Proprietățile logaritmilor
Folosind proprietăţile puterilor cu exponenţi reali: şi pentru orice
avem următoarele proprietăți ale logaritmilor:
Proprietatea L2: Logaritmul numărului 1 și logaritmul în care x = a
Dacă atunci au loc relațiile:
și
Demonstrație:
- Pentru
folosim faptul că
ceea ce este echivalent cu
, conform Definiției L1: Definiția logaritmului unui număr pozitiv x.
- Pentru
folosim relația
ceea ce este echivalent cu
din definiţia logaritmului.
Exemple:
Proprietatea L3: Logaritmul puterii
Dacă atunci:
(logaritmul puterii unui număr este egal cu produsul dintre exponentul puterii şi logaritmul numărului).
Demonstrație:
Notăm ceea este echivalent cu
Așadar, avem că
Logaritmăm expresia de mai sus şi obţinem:
Observații:
- Dacă
atunci
- Dacă
atunci
Exemplu:
Să se calculeze logaritmii următori folosind Proprietatea L3:
Rezolvare:
- Calculăm
folosind formula din prima observație:
- Calculăm
Metoda I
Metoda II (folosind formula dată de cea de-a doua observație)
Proprietatea L4: Logaritmul produsului
Dacă atunci avem relația
(logaritmul produsului a două numere este egal cu suma logaritmilor celor două numere).
Demonstrație:
Vom nota și
Aplicăm definiţia logaritmului unui număr pozitiv şi obţinem:
și
Din proprietăţile puterilor avem:
Atunci
Exerciții rezolvate:
Să se calculeze, folosind Proprietatea L4, următorii logaritmi:
Rezolvare:
- Folosind Proprietatea L4 obţinem:
- Conform Proprietății L4 avem:
Observație:
Această proprietate, se poate scrie în mod general astfel:
oricare ar fi
Astfel, cel de-al doilea exercițiu de mai sus, se poate calcula și astfel, folosind formula dată de observație:
Proprietatea L5: Logaritmul câtului
Dacă atunci avem:
(logaritmul câtului dintre două numere este egal cu diferenţa dintre logaritmul numărătorului şi logaritmul numitorului).
Demonstrație:
Din Proprietatea L3 avem:
Observații:
- Dacă
atunci
- Fie
și
Atunci avem:
Folosind observația 2, mai putem demonstra Proprietatea L5, pentru , astfel:
Exemplu:
Să se calculeze următorii logaritmi, folosind Proprietatea L5:
Rezolvare:
- Aplicând Proprietatea L5 avem:
- Folosind Proprietatea L5 obținem:
Proprietatea L6: Formula de schimbare a bazei
Dacă atunci avem următoarea relație:
numită formula de schimbare a bazei.
Demonstrație:
Notăm și
Din definiţia logaritmului unui număr pozitiv avem relațiile: și
ceea ce este echivalent cu
Trecem la logaritm şi obținem:
adică
Luăm și vom obţine:
Înlocuim în relaţia (1) cu
și astfel obţinem:
Observații:
- Pentru a reţine mai uşor formula de schimbare a bazei logaritmului, se observă în figura de mai jos că în membrul drept este câtul dintre logaritmi în noua bază, având ca argumente pe
şi respectiv baza veche a logaritmului:

- În demonstrația de mai sus, am stabilit următorul rezultat, care ne este util în aplicații:
Proprietatea L7: O altă formulă de schimbare a bazei
Dacă atunci avem următoarea relație
- Alte formule care îți vor fi utile în rezolvarea exercițiilor sunt următoarele:
- dacă
atunci:
- dacă
atunci:
- dacă
atunci:
- dacă
Exerciții rezolvate, folosind formula de schimbare a bazei:
Să se transforme următorii logaritmi folosind formulele de schimbare a bazei:
în baza
în baza
Rezolvare:
- Schimbăm baza, folosind formula de schimbare a bazei (Proprietatea L6):
- Schimbăm baza, folosind Proprietatea L6 :
În concluzie, pentru a putea rezolva exercițiile cu logaritmi, ai nevoie de următoarele formule: