Proprietățile logaritmilor

Folosind proprietăţile puterilor cu exponenţi reali: $a^{x}\cdot a^y=a^{x+y}, \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}, (a^x)^y =a^{x\cdot y}$ şi pentru orice $a>0,\ a\neq 1$ avem următoarele proprietăți ale logaritmilor:

Proprietatea L2: Logaritmul numărului 1 și logaritmul în care x = a

Dacă $a> 0,a\neq 1,$ atunci au loc relațiile: $\log_aa=1$ și $\log_a1=0.$

Demonstrație:

Pentru $\log_a1=0,$ folosim faptul că ceea ce este echivalent cu $\log_a1=0$ , conform Definiției L1: Definiția logaritmului unui număr pozitiv x.
Pentru $\log_aa=1,$ folosim relația ceea ce este echivalent cu $\log_aa=1$ din definiţia logaritmului.

Exemple:

$\log_31=0;$
$\log_55=1;$
$\log_2{5^0}=\log_21=0.$

Proprietatea L3: Logaritmul puterii

Dacă $x>0,\ m\in\mathbb{R},\ a>0,\ a\neq 1,$ atunci: $\log_a{x^m}=m\cdot\log_ax$ (logaritmul puterii unui număr este egal cu produsul dintre exponentul puterii şi logaritmul numărului).

Demonstrație:

Notăm $\log_ax=n,$ ceea este echivalent cu a^n=x.

Așadar, avem că $x^m=(a^n)^m=a^{m\cdot n}.$

Logaritmăm expresia de mai sus şi obţinem:

$\begin{align*} \log_a{x^m}&=\log_a{a^{m\cdot n}}\\\\&\overset{L3}{=}m\cdot n\cdot \log_aa\\\\&\overset{L2}{=}m\cdot n\cdot 1\\\\&=m\cdot n\\\\&=m\cdot \log_ax \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_a{x^m}&=m\cdot \log_ax. \end{align*}$

Observații:

Dacă $\begin{align*}m=2k, \ k\in \mathbb{Z}, \end{align*}$ atunci $\log_a{x^{2k}}=2k\cdot\log_a \left |x \right |.$
Dacă $\begin{align*}m=\frac{1}{n}, \ n\in \mathbb{N}^\ast, \ n\geq 2,\end{align*}$ atunci $\log_a{\sqrt[n]{x}}=\frac{1}{n}\cdot\log_a x.$

Exemplu:

Să se calculeze logaritmii următori folosind Proprietatea L3:

$\begin{align*} \log_5{36}; \end{align*}$
$\begin{align*} \log_3{\sqrt{16}}. \end{align*}$

Rezolvare:

Calculăm $\begin{align*} \log_5{36}, \end{align*}$ folosind formula din prima observație:

$\begin{align*} \log_5{36}&= \log_5{6^2} \\ &=2\cdot \log_56 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_5{36}&=2\cdot \log_56. \end{align*}$

Calculăm $\begin{align*} \log_3{\sqrt{16}}. \end{align*}$

Metoda I

$\begin{align*} \log_3{\sqrt{16}}&= \log_34 \\ &=\log_3{2^2} \\ &=2\cdot\log_32 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_3{\sqrt{16}}&=2\cdot\log_32. \end{align*}$

Metoda II (folosind formula dată de cea de-a doua observație)

$\begin{align*} \log_3{\sqrt{16}}&=\frac{1}{2}\cdot \log_3 16\\ \\&=\frac{1}{2}\cdot \log_3 4^2\\ \\&=\frac{1}{2}\cdot2\cdot \log_3 4 \\\\ &=1\cdot \log_3{2^2} \\\\ &=2\cdot\log_32 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_3{\sqrt{16}}&=2\cdot\log_32. \end{align*}$

Proprietatea L4: Logaritmul produsului

Dacă $x,y> 0,\ a> 0,\ a\neq 1,$ atunci avem relația $\log_{a}xy =\log_ax+\log_ay$ (logaritmul produsului a două numere este egal cu suma logaritmilor celor două numere).

Demonstrație:

Vom nota $\log_ax=m$ și $\log_ay=n.$ Aplicăm definiţia logaritmului unui număr pozitiv şi obţinem:

$\begin{align*} \log_ax&=m \Leftrightarrow a^m=x \end{align*}$

și

$\begin{align*} \log_ay&=n \Leftrightarrow a^n=y. \end{align*}$

Din proprietăţile puterilor avem: $\begin{align*} a^m\cdot a^n=a^{m+n}=x\cdot y. \end{align*}$

Atunci

$\begin{align*} \log_a{x\cdot y}&=\log_a{a^{m+n}}\\\\&\overset{L3}{=}(m+n)\cdot \log_aa\\\\&\overset{L2}{=}(m+n)\cdot 1\\\\&=m+n\\\\&=\log_ax+\log_ay \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_a{x\cdot y}&=\log_ax+\log_ay. \end{align*}$

Exerciții rezolvate:

Să se calculeze, folosind Proprietatea L4, următorii logaritmi:

$\begin{align*} \log_34+\log_35; \end{align*}$
$\begin{align*} \log_23+\log_25+\log_27. \end{align*}$

Rezolvare:

Folosind Proprietatea L4 obţinem:

$\begin{align*} \log_34+\log_35&= \log_3{4\cdot 5} \\ &=\log_3{20} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_34+\log_35&=\log_3{20}. \end{align*}$

Conform Proprietății L4 avem:

$\begin{align*} \log_23+\log_25+\log_27&=\log_2{3\cdot 5}+\log_27\\&=\log_215+\log_27\\&=\log_2 {15\cdot 7}\\&=\log_2{105} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_23+\log_25+\log_27&=\log_2{105}. \end{align*}$

Observație:

Această proprietate, se poate scrie în mod general astfel:

$\log_{a}(A_{1}\cdot A_{2}\cdot...\cdot A_{n})=\log_{a}A_1+\log_{a}A_2+\log_{a}A_1,$ oricare ar fi $i=\overline{1,n};$

Astfel, cel de-al doilea exercițiu de mai sus, se poate calcula și astfel, folosind formula dată de observație:

$\begin{align*}\log_23+\log_25+\log_27&=\log_2{3\cdot 5\cdot 7}\\&=\log_2{105} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_23+\log_25+\log_27&=\log_2{105}. \end{align*}$

Proprietatea L5: Logaritmul câtului

Dacă $\begin{align*} x,y>0, a>0, a\neq 1, \end{align*}$ atunci avem: $\begin{align*} \log_a{\frac{x}{y}}=\log_ax-\log_ay \end{align*}$ (logaritmul câtului dintre două numere este egal cu diferenţa dintre logaritmul numărătorului şi logaritmul numitorului).

Demonstrație:

Din Proprietatea L3 avem:

$\begin{align*} \log_a x&=\log_a{\frac{x}{y}\cdot y}\\\\&\overset{L4}{=}\log_a{\frac{x}{y}}+\log_a y \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_a x&=\log_a{\frac{x}{y}}+\log_a y \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow\log_a{\frac{x}{y}}= \log_a x&-\log_a y. \end{align*}$

Observații:

Dacă $\begin{align*} xy> 0, \end{align*}$ atunci $\begin{align*} \log_a{\frac{x}{y}}=\log_a\left |x \right |-\log_a\left |y \right |. \end{align*}$
Fie $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ și $\begin{align*} \log_a1=0. \end{align*}$

Atunci avem:

$\begin{align*} \log_a{\frac{1}{y}}&=\log_a{1\cdot \frac{1}{y}}\\\\&=\log_a1+\log_a{\frac{1}{y}}\\\\&=0+\log_a{y^{-1}}\\\\&=-1\cdot \log_ay\\\\&=-\log_ay \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_a{\frac{1}{y}}&=-\log_ay. \end{align*}$

Folosind observația 2, mai putem demonstra Proprietatea L5, pentru $\begin{align*} x,y> 0 \end{align*}$ , astfel:

$\begin{align*} \log_a{\frac{x}{y}}&=\log_a{x\cdot\frac{1}{y}}\\\\&=\log_ax+\log_a{\frac{1}{y}}\\\\&=\log_ax-\log_ay \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_a{\frac{x}{y}}&=\log_ax-\log_ay. \end{align*}$

Exemplu:

Să se calculeze următorii logaritmi, folosind Proprietatea L5:

$\log_5{18}-\log_56;$
$\log_3{14}-\log_37-\log_32.$

Rezolvare:

Aplicând Proprietatea L5 avem:

$\begin{align*}\log_5{18}-\log_56&=\log_5{\frac{18}{6}}\\\\&=\log_53 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_5{18}-\log_56&=\log_53. \end{align*}$

Folosind Proprietatea L5 obținem:

$\begin{align*} \log_3{14}-\log_37-\log_32 &=\log_3{\frac{14}{7}}-\log_32 \\\\ &=\log_32-\log_32 \\\\ &=\log_3{\frac{2}{2}} \\ \\&=\log_31\\ \\ &=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_3{14}-\log_37-\log_32=0. \end{align*}$

Proprietatea L6: Formula de schimbare a bazei

Dacă $\begin{align*}x>0,\ a,b>0,\ a\neq 1,\ b\neq1,\end{align*}$ atunci avem următoarea relație:

$\begin{align*} \log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}, \end{align*}$

numită formula de schimbare a bazei.

Demonstrație:

Notăm $\begin{align*} \log_ax=m \end{align*}$ și $\begin{align*} \log_bx=n. \end{align*}$

Din definiţia logaritmului unui număr pozitiv avem relațiile: $\begin{align*} a^m=x \end{align*}$ și $\begin{align*} b^n=x, \end{align*}$ ceea ce este echivalent cu $\begin{align*} a^m=b^n. \end{align*}$

Trecem la logaritm şi obținem:

$\begin{align*} &\log_a{a^m}=\log_a{b^n} \\\\ &\Leftrightarrow m\log_a a=n\log_a b \\\\&\Leftrightarrow m=n\log_ab, \end{align*}$

adică

$\begin{align*} \log_ax&=\log_bx\cdot\log_ab\ \ \ (1) \end{align*}$

Luăm $\begin{align*} x=a \end{align*}$ și vom obţine:

$\begin{align*} &\log_a a=\log_ba\cdot\log_ab \\\\ &\Leftrightarrow 1=\log_ba\cdot\log_ab\\\\ &\Leftrightarrow \log_ab=\frac{1}{\log_ba} . \end{align*}$

Înlocuim în relaţia (1) $\begin{align*}\log_ab \end{align*}$ cu $\begin{align*}\frac{1}{\log_ba} \end{align*}$ și astfel obţinem:

$\begin{align*} &\log_ax=\log_bx\cdot\frac{1}{\log_ba} \\\\&\Leftrightarrow \log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}. \end{align*}$

Observații:

Pentru a reţine mai uşor formula de schimbare a bazei logaritmului, se observă în figura de mai jos că în membrul drept este câtul dintre logaritmi în noua bază, având ca argumente pe $\begin{align*} x \end{align*}$ şi respectiv baza veche a logaritmului:

În demonstrația de mai sus, am stabilit următorul rezultat, care ne este util în aplicații:

Proprietatea L7: O altă formulă de schimbare a bazei

Dacă $\begin{align*}a,b>0,\ a\neq 1,\ b\neq1,\end{align*}$ atunci avem următoarea relație $\begin{align*} \log_ba=\frac{1}{\log_ab}. \end{align*}$

Alte formule care îți vor fi utile în rezolvarea exercițiilor sunt următoarele:
1. dacă $\begin{align*} x> 0,\ a> 0,\ a\neq 1,\ \alpha ,\beta \in\mathbb{R},\ \beta \neq 0, \end{align*}$ atunci: $\begin{align*} \log_{a^\beta }{x^\alpha }=\frac{\alpha }{\beta } \cdot \log_{a}{x };\end{align*}$
2. dacă $\begin{align*} x,y> 0,\ y\neq 1,\ a,b> 0,\ a\neq 1,\ b \neq 1, \end{align*}$ atunci: $\begin{align*} \frac{\log_{a}{x }}{\log_{a}{y }}= \frac{\log_{b}{x }}{\log_{b}{y }}; \end{align*}$
3. dacă $\begin{align*} a,b,c> 0,\ a\neq 1, \end{align*}$ atunci: $\begin{align*} b^{\log_a c}=c^{\log_a b}. \end{align*}$

Exerciții rezolvate, folosind formula de schimbare a bazei:

Să se transforme următorii logaritmi folosind formulele de schimbare a bazei:

$\begin{align*} \log_73 \end{align*}$ în baza $\begin{align*} 3 ; \end{align*}$
$\begin{align*} \log_4{13} \end{align*}$ în baza $\begin{align*}5. \end{align*}$

Rezolvare:

Schimbăm baza, folosind formula de schimbare a bazei (Proprietatea L6):

$\begin{align*} \log_73&= \frac{\log_33}{\log_37} \\\\ &=\frac{1}{\log_37} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \log_73&=\frac{1}{\log_37}. \end{align*}$

Schimbăm baza, folosind Proprietatea L6 :

$\begin{align*} \log_4{13}=\frac{\log_5{13}}{\log_54}. \end{align*}$

În concluzie, pentru a putea rezolva exercițiile cu logaritmi, ai nevoie de următoarele formule:

$\log_aa=1,\ \log_a1=0;$
$\log_{a}xy =\log_ax+\log_ay$ , unde
$\log_{a}(x_{1}\cdot x_{2}\cdot...\cdot x_{n})=\log_{a}x_1+\log_{a}x_2+...+\log_{a}x_n$ , oricare ar fi $i=\overline{1,n};$
$\begin{align*} \log_a{\frac{x}{y}}=\log_ax-\log_ay \end{align*}$ , unde $\begin{align*} x,y>0, a>0; \end{align*}$
$\log_a{x^m}=m\cdot\log_ax$ unde
$a^{\log_ax}=x,$ unde
$\log_{a}a^x=x,$ cu
$a^{\log_bc}=c^{\log_ba},$ unde $b>0, \ b\neq 1$ și