Binomul lui Newton

Noțiuni teoretice

Cunoaştem din clasele anterioare următoarele formule de calcul:

\begin{align*} (a+b)^0&=1 \\ (a+b)^1&=a+b \\ (a+b)^2&=a^2+2ab+b^2 \\ (a+b)^3&=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{align*}

În continuare, vom da o formulă pentru a putea calcula (a+b)^n.

Teorema MN13: Teorema lui Newton sau Binomul lui Newton

Pentru orice număr natural n, cu n \geq 1, are loc următoarea egalitate:

(a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b^1+\cdots+C_n^ka^{n-k}b^k+\cdots+C_n^nb^n \quad (\ast)

sau mai putem restrânge formula de mai sus folosind semnul sumei:

(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^ka^{n-k}b^k.

Aceste relații se numesc binomul (sau formula) lui Newton.

Numerele C_n^0,\ C_n^1,\ \dotsc\ ,\ C_n^n se numesc coeficienți binominali. 

Demonstrație:

Vom demonstra formula lui Newton cu ajutorul inducţiei matematice.

Notăm:

P(n): (a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b^1+\cdots+C_n^ka^{n-k}b^k+\cdots+C_n^nb^n.

Etapa I: Etapa de verificare:

Pentru n=1, avem:

\begin{align*} P(1): (a+b)^1&=C_1^0a^1+C_1^1a^{1-1}b \\\\ &=\frac{1!}{(1-0)!\cdot 1!}a+\frac{1!}{(1-1)!\cdot 0!}a^0b \\\\ &=\frac{1}{1\cdot1}a+\frac{1}{1\cdot 1}1\cdot b \\\\ &=1\cdot a+1\cdot b \\\\ &=a+b \end{align*}

Așadar, pentru n=1, P(1) este o propoziție adevărată.

Etapa II: Etapa de demonstraţie:

Presupunem P(n) adevărată, arătăm că P(n+1) este adevărată. 

P(n): (a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n-1}b^1+\cdots+C_n^ka^{n-k}b^k+\cdots+C_n^nb^n.

\begin{align*}P(n+1):(a+b)^{ n+1}=C_{ n+1}^0a^{ n+1}+C_{ n+1}^1a^{n+1-1}b^1+\dotsc+C_{n+1}^ka^{n+1-k}b^k+\dotsc+C_{ n+1}^{ n+1}b^{ n+1}. \end{align*}

Termenul a^{n+1-k}b^k din P(n+1) îl obţinem prin două moduri:

  1. Termenul C_n^ka^{n-k}b^k îl înmulțim cu a, astfel încât obținem:

\begin{align*} C_n^ka^{n-k}b^k\cdot a&=C_n^ka\cdot a^{n-k}b^k \\\\ &=C_n^ka^{n+1-k}b^k \end{align*}

  1. Termenul C_n^{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1} îl înmulţim cu b , astfel obţinând:

\begin{align*} C_n^{k-1}a^{n-(k-1)}b^{k-1}\cdot b&=C_n^{k-1}a^{n-k+1}b^{k-1+1} \\\\ &=C_n^{k-1}a^{n-k+1}b^{k} \\\\ &=C_n^{k-1}a^{n+1-k}b^{k} \end{align*}

Adunăm cei doi termeni obţinuţi mai sus, folosind identitatea lui Pascal \left (C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1} \right ) și obţinem:

\begin{align*} C_n^ka^{n+1-k}b^k+C_n^{k-1}a^{n+1-k}b^{k}&=(C_n^k+C_n^{k-1})a^{n+1-k}b^k \\\\ &=C_{n+1}^ka^{n+1-k}b^k \end{align*}

\Leftrightarrow C_n^ka^{n+1-k}b^k+C_n^{k-1}a^{n+1-k}b^{k}&= C_{n+1}^ka^{n+1-k}b^k \quad (1)

În continuare calculăm coeficienţii lui a^{ n+1} şi b^{ n+1}:

  • Pentru a^{ n+1}, avem:

\begin{align*} C_{n+1}^0&=\frac{(n+1)!}{(n+1-0)!\cdot 0!} \\\\ &=\frac{(n+1)!}{(n+1)!\cdot 1} \\\\ &=1 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow C_{n+1}^0=1 \quad (2) \end{align*}

  • Pentru b^{ n+1}, avem:

\begin{align*} C_{n+1}^{n+1}&=\frac{(n+1)!}{(n+1-(n+1))!\cdot (n+1)!} \\\\ &=\frac{(n+1)!}{(n+1-n-1)!\cdot (n+1)!} \\\\ &=\frac{(n+1)!}{0!\cdot (n+1)!} \\\\ &=\frac{(n+1)!}{1\cdot (n+1)!} \\\\ &=1 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow C_{n+1}^{n+1}=1\quad (3) \end{align*}

Din relațiile (1),\ (2) și (3) avem că:

(a+b)^{ n+1}=C_{ n+1}^0a^{ n+1}+C_{ n+1}^1a^{n+1-1}b^1+\dotsc+C_{n+1}^ka^{n+1-k}b^k+\dotsc+C_{ n+1}^{ n+1}b^{ n+1},

ceea ce este echivalent cu: 

(a+b)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^ka^{n+1-k}b^k.

Rezultă că P(n+1) este adevărată. Așadar, avem că P(n) este adevărată, pentru orice n\in\mathbb{N}, cu n \geq 1.

Relaţia (\ast) pentru (a-b) este următoarea: 

(a-b)^n=C_n^0a^n-C_n^1a^{n-1}b^1+\cdots+(-1)^kC_n^ka^{n-k}b^k+\cdots+(-1)^nC_n^nb^n\quad (\ast\ast)

Observații:

  1. Dezvoltarea binomului (a+b)^n are n+1 termeni.
  2. ​T_{k+1}= C_n^k a^{n-k} b^kT_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k se numeşte termenul general al dezvoltării.
  3. ​Între doi termeni consecutivi ai dezvoltării binomiale, T_{k+1} şi T_{k+2}, are loc următoarea relaţie:  

\frac{T_{k+2}}{T_k+1}=\frac{n-k}{k+1}\cdot \frac{b}{a},

numită relația de recurență.

Demonstrăm cea de-a treia observație:

Folosim formula termenului general şi formula combinărilor.

Astfel, avem că:

\begin{align*} \frac{T_{k+2}}{T_k+1}&=\frac{T_{(k+1)+1}}{T_k+1} \\\\ &=\frac{C_n^{k+1}a^{n-k-1}b^{k+1}}{C_n^ka^{n-k}b^k} \\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{n!}{(n-(k+1))!\cdot (k+1)!}\cdot a^{n-k}\cdot a^{-1}b^k\cdot b^1}{\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}\cdot a^{n-k}b^k} \\\\ &=\frac{\displaystyle\frac{n!}{(n-k-1)!\cdot (k+1)!}\cdot a^{n-k}\cdot b^k\cdot \frac{b}{a}}{\displaystyle\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!}\cdot a^{n-k}b^k} \\\\ &=a^{n-k}b^k\cdot\frac{b}{a}\cdot\frac{n!}{(n-k-1)!\cdot(k+1)!}\cdot\frac{(n-k)!\cdot k!}{n!\cdot a^{n-k}b^k} \\\\ &=\frac{a^{n-k}b^kn!}{(n-k-1)!\cdot(k+1)!}\cdot\frac{(n-k)!\cdot k!}{n!\cdot a^{n-k}b^k}\cdot\frac{b}{a} \\\\ &=\frac{(n-k)!\cdot k!}{(n-k-1)!\cdot(k+1)!}\cdot\frac{b}{a} \\\\ &=\frac{(n-k-1)!\cdot (n-k)\cdot k!}{(n-k-1)!\cdot(k+1-1)!\cdot (k+1)}\cdot\frac{b}{a} \\\\ &=\frac{(n-k-1)!\cdot (n-k)\cdot k!}{(n-k-1)!\cdot k!\cdot (k+1)}\cdot\frac{b}{a} \\\\ &=\frac{(n-k)}{(k+1)}\cdot\frac{b}{a} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \frac{T_{k+2}}{T_k+1}=\frac{(n-k)}{(k+1)}\cdot\frac{b}{a}\ . \end{align*}

În continuare vei găsi câteva exerciții rezolvate în care se aplică binomul lui Newton.

Aplicații

Scrieţi dezvoltările:

(x-2y)^4.

(1+\sqrt{2})^5.

Soluție:

  1. Folosim formula (\ast) din pagina anterioară şi formula combinărilor. Se obține:

\begin{align*}& (x-2y)^4=\\\\&=C_4^0\cdot x^4+(-1)^1C_4^1x^{4-1}(2y)^1+(-1)^2C_4^2x^{4-2}(2y)^2+(-1)^3C_4^3x^{4-3}(2y)^3+\\&+(-1)^4C_4^4x^{4-4}(2y)^4 \\ \\ &=\frac{4!}{(4-0)!\cdot 0!}x^4-\frac{4!}{(4-1)!\cdot1!}x^3\cdot 2y+\frac{4!}{(4-2)!\cdot2!}x^2\cdot 4y^2-\\&-\frac{4!}{(4-3)!\cdot 3!}x^1\cdot 8y^3+\frac{4!}{(4-4)!\cdot 4!}x^0\cdot 16y^4 \\\\ &=\frac{4!}{4!\cdot 1}x^4-\frac{4!}{3!\cdot1}x^3\cdot 2y+\frac{4!}{2!\cdot1\cdot2}x^2\cdot 4y^2-\frac{4!}{1!\cdot1\cdot2\cdot 3}x\cdot 8y^3+\\&+\frac{4!}{0!\cdot 1\cdot2\cdot3\cdot4}1\cdot 16y^4 \\\\ &=1\cdot x^4-\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{1\cdot2\cdot3 }x^3\cdot 2y+\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{1\cdot2\cdot1\cdot2}x^2\cdot 4y^2-\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{1\cdot2\cdot 3}x\cdot 8y^3+\\&+\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{ 1\cdot2\cdot3\cdot4}1\cdot 16y^4 \\\\ &=x^4-4x^3\cdot 2y+2\cdot 3\cdot x^2\cdot 4y^2-4x\cdot 8y^3+1\cdot 16y^4 \\\\ &=x^4-8x^3y+24x^2y^2-32xy^3+16y^4 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow (x-2y)^4=x^4-8x^3y+24x^2y^2-32xy^3+16y^4 \end{align*}.

  1. Conform formulei (\ast) din pagina anterioară, precum și a formulei combinărilor și Propoziția MN8, 1., avem că:

\begin{align*} &(1+\sqrt{2})^5=\\\\ &=C_5^01^5+(-1)^1C_5^11^{5-1}\sqrt{2}^1+(-1)^2C_5^21^{5-2}\sqrt{2}^2+(-1)^3C_5^31^{5-3}\sqrt{2}^3+(-1)^4C_5^41^{5-4}\sqrt{2}^4+\\&+(-1)^5C_5^51^{5-5}\sqrt{2}^5 \\\\ &=\frac{5!}{(5-0)!\cdot0!}\cdot1-\frac{5!}{(5-1)!\cdot 1!}\cdot1^4\cdot \sqrt{2}+\frac{5!}{(5-2)!\cdot 2!}\cdot 1^3\cdot 2-\frac{5!}{(5-3)!\cdot3!}\cdot1^2\cdot 2\sqrt{2}+\\\\&+\frac{5!}{(5-4)!\cdot4!}\cdot1^1\cdot 4-\frac{5!}{(5-5)!\cdot0!}\cdot1^0\cdot 4\sqrt{2} \end{align*}

\begin{align*} &=\frac{5!}{5!\cdot1}-\frac{5!}{4!\cdot 1}\cdot \sqrt{2}+\frac{5!}{3!\cdot1\cdot2}\cdot 2-\frac{5!}{2!\cdot1\cdot2\cdot3}\cdot 2\sqrt{2}+\frac{5!}{1!\cdot4!}\cdot 4-\frac{5!}{0!\cdot5!}\cdot1\cdot 4\sqrt{2} \\\\ &=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}-\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{1\cdot2\cdot3\cdot4}\cdot \sqrt{2}+\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{1\cdot2\cdot3\cdot1\cdot2}\cdot 2-\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{1\cdot2\cdot1\cdot2\cdot3}\cdot 2\sqrt{2}+\\\\&+\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{1\cdot2\cdot3\cdot4}\cdot 4-\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5}\cdot 4\sqrt{2} \\\\ &=1-5\cdot\sqrt{2}+2\cdot5\cdot 2-2\cdot5\cdot2\sqrt{2}+5\cdot4-1\cdot 4\sqrt{2} \\\\ &=1-5\sqrt{2}+20-20\sqrt{2}+20-4\sqrt{2} \\\\ &=41-29\sqrt{2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow (1+\sqrt{2})^5=41-29\sqrt{2} \end{align*}.

Să se găsească termenul al 6-lea al dezvoltării (a+b)^{13} .

Soluție:

Pentru a determina cel de-al șaselea termen al dezvoltării date, folosim formula termenului general al unei dezvoltări binomiale:

\begin{align*} T_6=T_{5+1}&=C_{13}^5a^{13-5}b^5 \\\\ &=\frac{13!}{(13-5)!\cdot 5!}a^8b^5 \\\\ &=\frac{13!}{8!\cdot 5!}a^8b^5 \\\\ &=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot8\cdot9\cdot10\cdot11\cdot12\cdot13}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot8\cdot 1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot 5}\cdot a^8b^5 \\\\ &=\frac{9\cdot10\cdot11\cdot12\cdot13}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot 5}\cdot a^8b^5 \\\\ &=9\cdot11\cdot13\cdot a^8\cdot b^5 \\\\ &=1287\cdot a^8\cdot b^5 \end{align*}

Așadar, am găsit că al șaselea termen al dezvoltării (a+b)^{13} este \begin{align*} 1287\cdot a^8\cdot b^5 \end{align*}.

Determinați coeficientul lui x^3 din dezvoltarea lui (2+x)^4.

Soluție:

Folosind formula lui Newton obținem:

\begin{align*} &(2-x)^4=\\\\&=C_4^02^4+(-1)^{4-1}x+C_4^22^{4-2}x^2+(-1)^32^{4-3}x^3+(-1)^42^{4-4}x^4 \\\\ &=\frac{4!}{(4-0)!\cdot 0!}16-\frac{4!}{(4-1)!\cdot 1!}2^3x+\frac{4!}{(4-2)!\cdot2!}2^2x^2-\frac{4!}{(4-3)!\cdot 3!}2^1x^3+\frac{4!}{(4-4)!\cdot4!}2^0x^4 \\\\ &=\frac{4!}{4!\cdot 1}16-\frac{4!}{3!\cdot 1}8x+\frac{4!}{2!\cdot2!}4x^2-\frac{4!}{1!\cdot 3!}2x^3+\frac{4!}{0!\cdot4!}1\cdot x^4 \\\\ &=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot 1}16-\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{1\cdot2\cdot3}8x+\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{1\cdot2\cdot1\cdot2}4x^2-\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{1\cdot2\cdot3}2x^3+\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4}{1\cdot2\cdot3\cdot4}x^4 \\\\ &=1\cdot 16-4\cdot8x+3\cdot4\cdot 4x^2-4\cdot 2x^3+1\cdot x^4 \\\\ &=16-32x+48x^2-8x^3+x^4 \end{align*}

Deci, coeficientul lui x^3 este -8.