Inversa unei matrice
Definiția inversei unei matrice
Fie ,
o matrice pătratică de ordinul
și
matricea unitate de ordinul
.
Definiția M31: Matrice inversabilă și inversa unei matrice
Matricea este matrice inversabilă dacă există o matrice
astfel încât să aibă loc relația:
.
Matricea introdusă în definiția de mai sus se numește inversa matricei
și se notează
.
.
Definiția M32: Matrice nesingulară
O matrice se numește nesingulară dacă are determinantul nenul
. În caz contrar, adică dacă determinantul are valoarea
, matricea
se va numi matrice singulară.
Teorema M33
O matrice este inversabilă dacă și numai dacă ea este o matrice nesingulară.
Altfel spus, matricea este inversabilă dacă și numai dacă
.
Exemplu:
Se dă matricea . Să se verifice dacă matricea
este inversa matricei
.
Pentru a verifica dacă matricea este inversa matricei
, verificăm relația:
(
este matricea unitate de ordinul
).
Calculăm .
Calculăm .
Etapele de determinare a inversei unei matrice pătratice
Vom trata problema determinării inversei unei matrice pătratice de ordinul și respectiv de ordinul
.
a. Pentru .
Fie matricea .
1. Calculăm cu formula:
Dacă , adică
, atunci matricea
nu este inversabilă.
Dacă , atunci matricea
este inversabilă și se continuă procedeul de determinare a inversei acesteia.
2. Scriem transpusa matricei .
3. Construim matricea adjunctă a matricei , notată
.
, unde
4. Determinăm inversa matricei , folosind următoarea formulă:
.
Observație:
Atunci când calculăm elementele matricei adjunctă , vom înmulții pe
(în funcție de poziția elementului pe care îl calculăm) cu determinantul de ordinul
care rămâne după ce "tăiem" linia și coloana elementului curent din matricea transpusă
.
Exemplu:
Fie matricea pătratică de ordinul doi .
Calculăm inversa matricei folosind procedeul descris anterior.
1. Calculăm .
Rezultă că matricea este inversabilă.
2. Scriem transpusa matricei .
3. Construim matricea adjunctă .
4. Calculăm inversa matricei astfel:
Exercițiu: Verifică, utilizând relația , că matricea
determinată mai sus este inversa matricei
.
b. Pentru .
Fie matricea
1. Calculăm . Reamintim că:
Dacă (adică
), atunci matricea
nu este inversabilă.
Dacă , atunci matricea
este inversabilă și se continuă procedeul de determinare a inversei acesteia.
2. Scriem transpusa matricei .
3. Construim matricea adjunctă a matricei , notată
.
, unde
4. Determinăm inversa matricei , folosind următoarea formulă:
.
Observație:
Atunci când calculăm elementele matricei adjunctă , vom înmulții pe
(în funcție de poziția elementului pe care îl calculăm) cu determinantul de ordinul
care rămâne după ce "tăiem" linia și coloana elementului curent din matricea transpusă
.
Exemple:
1. Fie matricea pătratică de ordinul
.
Calculăm inversa matricei folosind procedeul descris anterior.
Mai întâi, verificăm dacă matricea este inversabilă, calculându-i determinantul.
Cum , rezultă că matricea
nu este inversabilă, deci nu ii putem afla inversa.
2. Fie matricea pătratică de ordinul
.
Calculăm inversa matricei folosind procedeul descris mai sus.
Calculăm .
Rezultă că este inversabilă.
Scriem transpusa matricei .
- Construim matricea adjunctă
.
, unde
Determinăm inversa matricei , folosind formula:
.
Exercițiu: Verifică, utilizând relația că matricea
determinată mai sus este inversa matricei
.