 5 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow |z|= 5. \end{align*}$

Observație:

Dacă $z=a\in \mathbb{R}$ , adică numărul se scrie de forma $z=a+i\cdot 0$ , atunci $|z|=|a|=\sqrt{a^2}$ .

Exemplu:

Modulul numărului complex z=3 este:

$\begin{align*} |z|&=|3+0\cdot i| \\ &= |3| \\ &= \sqrt{3^2} \\ &=\sqrt{9} \\ &=3 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow |z|=3. \end{align*}$

Propoziția NC10: Proprietățile modulului unui număr complex

$\begin{align*} |z|&\geq 0, \end{align*}$ pentru orice $z\in \mathbb{C}$ ;
$\begin{align*} |z|& =0 \end{align*}$ , ceea ce este echivalent cu .

Demonstrație:

Arătăm că are loc prima afirmație a acestei proprietăți, astfel:

$\begin{align*} &|z|=\sqrt{a^2+b^2}, \end{align*}$ oricare ar fi de forma z=a+ib , de unde ne va rezulta că:

$&\Rightarrow |z|\geq 0,$ pentru orice $z\in \mathbb{C}$ .

Afirmația de mai sus este adevărată deoarece orice radical de ordin par, în particular, radicalul de ordinul $\begin{align*} 2 \end{align*}$ este număr pozitiv.

Considerăm că modulul unui număr complex este nul. Atunci avem:

$\begin{align*} &|z|=0 \Leftrightarrow\\&\Leftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}=0\\ &\Leftrightarrow a^2+b^2=0 \\ &\Leftrightarrow a^2\geq 0 \\ &\Leftrightarrow b^2\geq 0 \\ &\Leftrightarrow a=b=0\\& \Rightarrow z=0. \end{align*}$

Modulul unui număr complex coincide cu modulul conjugatului său.

$|z|=|\overline{z}|,$ pentru orice $z\in \mathbb{C}.$

Demonstrație:

Fie $z= a+ib\in \mathbb{C}$ . Atunci conjugatul său este $\overline{z}= a-ib$ .

Modulul numărului complex dat este:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

Calculăm modulul conjugatului lui .

$\begin{align*} \overline{|z|}&=\sqrt{a^2+(-b)^2}\\&= \sqrt{a^2+b^2} \\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Rightarrow |z|=\overline{|z|}. \end{align*}$

Produsul dintre un număr complex și conjugatul său este egal cu modulul acestui număr.

$|z|^2=z\cdot \overline{z},$ pentru orice $z\in \mathbb{C}.$

Demonstrație:

Fie $z= a+ib\in \mathbb{C}$ .

Modulul numărului complex este $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ .

Ridicând la pătrat ultima relație, vom obține:

$\begin{align*} |z|^2&=a^2+b^2 \\ &=a^2+abi-abi-b^2i^2\\ &=a(a+bi)-bi(a+bi)\\ &= (a+ib)(a-bi) \\ &= z\cdot \overline{z} \\ \end{align*}$

$\Rightarrow |z|^2=z\cdot \overline{z},$ pentru orice $z\in \mathbb{C}.$

Observație:

Câtul dintre două numere complexe z_1 și z_2 poate fi scis astfel:
$\displaystyle\frac{z_1}{z_2}=\displaystyle\frac{z_1\cdot \overline{z_2}}{z_2\cdot \overline{z_2}}=\displaystyle\frac{z_1\cdot \overline{z_2}}{|z|^2}, z_2\neq 0$ .

Modulul produsului a două numere complexe este egal cu produsul modulelor celor două numere.

$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|,$ oricare ar fi $z_1,z_2\in \mathbb{R}.$

Demonstrație:

Fie numere complexe z_1=a_1+ib_1 și z_2=a_2+ib_2 .

Produsul celor două numere complexe este:

$z_1\cdot z_2= a_1a_2-b_1b_2+i(a_1b_2+a_2b_1)$ .

Atunci, modulul produsului numerelor este:

$\begin{align*} |z_1\cdot z_2| &= \sqrt{(a_1a_2-b_1b_2)^2+(a_1b_2+a_2b_1)^2} \\\\ &= \sqrt{a_1^2a_2^2-2a_1a_2b_1b_2+b_1^2b_2^2+a_1b_2+2a_1a_2b_2b_1+a_2^2b_1^2} \\\\ &=\sqrt{a_1^2(a_2^2+b_2^2)+b_1^2(a_2^2+b_2^2)} \\ &=\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}\\\\ &=\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2} \\\\ &=|z_1|\cdot|z_2| \end{align*}$

Deci $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|, \forall z_1,z_2\in \mathbb{R}$ .

Modulul câtului a două numere complexe este egal cu câtul modulelor lor.

$\begin{align*} \left| \displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right|= \displaystyle\frac{|z_1|}{|z_2|}, \end{align*}$ pentru orice $\begin{align*} \forall z_1,z_2\in \mathbb{C}, \end{align*}$ cu $\begin{align*} z_2\neq 0 \end{align*}$ .

Demonstrație:

Fie $\begin{align*} z_1,z_2\in \mathbb{C},z_2\neq 0 \end{align*}$ , z_1=a_1+ib_1 și z_2=a_2+ib_2 .

Câtul celor două numere este:

$\begin{align*} \displaystyle\frac{z_1}{z_2}&=\displaystyle\frac{z_1\cdot \overline{z_2}}{\overline{z_2}\cdot z_2} \\\\ &= \displaystyle\frac{z_1\cdot \overline{z_2}}{|z|^2} \\\\ &= \displaystyle\frac{1}{|z_2|^2}\cdot z_1\cdot\overline{z_2} .\end{align*}$

Atunci, modulul câtului numerelor complexe este:

$\begin{align*} \left| \displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right| &= \displaystyle\frac{1}{|z_2|^2}\cdot |z_1\cdot \overline{z_2}| \\\\ &=\displaystyle\frac{1}{|z_2|^2}\cdot |z_1|\cdot |\overline{z_2}| \\\\ &= \displaystyle\frac{1}{|z_2|^2}\cdot |z_1|\cdot |z_2| \\\\ &= \displaystyle\frac{|z_1|}{|z_2|}. \end{align*}$

S-a folosit proprietatea b. $\begin{align*} |z|=|\overline{z}| \end{align*}$ .

În concluzie, $\begin{align*} \left| \displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right|= \displaystyle\frac{|z_1|}{|z_2|}, \end{align*}$ oricare ar fi $\begin{align*} z_1,z_2\in \mathbb{C}, \end{align*}$ cu $\begin{align*} z_2\neq 0. \end{align*}$

Inegalitatea lui Minkowski (a triunghiului)

$\begin{align*} \big|| z_1 |-| z_2 |\big|\le |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|, \end{align*}$ oricare ar fi $\begin{align*} z_1,z_2\in \mathbb{C}. \end{align*}$

Așadar, proprietățile modulului unui număr complex sunt:

$\begin{align*} |z|&\geq 0,\forall z\in \mathbb{C} \end{align*}$ ;

$|z|=0\Leftrightarrow z=0$ ;

$|z|=|\overline{z}|,\forall z\in \mathbb{C}$ ;
$|z|^2=z\cdot \bar z, \ \forall \ z\in \mathbb{C}$ ;
$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|, \ \forall \ z_1,z_2\in \mathbb{C}$ ;
$\begin{align*} \left| \displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right|= \displaystyle\frac{|z_1|}{|z_2|}, \forall z_1,z_2\in \mathbb{C}, z_2\neq 0 \end{align*}$ ;
$\begin{align*} \big|| z_1 |-| z_2 |\big|\le |z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|, \forall z_1, z_2\in\mathbb{C} \end{align*}$ .

Exerciții rezolvate cu modulul unui număr complex

Să se verifice Propoziția NC10, a., pentru numărul complex .

Rezolvare:

Calculăm modulul numărului complex dat.

$\begin{align*}|z|&=\sqrt{4^2+1^2} \\ &= \sqrt{16+1} \\ &= \sqrt{17} \\ \end{align*}$

$\begin{align*}\sqrt{17}> 0 \end{align*}$

$\begin{align*}\Rightarrow |z| &\geq 0 \end{align*}$ .

Așadar, Propoziția NC10, a. a fost verificată.

Să se verifice dacă modulul numărului complex $\begin{align*} z=5+3i \end{align*}$ coincide cu modulul conjugatului său $\begin{align*} \overline{z}=5-3i \end{align*}$ .

Rezolvare:

Verificăm dacă are loc Propoziția NC10, b. .

Calculăm modulul numărului complex $\begin{align*} z \end{align*}$ .

$\begin{align*} |z|&=\sqrt{5^2+3^2} \\ &= \sqrt{25+9} \\ &= \sqrt{34} \end{align*}$

Calculăm $\begin{align*} |\overline{z}| \end{align*}$ .

$\begin{align*} |\overline{z}|&= \sqrt{5^2+(-3)^2} \\ &= \sqrt{25+9} \\ &=\sqrt{34} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow |z| &= |\overline{z}| \end{align*}$ .

Așadar, am arătat că Propoziția NC10, b. are loc pentru acest exercițiu.

Să se verifice dacă are loc Propoziția NC10, c. pentru numărul complex .

Rezolvare:

Modulul numărului complex este:

$\begin{align*} |z|&=\sqrt{2^2+3^2} \\ &= \sqrt{4+9} \\ &= \sqrt{13} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow |z|= \sqrt{13} \end{align*}$

Ridicăm la pătrat relația de mai sus și obținem:

$\begin{align*} |z|^2&= \sqrt{13}^2 \\ &= 13 \end{align*}$

Calculăm $\begin{align*} z\cdot \overline{z} \end{align*}$ .

$\begin{align*} z\cdot \overline{z}&= (2+3i)(2-3i) \\ &= 2^2-(3i)^2 \\ &= 4-3^2i^2 \\ &= 4-9\cdot(-1) \\ &=4+9 \\ &=13 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow |z|^2=z\cdot \overline{z} \end{align*}$ .

Am văzut astfel că Propoziția NC10, c. are loc.

Să se calculeze $|z_1\cdot z_2|$ , unde , .

Rezolvare:

Folosind Propoziția NC10, d., avem:

$\begin{align*} |z_1\cdot z_2| &= |(1+3i)(2+4i)| \\ &= |1+3i|\cdot |2+4i| \\ &= \sqrt{1^2+3^2}\cdot \sqrt{2^2+4^2} \\ &= \sqrt{1+9}\cdot \sqrt{4+16} \\&= \sqrt{10}\cdot \sqrt{20} \\ &= \sqrt{10\cdot 20} \\ &=\sqrt{200} \\ &= 10\sqrt{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow |z_1\cdot z_2| = 10\sqrt{2} \end{align*}$ .

Să se calculeze $\left| \displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right|$ , unde și .

Rezolvare:

Folosim Propoziția NC10, e. și obținem:

$\begin{align*} \left| \displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right| &= \left|\displaystyle\frac{2+4i}{1+5i}\right| \\\\ &= \displaystyle\frac{|2+4i|}{|1+5i|} \\\\ &=\displaystyle\frac{\sqrt{2^2+4^2}}{\sqrt{1^2+5^2}} \\\\ &= \displaystyle\frac{\sqrt{4+16}}{\sqrt{1+25}} \\\\ &=\displaystyle\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{26}}\\\\ &=\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{26}}. \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow \left| \displaystyle\frac{z_1}{z_2}\right| &=\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{26}}. \end{align*}$