Inversa unei matrice

Definiția inversei unei matrice

Fie  A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})n\in\mathbb{N}^* o matrice pătratică de ordinul n și I_n matricea unitate de ordinul n.

Definiția M31: Matrice inversabilă și inversa unei matrice

Matricea A este matrice inversabilă dacă există o matrice B\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) astfel încât să aibă loc relația:

A\cdot B=B\cdot A=I_n.

Matricea B introdusă în definiția de mai sus se numește inversa matricei A și se notează B=A^{ -1}.

A\cdot A^{ -1}=A^{ -1}\cdot A=I_n.

Definiția M32: Matrice nesingulară

O matrice A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C}) se numește nesingulară dacă are determinantul nenul (\det A\ne 0). În caz contrar, adică dacă determinantul are valoarea 0, matricea A se va numi matrice singulară.

Teorema M33

O matrice este inversabilă dacă și numai dacă ea este o matrice nesingulară.

Altfel spus, matricea A este inversabilă dacă și numai dacă \det A\ne 0.

Exemplu:

Se dă matricea A=\begin{pmatrix} 3 &0 &1 \\ 0& 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C}). Să se verifice dacă matricea B=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{1}{3} &0 &-\displaystyle\frac{1}{3} \\ 0&\displaystyle \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C}) este inversa matricei A.

Pentru a verifica dacă matricea B este inversa matricei A, verificăm relația: A\cdot B=B\cdot A=I_3 (I_3 este matricea unitate de ordinul 3).

Calculăm A\cdot B.

\begin{align*} A\cdot B&=\begin{pmatrix} 3 &0 &1 \\ 0& 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \displaystyle\frac{1}{3} &0 &-\displaystyle\frac{1}{3} \\ 0&\displaystyle \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\\\ &=\begin{pmatrix} 3\cdot \displaystyle\frac{1}{3}+0\cdot 0+1\cdot 0 &3\cdot 0+0\cdot \displaystyle\frac{1}{2}+1\cdot 0 &3\cdot \Big(-\displaystyle\frac{1}{3}\Big)+0\cdot 0+1\cdot 1 \\\\ 0\cdot \displaystyle\frac{1}{3}+2\cdot 0+0\cdot 0 &0\cdot 0+2\cdot \displaystyle\frac{1}{2}+0\cdot 0 &0\cdot \Big(-\displaystyle\frac{1}{3}\Big)+2\cdot 0+0\cdot 1 \\\\ 0\cdot \displaystyle\frac{1}{3} +0\cdot 0+1\cdot 0 &0\cdot 0+0\cdot \displaystyle\frac{1}{2} +1\cdot 0 & 0\cdot \Big(-\displaystyle\frac{1}{3}\Big) +0\cdot 0+1\cdot 1 \end{pmatrix}\\\\ &=\begin{pmatrix} 1+0+0 &0+0+0 & -1+0+1\\ 0+0+0 & 0+1+0 &0+0+0 \\ 0+0+0 &0+0+0 & 0+0+0 \end{pmatrix}\\\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0&0 &1 \end{pmatrix}\\\\ &=I_3 \end{align*}

Calculăm B\cdot A.

\begin{align*} B\cdot A&=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{1}{3} &0 &-\displaystyle\frac{1}{3} \\ 0&\displaystyle \frac{1}{2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 &0 &1 \\ 0& 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\\\ &=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{1}{3}\cdot3+0\cdot 0+\Big(-\displaystyle\frac{1}{3}\Big)\cdot 0 &\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 0+0\cdot 2+\Big(-\displaystyle\frac{1}{3}\Big) &\displaystyle\frac{1}{3}\cdot 1+0\cdot 0+\Big(-\displaystyle\frac{1}{3}\Big)\cdot 1 \\ 0\cdot 3+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 0+0\cdot 0 &0\cdot 0+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 2+0\cdot 0 &0\cdot 1+\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 0+0\cdot 1 \\ 0\cdot 3+0\cdot 0+1\cdot 0& 0\cdot 0+0\cdot 2+1\cdot 0 &0\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot 1 \end{pmatrix}\\\\ &=\begin{pmatrix} 1+0-0 &0+0+0 &\displaystyle\frac{1}{3} +0-\displaystyle\frac{1}{3}\\ 0+0+0 & 0+1+0 & 0+0+0\\ 0+0+0 & 0+0+0 &0+0+1 \end{pmatrix}\\\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0&0 & 1 \end{pmatrix}\\\\ &=I_3 \end{align*}

\Rightarrow A\cdot B=B\cdot A=I_3

\Rightarrow B=A^{ -1}.

Etapele de determinare a inversei unei matrice pătratice

Vom trata problema determinării inversei unei matrice pătratice de ordinul 2 și respectiv de ordinul 3.

  1. Pentru n=2.

Fie matricea  A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C}).

  1. Calculăm \det A cu formula:

\det A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix}=a_{11} a_{22}-a_{12}a_{21}

Dacă  \det A=0, adică a_{11} a_{22}-a_{12}a_{21}=0, atunci matricea A nu este inversabilă.

Dacă  \det A\ne 0, atunci matricea A este inversabilă și se continuă procedeul de determinare a inversei acesteia.

  1. Scriem transpusa matricei A.

^tA=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21}\\ a_{12}& a_{22} \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{C})

  1. Construim matricea adjunctă a matricei A, notată A^*.

A^*=\begin{pmatrix} a &b \\ c& d \end{pmatrix}, unde

\begin{align*} &a=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a_{22} \end{vmatrix}\\\\ &b=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} a_{12} \end{vmatrix}\\\\ &c=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a_{21} \end{vmatrix}\\\\ &d=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} a_{11} \end{vmatrix}\\ \end{align*}

  1. Determinăm inversa matricei A, folosind următoarea formulă:

A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot A^*.

Observație:

Atunci când calculăm elementele matricei adjunctă A^*, vom înmulții pe (-1)^{i+j} (în funcție de poziția elementului pe care îl calculăm) cu determinantul de ordinul 1 care rămâne după ce "tăiem" linia și coloana elementului curent din matricea transpusă ^tA.

Exemplu:

Fie matricea pătratică de ordinul 2 A=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3& 8 \end{pmatrix}.

Calculăm inversa matricei A  folosind procedeul descris anterior.

  1. Calculăm \det A.

\begin{align*} \det A&=\begin{vmatrix} 1 &2 \\ 3& 8 \end{vmatrix}\\ &=1\cdot 8-3\cdot 2\\ &=8-6\\ &=2 \end{align*}

\begin{align*} &2\ne 0\Rightarrow\\&\Leftrightarrow \det A\ne 0 \end{align*}

Rezultă că matricea \begin{align*} A \end{align*} este inversabilă.

  1. Scriem transpusa matricei A.

^tA=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 2& 8 \end{pmatrix}

  1. Construim matricea adjunctă A^*.

A^*=\begin{pmatrix} a &b \\ c& d \end{pmatrix}

\begin{align*} a&=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 8 \end{vmatrix}\\ &=(-1)^2\cdot 8\\ &=1\cdot 8\\ &=8 \end{align*}

\begin{align*} b&=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix}\\ &=(-1)^3\cdot 2\\ &=(-1)\cdot 2\\ &=-2 \end{align*}

\begin{align*} c&=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix}\\ &=(-1)^3\cdot 3\\ &=(-1)\cdot 3\\ &=-3 \end{align*}

\begin{align*} d&=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix}\\ &=(-1)^4\cdot 1\\ &=1\cdot 1\\ &=1 \end{align*}

\Rightarrow A^*=\begin{pmatrix} 8 &-2 \\ -3& 1 \end{pmatrix}

  1. Calculăm inversa matricei A astfel:

\begin{align*} A^{-1}&=\frac{1}{\det A}\cdot A^*\\\\ &=\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix} 8 & -2\\ -3& 1 \end{pmatrix}\\\\ &=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{1}{2}\cdot 8 &\displaystyle\frac{1}{2}\cdot (-2)\\ \displaystyle\frac{1}{2}\cdot (-3)&\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1 \end{pmatrix}\\\\ &=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ - \displaystyle\frac{3}{2}& \displaystyle\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow A^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & -1\\ - \displaystyle\frac{3}{2}& \displaystyle\frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{align*}

Exercițiu: Verifică, utilizând relația \begin{align*} A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_2 \end{align*} , că matricea \begin{align*} A^{-1} \end{align*} determinată mai sus este inversa matricei \begin{align*} A \end{align*}.

  1. Pentru n=3.

Fie matricea  A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}&a_{23}\\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{3}(\mathbb{C}).

  1. Calculăm \det A. Reamintim că:

\begin{align*} \det A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}&a_{23}\\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &=a_{11}a_{22} a_{33}+a_{13}a_{21}a_{32}+a_{12}a_{23}a_{31}-\\&-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}. \end{align*}

Dacă  \det A=0 (adică a_{11} a_{22}-a_{12}a_{21}=0), atunci matricea A nu este inversabilă.

Dacă \det A\ne 0, atunci matricea A este inversabilă și se continuă procedeul de determinare a inversei acesteia.

  1. Scriem transpusa matricei A.

^tA=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{21}& a_{31}\\ a_{12}& a_{22}&a_{32}\\ a_{13}& a_{23} & a_{33} \end{pmatrix}

  1. Construim matricea adjunctă a matricei A, notată A^*.

A^*=\begin{pmatrix} a & b &c \\ d &e &f \\ g& h & i \end{pmatrix}, unde

a=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{32}\\ a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}

b=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{32}\\ a_{13} & a_{33} \end{vmatrix}

c=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} a_{12} & a_{22}\\ a_{13} & a_{23} \end{vmatrix}

d=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{31}\\ a_{23} & a_{33} \end{vmatrix}

e=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{31}\\ a_{13} & a_{33} \end{vmatrix}

f=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21}\\ a_{13} & a_{23} \end{vmatrix}

g=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{31}\\ a_{22} & a_{32} \end{vmatrix}

h=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{31}\\ a_{12} & a_{32} \end{vmatrix}

i=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} a_{11} & a_{21}\\ a_{12} & a_{22} \end{vmatrix}

  1. Determinăm inversa matricei A, folosind următoarea formulă:

A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot A^*.

Observație:

Atunci când calculăm elementele matricei adjunctă A^*, vom înmulții pe (-1)^{i+j} (în funcție de poziția elementului pe care îl calculăm) cu determinantul de ordinul 2 care rămâne după ce "tăiem" linia și coloana elementului curent din matricea transpusă ^tA.

Exemple:

  1. Fie matricea pătratică de ordinul 3 A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ -1 &0 &-1 \\ 3 &4 &7 \end{pmatrix}.

Calculăm inversa matricei A folosind procedeul descris anterior.

Mai întâi, verificăm dacă matricea este inversabilă, calculându-i determinantul.

\begin{align*} \det A&=\begin{vmatrix} 1 &2 &3 \\ -1 &0 &-1 \\ 3 &4 &7 \end{vmatrix}\\ &=1\cdot 0\cdot 7+(-1)\cdot 3\cdot 4+2\cdot (-1)\cdot 3-\\ &-3\cdot 0\cdot 3-2\cdot (-1)\cdot 7-(-1)\cdot 1\cdot 1\\ &=0-12-6-0+14+4\\ &=0 \end{align*}

Cum \begin{align*} \det A=0 \end{align*}, rezultă că matricea A nu este inversabilă, deci nu ii putem afla inversa.

  1. Fie matricea pătratică de ordinul 3 \begin{align*} A=\begin{pmatrix} 1 &-1 &1 \\ 2 & 0 &3 \\ 1&1 &-2 \end{pmatrix} \end{align*}.

Calculăm inversa matricei A  folosind procedeul descris mai sus.

  1. Calculăm \det A.

\begin{align*} \det A&=\begin{vmatrix} 1 &-1 &1 \\ 2 & 0 &3 \\ 1&1 &-2 \end{vmatrix}\\ &=1\cdot 0\cdot (-2)+2\cdot 1\cdot 1+(-1)\cdot 3\cdot 1-\\ &-1\cdot 0\cdot 1-(-1)\cdot 2\cdot (-2)-3\cdot 1\cdot 1\\ &=0+2-3-0-4-3\\ &=-8 \end{align*}

\begin{align*} -8\ne 0\Rightarrow \det A\ne 0 \end{align*}

Rezultă că \begin{align*} A \end{align*} este inversabilă.

  1. Scriem transpusa matricei A.

\begin{align*} ^tA=\begin{pmatrix} 1 & 2 &1 \\ -1 &0 & 1\\ 1& 3&-2 \end{pmatrix} \end{align*}

  1. Construim matricea adjunctă A^*.

A^*=\begin{pmatrix} a & b &c \\ d &e &f \\ g& h & i \end{pmatrix}, unde

\begin{align*} a&=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 0 &1 \\ 3 &-2 \end{vmatrix}\\ &=(-1)^2\cdot [0\cdot (-2)-1\cdot 3]\\ &=1\cdot (0-3)\\ &=1\cdot (-3)\\ &=-3 \end{align*}

\begin{align*} b&=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} -1 &1 \\ 1 &-2 \end{vmatrix}\\ &=(-1)^3\cdot [(-1)\cdot (-2)-1\cdot 1]\\ &=(-1)\cdot (2-1)\\ &=(-1)\cdot 1\\ &=-1 \end{align*}

\begin{align*} c&=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} -1 &0 \\ 1 &3 \end{vmatrix}\\ &=(-1)^4\cdot [(-1)\cdot 3-1\cdot 0]\\ &=1\cdot (-3-0)\\ &=1\cdot (-3)\\ &=-3\end{align*}

\begin{align*} d&=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 3 &-2 \end{vmatrix}\\ &=(-1)^3\cdot [(-2)\cdot 2-1\cdot 3]\\ &=(-1)\cdot (-4-3)\\ &=(-1)\cdot (-7)\\ &=7 \end{align*}

\begin{align*} e&=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 &1 \\ 1 &-2 \end{vmatrix}\\ &=(-1)^4\cdot [(-2)\cdot 1-1\cdot 1]\\ &=1\cdot (-2-1)\\ &=1\cdot (-3)\\ &=-3 \end{align*}

\begin{align*} f&=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 1 &2 \\ 1 &3 \end{vmatrix}\\ &=(-1)^5\cdot (1\cdot 3-1\cdot 2)\\ &=(-1)\cdot (3-2)\\ &=(-1)\cdot 1\\ &=-1 \end{align*}

\begin{align*} g&=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}\\ &=(-1)^4(2\cdot 1-0\cdot 1)\\ &=1\cdot (2-0)\\ &=1\cdot 2\\ &=2 \end{align*}

\begin{align*} h&=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 1 &1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}\\ &=(-1)^5[1\cdot 1-(-1)\cdot 1]\\ &=(-1)\cdot (1+1)\\ &=(-1)\cdot 2\\ &=-2 \end{align*}

\begin{align*} i&=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 1 &2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}\\ &=(-1)^6[1\cdot 0-(-1)\cdot 2]\\ &=1\cdot (0+2)\\ &=1\cdot 2\\ &=2 \end{align*}

\Rightarrow A^*=\begin{pmatrix} -3 & -1 &-3 \\ 7& -3& -1\\ 2& -2 & 1 \end{pmatrix}

  1. Determinăm inversa matricei A, folosind formula:

A^{-1}=\frac{1}{\det A}\cdot A^*.

\begin{align*} \Rightarrow A^{-1}&=\frac{1}{-8}\cdot\begin{pmatrix} -3 & -1 &-3 \\ 7& -3& -1\\ 2& -2 & 2 \end{pmatrix}\\\\ &=\begin{pmatrix} \Big(-\displaystyle\frac{1}{8}\Big)\cdot (-3) &\Big(-\displaystyle\frac{1}{8}\Big)\cdot (-1) &\Big(-\displaystyle\frac{1}{8}\Big)\cdot (-3) \\ \\ \Big(-\displaystyle\frac{1}{8}\Big)\cdot 7&\Big(-\displaystyle\frac{1}{8}\Big)\cdot (-3)&\Big(-\displaystyle\frac{1}{8}\Big)\cdot ( -1)\\ \\ \Big(-\displaystyle\frac{1}{8}\Big)\cdot 2&\Big(-\displaystyle\frac{1}{8}\Big)\cdot (-2) &\Big(-\displaystyle\frac{1}{8}\Big)\cdot 2 \end{pmatrix}\\\\ &=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{3}{8} & \displaystyle\frac{1}{8}&\displaystyle\frac{3}{8} \\ \\ -\displaystyle\frac{7}{8} & \displaystyle\frac{3}{8} &\displaystyle\frac{1}{8} \\ \\ -\displaystyle\frac{1}{4}& \displaystyle\frac{1}{4} & -\displaystyle\frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow A^{-1}=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{3}{8} & \displaystyle\frac{1}{8}&\displaystyle\frac{1}{2} \\ \\ -\displaystyle\frac{7}{8} & \displaystyle\frac{3}{8} &\displaystyle\frac{1}{8} \\ \\ -\displaystyle\frac{1}{4}& \displaystyle\frac{1}{4} & -\displaystyle\frac{1}{4} \end{pmatrix}. \end{align*}

Exercițiu: Verifică, utilizând relația  \begin{align*} A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I_3 \end{align*}  că matricea  \begin{align*} A^{-1} \end{align*}  determinată mai sus este inversa matricei \begin{align*} A \end{align*}.