Șiruri de numere reale. Limite

Primul capitol, Șiruri de numere reale. Limite conține noțiuni generale, teoretice și exemple cu și despre șiruri monotone, șiruri mărginite, vecinătăți, limita unui șir și șiruri convergente.

Șirurile se studiază la școală încă din clasele primare, doar că nu apar sub denumirea de șir. De exemplu, se cunoaște deja șirul numerelor naturale $0,1, 2, 3, \dotsc, n, \dotsc$ , cunoscut sub denumirea de mulțimea numerelor naturale.

Din observațiile asupra acestor șiruri, se poate da o definiție generală a unui șir și, în particular, definiția unui șir de numere reale.

Astfel, în prima parte a acestui capitol vei putea învăța noțiuni generale despre șiruri, caracterizări ale acestora și pentru a vedea cum se rezolvă anumite probleme cu șiruri și limite de șiruri, urmând ca mai apoi să afli noțiuni generale referitoare la șiruri de numere reale, dar vei putea vedea și ce este un subșir al unui șir de numere reale.

Accesează acest capitol al eBook-ului Ghid | Limite de șiruri pentru a vedea care este definiția unui șir de numere reale, cum se poate nota un șir sau cum putem defini șiruri de numere reale. Apoi, vei afla care este condiția pentru ca două șiruri să fie egale și ce este un subșir al unui șir de numere reale.

În continuare, vei întâlni noțiunea de șiruri monotone și care sunt procedeele de demonstrare a monotoniei unui șir de numere reale, fie că vorbim despre șiruri (strict) crescătoare, fie că vorbim despre șiruri (strict) descrescătoare.

Apoi, se introduc intervalele de numere reale, care sunt de două tipuri, respectiv intervale mărginite și intervale nemărginite. Intervalele ne sunt de mare ajutor pentru a defini mulțimile și șirurile mărginite, mărginite superior (majorate), mărginite inferior (minorate) și nemărginite superior sau inferior. Spre finalul acestui subcapitol, se prezintă o caracterizare a șirurilor mărginite și ce legătură există între șiruri monotone și șiruri mărginite.

După ce se definesc noțiunile de vecinătate a unui punct de pe dreapta reală încheiată și limite de șiruri de numere reale, se introduc șirurile convergente și șirurile divergente. În funcție de valoarea limitei a unui șir de numere reale, se dă o caracterizare a convergenței, și anume teorema de convergență cu $\varepsilon$ . Apoi, se prezintă anumite proprietăți pentru limita unui șir și legătura dintre limita unui subșir sau a unor subșiruri ale unui șir de numere reale dat și convergența acestuia.

Așadar, citește acest capitol a materialului nostru pentru a înțelege mai bine noțiunile de șiruri de numere reale, șiruri monotone, șiruri mărginite, subșir al unui șir, șir convergent și multe altele, prin exemple ilustrative informațiilor introduse.