Proprietățile logaritmilor

Folosind proprietăţile puterilor cu exponenţi reali: a^{x}\cdot a^y=a^{x+y}, \frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}, (a^x)^y =a^{x\cdot y} şi pentru orice a>0,\ a\neq 1 avem următoarele proprietăți ale logaritmilor:

Proprietatea L2: Logaritmul numărului 1 și logaritmul în care x = a

Dacă a> 0,a\neq 1, atunci au loc relațiile: \log_aa=1 și \log_a1=0.

Demonstrație:

  • Pentru \log_a1=0, folosim faptul că a^0=1, ceea ce este echivalent cu \log_a1=0, conform Definiției L1: Definiția logaritmului unui număr pozitiv x. 
  • Pentru \log_aa=1, folosim relația a^1=a, ceea ce este echivalent cu \log_aa=1 din definiţia logaritmului.

Exemple:

  1. \log_31=0;
  2. \log_55=1;
  3. \log_2{5^0}=\log_21=0.

Proprietatea L3: Logaritmul puterii

Dacă  x>0,\ m\in\mathbb{R},\ a>0,\ a\neq 1, atunci:  \log_a{x^m}=m\cdot\log_ax (logaritmul puterii unui număr este egal cu produsul dintre exponentul puterii şi logaritmul numărului).

Demonstrație:

Notăm \log_ax=n, ceea este echivalent cu a^n=x. 

Așadar, avem că x^m=(a^n)^m=a^{m\cdot n}.

Logaritmăm expresia de mai sus şi obţinem:

\begin{align*} \log_a{x^m}&=\log_a{a^{m\cdot n}}\\\\&\overset{L3}{=}m\cdot n\cdot \log_aa\\\\&\overset{L2}{=}m\cdot n\cdot 1\\\\&=m\cdot n\\\\&=m\cdot \log_ax \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_a{x^m}&=m\cdot \log_ax. \end{align*}

Observații:

  • Dacă \begin{align*}m=2k, \ k\in \mathbb{Z}, \end{align*} atunci \log_a{x^{2k}}=2k\cdot\log_a \left |x \right |.
  • Dacă \begin{align*}m=\frac{1}{n}, \ n\in \mathbb{N}^\ast, \ n\geq 2,\end{align*} atunci \log_a{\sqrt[n]{x}}=\frac{1}{n}\cdot\log_a x.

Exemplu:

Să se calculeze logaritmii următori folosind Proprietatea L3:

  1. \begin{align*} \log_5{36}; \end{align*}
  2. \begin{align*} \log_3{\sqrt{16}}. \end{align*}

Rezolvare:

  1. Calculăm \begin{align*} \log_5{36}, \end{align*} folosind formula din prima observație:

\begin{align*} \log_5{36}&= \log_5{6^2} \\ &=2\cdot \log_56 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_5{36}&=2\cdot \log_56. \end{align*}

  1. Calculăm \begin{align*} \log_3{\sqrt{16}}. \end{align*}

Metoda I

\begin{align*} \log_3{\sqrt{16}}&= \log_34 \\ &=\log_3{2^2} \\ &=2\cdot\log_32 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_3{\sqrt{16}}&=2\cdot\log_32. \end{align*}

Metoda II (folosind formula dată de cea de-a doua observație)

\begin{align*} \log_3{\sqrt{16}}&=\frac{1}{2}\cdot \log_3 16\\ \\&=\frac{1}{2}\cdot \log_3 4^2\\ \\&=\frac{1}{2}\cdot2\cdot \log_3 4 \\\\ &=1\cdot \log_3{2^2} \\\\ &=2\cdot\log_32 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_3{\sqrt{16}}&=2\cdot\log_32. \end{align*}

Proprietatea L4: Logaritmul produsului

Dacă x,y> 0,\ a> 0,\ a\neq 1, atunci avem relația \log_{a}xy =\log_ax+\log_ay (logaritmul produsului a două numere este egal cu suma logaritmilor celor două numere).

Demonstrație:

Vom nota \log_ax=m și \log_ay=n. Aplicăm definiţia logaritmului unui număr pozitiv şi obţinem:

\begin{align*} \log_ax&=m \Leftrightarrow a^m=x \end{align*}

și

\begin{align*} \log_ay&=n \Leftrightarrow a^n=y. \end{align*}

Din proprietăţile puterilor avem: \begin{align*} a^m\cdot a^n=a^{m+n}=x\cdot y. \end{align*}

Atunci

\begin{align*} \log_a{x\cdot y}&=\log_a{a^{m+n}}\\\\&\overset{L3}{=}(m+n)\cdot \log_aa\\\\&\overset{L2}{=}(m+n)\cdot 1\\\\&=m+n\\\\&=\log_ax+\log_ay \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_a{x\cdot y}&=\log_ax+\log_ay. \end{align*}

Exerciții rezolvate:

Să se calculeze, folosind Proprietatea L4, următorii logaritmi:

  1. \begin{align*} \log_34+\log_35; \end{align*}
  2. \begin{align*} \log_23+\log_25+\log_27. \end{align*}

Rezolvare:

  1. Folosind Proprietatea L4 obţinem:

\begin{align*} \log_34+\log_35&= \log_3{4\cdot 5} \\ &=\log_3{20} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_34+\log_35&=\log_3{20}. \end{align*}

  1. Conform Proprietății L4 avem:

\begin{align*} \log_23+\log_25+\log_27&=\log_2{3\cdot 5}+\log_27\\&=\log_215+\log_27\\&=\log_2 {15\cdot 7}\\&=\log_2{105} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_23+\log_25+\log_27&=\log_2{105}. \end{align*}

Observație:

Această proprietate, se poate scrie în mod general astfel:

\log_{a}(A_{1}\cdot A_{2}\cdot...\cdot A_{n})=\log_{a}A_1+\log_{a}A_2+\log_{a}A_1, oricare ar fi i=\overline{1,n};

Astfel, cel de-al doilea exercițiu de mai sus, se poate calcula și astfel, folosind formula dată de observație:

\begin{align*}\log_23+\log_25+\log_27&=\log_2{3\cdot 5\cdot 7}\\&=\log_2{105} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_23+\log_25+\log_27&=\log_2{105}. \end{align*}

Proprietatea L5: Logaritmul câtului

Dacă \begin{align*} x,y>0, a>0, a\neq 1, \end{align*} atunci avem: \begin{align*} \log_a{\frac{x}{y}}=\log_ax-\log_ay \end{align*} (logaritmul câtului dintre două numere este egal cu diferenţa dintre logaritmul numărătorului şi logaritmul numitorului).

Demonstrație:

Din Proprietatea L3 avem: 

\begin{align*} \log_a x&=\log_a{\frac{x}{y}\cdot y}\\\\&\overset{L4}{=}\log_a{\frac{x}{y}}+\log_a y \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_a x&=\log_a{\frac{x}{y}}+\log_a y \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow\log_a{\frac{x}{y}}= \log_a x&-\log_a y. \end{align*}

Observații:

  1. Dacă \begin{align*} xy> 0, \end{align*} atunci \begin{align*} \log_a{\frac{x}{y}}=\log_a\left |x \right |-\log_a\left |y \right |. \end{align*}
  2. Fie \begin{align*} x=1 \end{align*} și\begin{align*} \log_a1=0. \end{align*}

Atunci avem:

\begin{align*} \log_a{\frac{1}{y}}&=\log_a{1\cdot \frac{1}{y}}\\\\&=\log_a1+\log_a{\frac{1}{y}}\\\\&=0+\log_a{y^{-1}}\\\\&=-1\cdot \log_ay\\\\&=-\log_ay \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_a{\frac{1}{y}}&=-\log_ay. \end{align*}

Folosind observația 2, mai putem demonstra Proprietatea L5, pentru \begin{align*} x,y> 0 \end{align*}, astfel:

\begin{align*} \log_a{\frac{x}{y}}&=\log_a{x\cdot\frac{1}{y}}\\\\&=\log_ax+\log_a{\frac{1}{y}}\\\\&=\log_ax-\log_ay \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_a{\frac{x}{y}}&=\log_ax-\log_ay. \end{align*}

Exemplu:     

Să se calculeze următorii logaritmi, folosind Proprietatea L5:

  1. \log_5{18}-\log_56;
  2. \log_3{14}-\log_37-\log_32.

Rezolvare: 

  1. Aplicând Proprietatea L5 avem:

\begin{align*}\log_5{18}-\log_56&=\log_5{\frac{18}{6}}\\\\&=\log_53 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_5{18}-\log_56&=\log_53. \end{align*}

  1. Folosind Proprietatea L5 ​obținem:

\begin{align*} \log_3{14}-\log_37-\log_32 &=\log_3{\frac{14}{7}}-\log_32 \\\\ &=\log_32-\log_32 \\\\ &=\log_3{\frac{2}{2}} \\ \\&=\log_31\\ \\ &=0 \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_3{14}-\log_37-\log_32=0. \end{align*}

Proprietatea L6: Formula de schimbare a bazei

Dacă \begin{align*}x>0,\ a,b>0,\ a\neq 1,\ b\neq1,\end{align*} atunci avem următoarea relație:

\begin{align*} \log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}, \end{align*}

numită formula de schimbare a bazei.

Demonstrație:

Notăm \begin{align*} \log_ax=m \end{align*} și\begin{align*} \log_bx=n. \end{align*}

Din definiţia logaritmului unui număr pozitiv avem relațiile: \begin{align*} a^m=x \end{align*} și \begin{align*} b^n=x, \end{align*} ceea ce este echivalent cu \begin{align*} a^m=b^n. \end{align*} 

Trecem la logaritm şi obținem:

\begin{align*} &\log_a{a^m}=\log_a{b^n} \\\\ &\Leftrightarrow m\log_a a=n\log_a b \\\\&\Leftrightarrow m=n\log_ab, \end{align*}

adică

\begin{align*} \log_ax&=\log_bx\cdot\log_ab\ \ \ (1) \end{align*}

Luăm \begin{align*} x=a \end{align*} și vom obţine:  

\begin{align*} &\log_a a=\log_ba\cdot\log_ab \\\\ &\Leftrightarrow 1=\log_ba\cdot\log_ab\\\\ &\Leftrightarrow \log_ab=\frac{1}{\log_ba} . \end{align*}

Înlocuim în relaţia (1) \begin{align*}\log_ab \end{align*} cu \begin{align*}\frac{1}{\log_ba} \end{align*} și astfel obţinem: 

\begin{align*} &\log_ax=\log_bx\cdot\frac{1}{\log_ba} \\\\&\Leftrightarrow \log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}. \end{align*}

Observații:

  1. Pentru a reţine mai uşor formula de schimbare a bazei logaritmului, se observă în figura de mai jos că în membrul drept este câtul dintre logaritmi în noua bază, având ca argumente pe \begin{align*} x \end{align*} şi respectiv baza veche a logaritmului:
  1. În demonstrația de mai sus, am stabilit următorul rezultat, care ne este util în aplicații:

Proprietatea L7: O altă formulă de schimbare a bazei

Dacă \begin{align*}a,b>0,\ a\neq 1,\ b\neq1,\end{align*} atunci avem următoarea relație \begin{align*} \log_ba=\frac{1}{\log_ab}. \end{align*}

  1. Alte formule care îți vor fi utile în rezolvarea exercițiilor sunt următoarele:
    1. dacă \begin{align*} x> 0,\ a> 0,\ a\neq 1,\ \alpha ,\beta \in\mathbb{R},\ \beta \neq 0, \end{align*} atunci: \begin{align*} \log_{a^\beta }{x^\alpha }=\frac{\alpha }{\beta } \cdot \log_{a}{x };\end{align*}
    2. dacă \begin{align*} x,y> 0,\ y\neq 1,\ a,b> 0,\ a\neq 1,\ b \neq 1, \end{align*} atunci: \begin{align*} \frac{\log_{a}{x }}{\log_{a}{y }}= \frac{\log_{b}{x }}{\log_{b}{y }}; \end{align*}
    3. dacă \begin{align*} a,b,c> 0,\ a\neq 1, \end{align*} atunci: \begin{align*} b^{\log_a c}=c^{\log_a b}. \end{align*}

Exerciții rezolvate, folosind formula de schimbare a bazei:

Să se transforme următorii logaritmi folosind formulele de schimbare a bazei:

  1. \begin{align*} \log_73 \end{align*} în baza \begin{align*} 3 ; \end{align*}
  2. \begin{align*} \log_4{13} \end{align*} în baza \begin{align*}5. \end{align*}

Rezolvare:

  1. Schimbăm baza, folosind formula de schimbare a bazei (Proprietatea L6):

\begin{align*} \log_73&= \frac{\log_33}{\log_37} \\\\ &=\frac{1}{\log_37} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \log_73&=\frac{1}{\log_37}. \end{align*}

  1. Schimbăm baza, folosind Proprietatea L6 :

\begin{align*} \log_4{13}=\frac{\log_5{13}}{\log_54}. \end{align*}

În concluzie, pentru a putea rezolva exercițiile cu logaritmi, ai nevoie de următoarele formule:

  1. \log_aa=1,\ \log_a1=0;
  2. \log_{a}xy =\log_ax+\log_ay, unde x,y>0;
  3. \log_{a}(x_{1}\cdot x_{2}\cdot...\cdot x_{n})=\log_{a}x_1+\log_{a}x_2+...+\log_{a}x_n, oricare ar fi i=\overline{1,n};
  4. \begin{align*} \log_a{\frac{x}{y}}=\log_ax-\log_ay \end{align*}, unde \begin{align*} x,y>0, a>0; \end{align*}
  5. \log_a{x^m}=m\cdot\log_ax unde x>0;
  6. a^{\log_ax}=x, unde x>0;
  7. \log_{a}a^x=x, cu x> 0;
  8. a^{\log_bc}=c^{\log_ba}, unde b>0, \ b\neq 1 și c>0.