Mulțimi finite ordonate

Noțiuni teoretice

Fie M o mulţime.

Definiția MN1: Mulțimea finită

Mulţimea M se numeşte mulţime finită dacă este mulţimea vidă ( notată cu  \varnothing ) sau dacă există un număr natural n, astfel încât elementele ei se pot numerota astfel  m1, m2, m3, ... , mn.

Definiția MN2: Cardinalul mulțimii M

Numărul natural n pentru care M= \left \{ m_1,m_2,m_3,\dotsc,m_n\right \} reprezintă numărul de elemente sau cardinalul mulţimii M.

Acesta se notează astfel: n=card(M).​

Exemple:

Cum mulţimea vidă are zero elemente, atunci cardinalul ei este: card(\varnothing)=0;

Mulţimea E=\{a,b,c\} are trei elemente, deci card(E)=3:

Fie mulţimea divizorilor lui 12, notat cu \mathcal{D}_{12}=\{1,2,3,4,6,12\}. Această mulțime are card(\mathcal{D}_{12})=6, adică numărul de elemente din mulţime este 6.

​​Observații:

  1. Dacă M este o mulţime finită, orice submulţime P a acesteia este finită şi card(P) \leq card(M).
  2. Dacă M şi P sunt mulţimi finite, atunci mulţimile M\cup P,\ M\cap P,\ M\setminus P,\ M\times P sunt mulţimi finite.

Fie M o mulţime finită cu n elemente, n\in\mathbb{N}^*. Elementele mulţimii M pot fi scrise într-o anumită ordine:

m_1,m_2,m_3,\dotsc,m_n\quad (1)

fiecare element având un loc bine determinat în această scriere.

Definiția MN3: Rangul unui element

Se numeşte rangul elementului locul ocupat de un element al mulţimii M în şirul  (1).

Definiția MN4: Mulțimea ordonată

O mulţime finită se numeşte mulţime ordonată, dacă elementele sale sunt aranjate într-o ordine bine determinată.

Observații:

  1. Ordinea de aranjare a elementelor mulţimii M se dă prin numerotarea acestora. Aşadar, elementul care are rangul 1 se notează cu m_1, elementul care are rangul 2 se notează cu m_2,\dotsc, elementul care are rangul k se notează cu m_k.

Astfel, relaţia dintre rangul k\in\{1,2,3,...,n\} şi elementul k\to m_k,\ m_k\in M, defineşte o funcţie f:\{1,2,3,...,n\}\to M,\ f(k)=m_k.

O mulţime finită poate fi ordonată în mai multe moduri.

Exemplu:

Mulţimea A=\{-2,3,5\} se poate ordona în şase moduri, după cum urmează:

\begin{align*} &(-2,3,5); (-2,5,3); \\ &(3,-2,5); (3,5,-2); \\ &(5,-2,3); (5,3,-2). \end{align*}

Două mulţimi ordonate (m_1,m_2,m_3,\dotsc,m_n) şi (p_1,p_2,p_3,\dotsc,p_k) sunt egale dacă şi numai dacă au acelaşi număr de elemente şi elementele care au acelaşi rang sunt egale, adică:

(m_1,m_2,m_3,\dotsc,m_n)=(p_1,p_2,p_3,\dotsc,p_k), dacă și numai dacă n=k

și avem egalitățile următoare:

\begin{align*} m_1&=p_1 \\ m_2&=p_2 \\ m_3&=p_3 \\ \vdots \\ m_n&=p_k \end{align*}.

În continuare ți se vor prezenta câteva exerciții revolvate cu aceste mulțimi finite ordonate.

Aplicații

Să se scrie mulţimile ordonate care se pot forma cu mulţimile:

​​\{a,c,r\};

\{1,3,7,9\}.

​​Soluție:

  1. Mulţimile ordonate care se pot forma cu mulţimea \{a,c,r\} sunt:

\begin{align*} &(a,c,r); (a,r,c); \\ &(c,a,r); (c,r,a); \\ &(r,a,c); (r,c,a). \end{align*}

  1. Mulţimile ordonate care se pot forma cu mulţimea \{1,3,7,9\} sunt:

\begin{align*} &(1,3,7,9); (1,3,9,7); (1,7,3,9); (1,7,9,3); (1,9,3,7); (1,9,7,3);\\ &(3,1,7,9); (3,1,9,7); (3,7,1,9); (3,7,9,1); (3,9,1,7); (3,9,7,1) \\ &(7,1,3,9); (7,1,9,3); (7,3,1,9); (7,3,9,1); (7,9,1,3); (7,9,3,1); \\ &(9,1,3,7); (9,1,7,3);(9,3,1,7); (9,3,7,1); (9,7,1,3); (9,7,3,1). \end{align*}

  1. Să se scrie mulţimile ordonate formate cu mulţimea A, în cazurile:
    1. ​​A=\{x\in\mathbb{Z}^*\ |\ -1\leq x\leq 2\};
    2. A=\{x\in\mathbb{N}^*\ |\ x+1\text {\ divide\ } 8\}.

Soluție:

  1. Pentru ca dubla inegalitatea să aibă loc, x poate să ia următoarele valori: x\in\{-1,1,2\}.

Așadar, mulțimea noastră este A=\{-1,1,2\}.

Mulţimile ordonate formate cu mulţimea A vor fi următoarele: 

\begin{align*} &(-1,1,2); (-1,2,1); \\ &(1,-1,2); (1,2,-1); \\ &(2,-1,1); (2,1,-1). \end{align*}

  1. Din x+1 divide 8, rezultă că (x+1)\in\mathcal{D}_8=\{1,2,4,8\}.

Atunci:

\begin{align*} &x+1=1 \\ &\Leftrightarrow x=1-1 \\ &\Leftrightarrow x=0\notin \mathbb{N}^* \end{align*}

\begin{align*} &x+1=2 \\ &\Leftrightarrow x=2-1 \\ &\Leftrightarrow x=1 \end{align*}

\begin{align*} &x+1=4 \\ &\Leftrightarrow x=4-1 \\ &\Leftrightarrow x=3 \end{align*}

\begin{align*} &x+1=8 \\ &\Leftrightarrow x=8-1 \\ &\Leftrightarrow x=7 \end{align*}

De unde obţinem că mulţimea căutată este A=\{1,3,7\}, deci mulţimile ordonate formate cu mulţimea A sunt:

\begin{align*} &(1,3,7); (1,7,3); \\ &(3,1,7); (3,7,1); \\ &(7,1,3); (7,3,1). \end{align*}