Noțiuni generale

Accesând această pagină vei găsi toate aceste noțiuni generale despre matrice și astfel vei înțelege mai bine conceptul de matrice studiat la clasă sau, de ce nu, vei învăța lucruri noi în cazul în care nu ai studiat încă acest capitol. 

Pentru fiecare noțiune introdusă vei găsi exemple ilustrative, care te vor ajuta să îți fixezi cunoștințele; în prima pagină vei găsi exemple de matrice cu elemente din diferite mulțimi de numere studiate de tine (mulțimea numerelor naturale, reale, etc), iar în a doua pagină vei întâlni exemple pentru fiecare din tipurile de matrice particulare definite (matricea nulă, matricea diagonală și altele).

Înainte de a trece la următorul capitol se face o clasificare a matricelor în funcție de dimensiunile lor; astfel se definesc matrice particulare, cum ar fi matricea liniematricea coloanămatricea nulămatricea pătratică etc.

Printre cele mai des întâlnite matrice se numără matricele pătratice pentru că acestea permit efectuarea diferitor calcule care nu se pot efectua în cazul unor matrice de dimensiuni arbitrare.

Matricea unitate, de exemplu, este tot o matrice pătratică, iar definiția acesteia o găsiți în secțiunea dedicată tipurilor de matrice. Un alt tip de matrice pătratică este matricea diagonală, care ne este de mare ajutor în probleme. 

Tot o matrice pătratică este și matricea triunghiulară, care poate fi de două tipuri: matrice triunghiulară inferior și matrice triunghiulară superior.

 

Definiție, notație, egalitatea a două matrice

Definiția M1: Matrice

Conform DEX, o matrice este un sistem de numere grupate într-un tablou dreptunghiular care are un anumit număr de coloane, linii sau rânduri.

În limbaj matematic, definim o matrice astfel:

Fie  m,n\in\mathbb{N}^{\ast}. Se numește  matrice cu  m linii și  n coloane un tablou cu  m linii și  n coloane

\begin{align*} &A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} & \dotsc & a_{1n}\\ a_{21} &a_{22} &\dotsc & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2} & \dotsc & a_{mn} \end{pmatrix}, \end{align*}

unde elementele  \begin{align*} a_{ij} \end{align*} sunt numere complexe,  \begin{align*} i=\overline{1,m}, j=\overline{1,n}. \end{align*}

O matrice cu  m linii și  n coloane se notează   \begin{align*} A=(a_{ij})_{\substack{ i=\overline{1,m} \\ j=\overline{1,n} }} \end{align*}  sau   \begin{align*} A=(a_{ij})_{\substack{ 0<i<m \\ 0<j<n }}.\end{align*}

Luând un element   \begin{align*} a_{ij} \end{align*}, indecele  \begin{align*}i\end{align*} arată linia (elemente citite pe orizontală) pe care se află elementul, iar indicele  \begin{align*}j \end{align*} arată coloana (elementele citite pe verticală) pe care acesta este situat.

Numerele  \begin{align*}m\end{align*} și  \begin{align*}n\end{align*} se numesc dimensiunile matricei.

O matrice cu  m linii și  n coloane se mai numește și matrice de dimensiuni \begin{align*}m,n\end{align*} sau matrice de tipul \begin{align*}m\times n\end{align*}.

Mulțimea matricelor de tipul  \begin{align*}m\times n\end{align*}, cu elementele numere reale, se notează prin   \begin{align*} \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}). \end{align*}

Analog definim   \begin{align*} \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C}), \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{Q}), \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{Z}) \end{align*} și  \begin{align*}\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{N}). \end{align*}

Exemple:

  1. Fie matricea  \begin{align*} &A=\begin{pmatrix} 2 &4 &3 &5 \\ 1& 2 & -2 &0 \\ 4& -3 &7 &1 \end{pmatrix}. \end{align*}

Matricea  \begin{align*} A \end{align*} are  \begin{align*} 3 \end{align*} linii și  \begin{align*} 4 \end{align*} coloane, deci  \begin{align*} A\in\mathcal{M}_{3,4}(\mathbb{R}). \end{align*}

Elementul  \begin{align*} a_{23} \end{align*} este elementul de pe linia  \begin{align*} 2 \end{align*} și coloana  \begin{align*} 3 \end{align*}, adică elementul  \begin{align*} -2. \end{align*}

  1. În cele ce urmează exemplificăm următoarele matrice, în funcție de elementele componente:

Matricea   \begin{align*} &B=\begin{pmatrix} 1 &2 & 4\\ 5& 7 &9 \\ 12& 0&4 \\ 4& 3 &6 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{4,3}(\mathbb{N})\end{align*} conține elemente numere naturale.

Fie matricea cu elementele numere întregi   \begin{align*} C=\begin{pmatrix} -2 & 4 &-5 &4 &-9 \\ 1& -7& 2& -4 & -3 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2,5}(\mathbb{Z}). \end{align*}

Matricea   \begin{align*} D=\begin{pmatrix} -\displaystyle\frac{1}{2} &-\displaystyle\frac{3}{4} &5 &\displaystyle\frac{3}{7} \\ \\ 2&-\displaystyle\frac{2}{3} &4 &-\displaystyle\frac{5}{9} \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{2,4}(\mathbb{Q}) \end{align*}  are elementele numere raționale.

O matrice cu elemente numere reale este matricea   \begin{align*} E=\begin{pmatrix} \sqrt{2} &0 &2 &-1 \\ \sqrt{3} &4 &-7 &4 \\ -\sqrt{7} &2\sqrt{5} &-\sqrt{6} &-\sqrt{7} \\ \sqrt{5}& -\sqrt{3} & \sqrt{10} &0 \\ -\sqrt{13}& \sqrt{2}& -\sqrt{11}& 0 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_5,4(\mathbb{R}). \end{align*}

Iar o matrice ale cărei elemente sunt numere complexe este matricea  \begin{align*} F=\begin{pmatrix} i &-i \\ 2+i &3 \\ 1-i& -7+3i \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{C}). \end{align*}

Observație:

Pentru că între mulțimile de numere cunoscute există relația de incluziune  \begin{align*} & \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} \end{align*}, între mulțimile matricelor cu elemente complexe, reale, raționale, întregi și naturale va exista relația de incluziune 

\begin{align*} & \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{N})\subset\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{Z})\subset\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{Q})\subset\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\subset\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C}). \end{align*}

Definiția M2: Matrice egale

Fie  A,B\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C}) două matrice, unde  \begin{align*} A=(a_{ij})_{\substack{ i=\overline{1,m} \\ j=\overline{1,n} }} ,\end{align*} respectiv  \begin{align*} B=(b_{ij})_{\substack{ i=\overline{1,m} \\ j=\overline{1,n} }}. \end{align*}

Matricele  \begin{align*} A \end{align*} și  \begin{align*} B \end{align*} sunt egale dacă au aceleași elemente și notăm  \begin{align*} A=B. \end{align*}

Matematic se notează: 

\begin{align*} A=B\Leftrightarrow a_{ij}=b_{ij},\ \forall\ i=\overline{1,m},\ \forall\ j=\overline{1,n} . \end{align*}

Exemple:

  1. Fie matricele  \begin{align*} A=\begin{pmatrix} 2 &3 \\ 7& 1 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R}) \end{align*} și   \begin{align*} B=\begin{pmatrix} 2 &3 \\ 7& 1 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{R}). \end{align*}

Atunci  \begin{align*} A=B\end{align*}, deoarece cele două matrice au aceleași elemente.

  1. Fie matricele  \begin{align*} A=\begin{pmatrix} 2-a& 1+b & 1+a\\ 3& 2-b & 4\\ 7& b-1 & 1 \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{3,3}(\mathbb{C}) \end{align*} și   \begin{align*} B=\begin{pmatrix} 3 &6 & 0\\ 3& -3& 4\\ 7& 4& 1 \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{3,3}(\mathbb{C}). \end{align*}

Determinați numerele reale  a și  b, astfel încât  A=B.

Rezolvare:

A=B \Rightarrow

\begin{align*} &\Rightarrow \begin{cases} 2-a=3\\ 1+b=6\\ 4a=0\\ 3=3\\ 2-b=-3\\ 4=4\\ 7=7\\ 4=b-1\\ 1=1 \end{cases}\\\\& \Leftrightarrow \begin{cases} 2-a=3\\ 1+b=6\\ 1+a=0\\ 2-b=-3\\ 4=b-1 \end{cases}\\\\ &\Leftrightarrow \begin{cases}-a=3-2\\ b=6-1\\ a=0-1\\ -b=-3-2\\ b=4+1 \end{cases}\\\\& \Leftrightarrow \begin{cases} -a=1\\ b=5\\ a=-1\\ -b=-5\\b=5 \end{cases} \\\\ &\Leftrightarrow \begin{cases}a=-1\\ b=5 \end{cases} \end{align*}

A=B \Leftrightarrow a=-1b=5.

Tipuri de matrice

Deoarece atât elementele unei matrice, cât și dimensiunile  m și  n ale acesteia se pot alege arbitrar, distingem următoarele tipuri de matrice particulare:

Definiția M3: Matricea linie

Matricea linie este matricea cu o singură linie și mai multe coloane, adică este de tipul   (a_{1j})_{j=\overline{1,n}}.

Se notează:   A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dotsc & a_{1n} \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{C}), \ n\in\mathbb{N}^\ast.

Exemple:

  • B=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3&4 \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_{1,4}(\mathbb{R}).
  • C=\begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{1,3}(\mathbb{R}).

Definiția M4: Matricea coloană

Matricea coloană este matricea cu o singură coloană și mai multe linii, adică de tipul   (a_{i1})_{i=\overline{1,m}}.

Se notează:   A=\begin{pmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{m1} \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{m,1}(\mathbb{C}), \ m\in\mathbb{N}^\ast.

Exemple:

  • B=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\\ 4 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{R}).
  • C=\begin{pmatrix} 7\\ -2\\ 0 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R}).

Definiția M5: Matricea nulă

Matricea nulă sau matricea zero este matricea cu toate elementele egale cu zero, adică   a_{ij}=0,\ \forall\ i=\overline{1,m}, \ \forall\ j=\overline{1,n}.

Se notează:   O_{m,n}=\begin{pmatrix} 0 & 0 &\dotsc &0 \\ 0& 0 & \dotsc & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0& 0 & \dotsc &0 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C}).

Exemple:

  • B=\begin{pmatrix} 0 &0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2,2}(\mathbb{C}).
  • C=\begin{pmatrix} 0 &0 &0&0\\ 0 & 0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3,4}(\mathbb{C}).

Definiția M6: Matricea pătratică

Matricea pătratică este matricea cu număr egal de linii și coloane   (m=n).

Mulțimea matricelor pătratice, cu elemente numere complexe, se notează prin  \mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{C}) sau  \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}).

Fie  A=(a_{ij})_{i,j=\overline{1,n}}\in\mathcal{M}_{n,n}(\mathbb{C}). 

Atunci   A=\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &\dotsc & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} &\dotsc & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1}&a_{n2} &\dots &a_{nn} \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) .

Exemple:

  • B=\begin{pmatrix} 2 & -2\\ 4& 5 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}).
  • C=\begin{pmatrix} 1&2 & 3\\ 7&9& 8\\ -1&0&4 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C}).

Definiția M7: Matricea unitate

Matricea unitate este matricea pătratică care are toate elementele de pe diagonala principală egale cu  1, iar în rest  0.

Se notează  I_{n,n} sau  I_{n}.

I_{n}=\begin{pmatrix} 1 &0 &\dots &0 \\ 0& 1 &\dots &0 \\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 0 &0 &\dots &1 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}).

Exemple:

  • I_{2}=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0&1 \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_2(\mathbb{C}).
  • I_{3}=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}).

Definiția M8: Matricea diagonală

Matricea diagonală este matricea pătratică cu toate elementele de pe diagonala principală nenule, iar în rest nule (egale cu zero).

Se notează   A=\begin{pmatrix} a_{11} &0 &\dots &0 \\ 0 &a_{22} &\dots &0 \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ 0 & 0 &\dots & a_{nn} \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}),\ a_{ii}\neq0,\ \forall\ i=\overline{1,n}.

Exemple:

  • B=\begin{pmatrix} -3 &0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{C}).
  • C=\begin{pmatrix} 4 &0 &0 \\ 0 & -6 &0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}).

Definiția M9: Matricea triunghiulară

Matricea triunghiulară  este de două tipuri:

  1. Matricea triunghiulară inferior este matricea pătratică care are toate elementele de deasupra diagonalei principale egale cu  0, iar restul elementelor nenule, adică   a_{ij}=0, \ j>i, \ i,j=\overline{1,n}.

Această matrice se notează astfel:

A=\begin{pmatrix} a_{11} & 0 &0 &\dotsc &0 \\ a_{21}&a_{22} &0 &\dots &0\\ a_{31}&a_{32} &a_{33} &\dots &0\\ \vdots& \vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\ a_{n1}& a_{n2}&a_{n2} &\dots &a_{nn} \end{pmatrix}.

  1. Matricea triunghiulară superior este matricea pătratică care are toate elementele de sub diagonala principală egale cu  0, iar restul elementelor nenule, adică   a_{ij}=0,\ j<i, \ \forall\ i,j=\overline{1,n}.

Notăm în mod general această matrice astfel:

\begin{align*} A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}&a_{13} &\dotsc &a_{1n} \\ 0&a_{22} &a_{23} &\dots &a_{2n}\\ 0&0 &a_{33} &\dots &a_{3n}\\ \vdots& \vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\ 0& 0&0 &\dots &a_{nn} \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}). \end{align*}

Exemple:

  • B=\begin{pmatrix} 2& 0 \\ -1&5 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{C}).(matrice triunghiulară inferior)
  • C=\begin{pmatrix} 1& 0&0 \\ 4&5&0\\ 7&9&-4 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_3(\mathbb{C}).(matrice triunghiulară inferior)
  • \begin{align*}B=\begin{pmatrix} 4&3 \\ 0 &-2\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}). \end{align*}(matrice triunghiulară superior)
  • \begin{align*} C=\begin{pmatrix} 1 & 4&5 \\ 0 &-2&7\\ 0&0&3 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C}). \end{align*}(matrice triunghiulară superior)