Tipuri de logaritmi

În cadrul acestei secțiuni vei afla ce tipuri de logaritmi se cunosc, precum și care este semnul unui logaritm.

Tipuri de logaritmi

Există două numere, care servesc în mod deosebit ca baze pentru logaritmi:

  1. Numărul irațional \mathbf{e\approx 2,71828}

Pentru baza egală cu acest număr e, în loc să scriem \log_ex, vom nota logaritmul astfel: \ln x.

Acet tip de logaritm se numește logaritm natural (sau neperian).

Logaritmii în baza e apar în rezolvarea unor probleme de fizică și intră, în mod natural, în descrierea matematică a unor procese chimice, biologice, dar despre acest număr e, vei învăța mai multe în anii următori.

  1. Numărul \mathbf{10}

Pentru baza egală cu numărul 10, în loc să scriem \log_{10}x, vom nota logaritmul astfel: \lg x.

Acet tip de logaritm se numește logaritm zecimal.

Exemplu:

Vom scrie \lg102 în loc de \log_{10}102; \lg6 în loc de \log_{10}6; etc.

Semnul logaritmului

Avem următoarele cazuri:

  1. \log_ab>0, dacă a,b\in (1,\infty) sau a,b\in (0,1);
  2. \log_ab<0, dacă a\in (1,\infty), b\in (0,1) sau a\in (0,1), b\in (1,\infty).

Exemple:

  1. \log_35> 0, deoarece 3,5\in (1,\infty).
  2. \log_{\frac{3}{4}}\frac{5}{6}> 0, pentru că \frac{3}{4},\frac{5}{6}\in (0,1).
  3. \log_2 \frac{3}{7} <0, fiindcă 2\in (1,\infty), \frac{3}{7}\in (0,1).
  4. \log_{\frac{2}{5}}7<0, deoarece \frac{2}{5}\in (0,1), 7\in (1,\infty).

Observații:

  1. Dacă avem doi logaritmi cu aceeaşi bază supraunitară (adică baza este mai mare decât 1), atunci este mai mare cel care are argumentul mai mare.

Exemplu:

Avem următorii logaritmi: \begin{align*} \log_{\frac{7}{5}}4 \end{align*} şi \begin{align*} \log_{\frac{7}{5}}2 \end{align*}. Baza celor doi logaritmi este \frac{7}{5}> 1, adică baza este supraunitară.

Observăm că \begin{align*} \log_{\frac{7}{5}}4 \end{align*} are argumentul 4 și acesta este mai mare decât argumentul egal cu 2, al celui de-al doilea logaritm \begin{align*} \log_{\frac{7}{5}}2 \end{align*} ( adică 4> 2 ), deci \begin{align*} \log_{\frac{7}{5}}4>\log_{\frac{7}{5}}2. \end{align*}

  1. Dacă avem doi logaritmi cu aceeaşi bază subunitară (adică baza este mai mică decât 1, dar mai mare decât 0), atunci este mai mare cel care are argumentul mai mic.

Exemplu:

Fie logaritmii: \begin{align*} \log_{\frac{3}{5}}7 \end{align*} şi \begin{align*} \log_{\frac{3}{5}}2. \end{align*} Baza logaritmilor este subunitară, adică \frac{3}{5}\in \left ( 0,1 \right ).

Observăm că \begin{align*} \log_{\frac{3}{5}}2 \end{align*} are argumentul mai mic; atunci \begin{align*} \log_{\frac{3}{5}}7<\log_{\frac{3}{5}}2. \end{align*}