Asimptote ale graficului unei funcții

Cuprins

ASIMPTOTE ORIZONTALE
- Definiția LF12: Asimptote orizontale
ASIMPTOTE OBLICE
- Definiția LF13: Asimptote oblice
ASIMPTOTE VERTICALE
- Definiția LF14: Asimptote verticale

Fie $D\subset \mathbb{R}$ un interval de numere reale, $f:D\to \mathbb{R}$ o funcție elementară și x_0 un punct de acumulare al mulțimii . Atunci introducem următoarele drepte care pot însoți graficul funcției .

ASIMPTOTE ORIZONTALE

Definiția LF12: Asimptote orizontale

Dreapta , $y_0\in\mathbb{R}$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ a funcției , dacă $\lim_{x\to+\infty}f(x)=y_0$ .
Dreapta , $y_0\in\mathbb{R}$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ a funcției , dacă $\lim_{x\to-\infty}f(x)=y_0$ .

Adică dreapta y=y_0 este asimptotă orizontală spre $+\infty$ sau spre $-\infty$ a funcției dacă, atunci când este suficient de mare (la $+\infty$ ) sau suficient de mic ( la $-\infty$ ), graficul funcției se "aproprie" de y=y_0 .

Observație:

Pentru a găsi asimptotele orizontale ale funcției $f:D\to \mathbb{R}$ , se caută limita funcției la $+\infty$ și $-\infty$ , dacă $+\infty$ și $-\infty$ sunt puncte de acumulare pentru mulțimea .

Exemple:

Să se determine asimptotele orizontale ale funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{2x^2-1}{x^2+3}$ .

Rezolvare:

Atât $+\infty$ , cât și $-\infty$ sunt puncte de acumulare ale funcției date.

Funcția dată este o funcție rațională, având gradul numărătorului egal cu gradul numitorului. Conform celor prezentate la capitolul Limitele funcțiilor elementare, avem că:

$\begin{align*} \lim_{x\to +\infty}f(x)&=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-1}{x^2+3}\\\\ &=\frac{2}{1}\\\\ &=2\\\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x)=2 \end{align*}$ .

$\begin{align*} \lim_{x\to -\infty}f(x)&=\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^2-1}{x^2+3}\\\\ &=\frac{2}{1}\\\\ &=2\\\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \lim_{x\to -\infty}f(x)=2 \end{align*}$ .

Rezultă că dreapta $\begin{align*} y=2 \end{align*}$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ și spre $-\infty$ la graficul funcției date.

Fie funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}$ . Să se determine asimptotele orizontale ale funcției date.

Rezolvare:

Atât $+\infty$ , cât și $-\infty$ sunt puncte de acumulare ale funcției date.

Funcția dată este o funcție rațională, având gradul numărătorului mai mic decât gradul numitorului. Conform celor prezentate la capitolul Limitele funcțiilor elementare, avem că:

$\begin{align*} \lim_{x\to +\infty}f(x)&=\lim_{x\to +\infty}\frac{x^3}{x^2+1}\\\\ &=+\infty \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty \notin \mathbb{R}\end{align*}$

$\begin{align*} \lim_{x\to -\infty}f(x)&=\lim_{x\to -\infty}\frac{x^3}{x^2+1}\\\\ &=+\infty \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty\notin \mathbb{R} \end{align*}$ .

Deci funcția nu admite asimptote orizontale spre $+\infty$ și spre $-\infty$ .

ASIMPTOTE OBLICE

Definiția LF13: Asimptote oblice

Dacă există $\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=m\in\mathbb{R}^*$ și $\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-mx\big)=n\in\mathbb{R}$ , atunci dreapta este asimptotă oblică a funcției spre $+\infty$ și reciproc.
Dacă există $\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=m\in\mathbb{R}^*$ și $\lim_{x\to-\infty}\big(f(x)-mx\big)=n\in\mathbb{R}$ , atunci dreapta este asimptotă oblică a funcției spre $-\infty$ și reciproc.

Observație:

O funcție nu poate avea simultan și asimptotă orizontală și asimptotă oblică. (Deci dacă se găsește o asimptotă orizontală a unei funcții, nu se mai caută și ecuația asimptotei oblice.)

Exemple:

Să se caute asimptotele oblice pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}$ .

Rezolvare:

Am văzut că funcția nu admite asimptote orizontale spre $+\infty$ sau spre $-\infty$ . Căutăm asimptotele oblice ale acestei funcții, dacă acestea există.

Căutăm drepte de forma y=mx+n la $+\infty$ , unde:

$\begin{align*} m&=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\frac{x^3}{x^2+1}}{x}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{x(x^2+1)}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2+1}\\\\ &=1 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow m&=1 \end{align*}$ .

$\begin{align*} n&=\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-mx\big)\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\Big(\frac{x^3}{x^2+1}-1\cdot x\Big)\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\Big(\frac{x^3}{x^2+1}- x\Big)\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-x(x^2+1)}{x^2+1}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-x^3-x}{x^2+1}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{x^2+1}\\\\ &=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow n&=0 \end{align*}$ .

Atunci:

$\begin{align*} &y=mx+n\\ &\Leftrightarrow y=1\cdot x+0\\ &\Leftrightarrow y=x .\end{align*}$

Deci dreapta $\begin{align*} y=x \end{align*}$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ la graficul funcției .

La fel se întâmplă și la $-\infty$ .

În concluzie, dreapta $\begin{align*} y=x \end{align*}$ este asimptotă oblică spre $+\infty$ și spre $-\infty$ la graficul funcției date.

Să se determine asimptota oblică spre $+\infty$ a funcției $f:\mathbb{R}\setminus\left \{ -3 \right \}\to \mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{x-2}{x+3}$ .

Rezolvare:

Căutăm drepte de forma y=mx+n la $+\infty$ , unde:

$\begin{align*} m&=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\frac{x-2}{x+3}}{x}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-2}{x(x+3)}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-2}{x^2+3x}\\\\ &=0 \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow m&=0. \end{align*}$

Rezultă că funcția nu are asimptota oblică la $+\infty$ .

ASIMPTOTE VERTICALE

Definiția LF14: Asimptote verticale

Dreapta este asimptotă verticală a funcției dacă cel puțin una din limitele laterale sau există și este unică. (Adică $\lim_{\substack{x\to x_0\\ x<x_0 }}f(x)=\pm\infty$ sau $\lim_{\substack{x\to x_0\\ x> x_0 }}f(x)=\pm\infty$ .)
Dacă este $+\infty$ sau $-\infty$ , atunci dreapta se numește asimptotă verticală la stânga.
Dacă este $+\infty$ sau $-\infty$ , atunci dreapta se numește asimptotă verticală la dreapta.
Dacă limitele laterale ale funcției în sunt infinite (adică $+\infty$ sau $-\infty$ ), atunci dreapta se numește asimptotă verticală bilaterală.

Observație:

Se poate ca o funcție să nu aibă asimptote verticale, iar existența acestora nu depinde de existența asimptotelor orizontale sau a asimptotelor oblice.

Exemple:

Fie funcția $f:\mathbb{R}\setminus\left \{ 1 \right \}\to \mathbb{R}$ , $f(x)=\frac{3x-5}{x-1}$ . Să se determine asimptotele verticale ale acestei funcții, dacă există.

Rezolvare:

Cercetăm dacă dreapta $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ este asimptotă verticală.

Calculăm f(1-0) și f(1+0) .

$\begin{align*} f(1-0)&=\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1 }}f(x)\\\\ &=\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1 }}\frac{3x-5}{x-1}\\\\ &=\frac{3\cdot 1-5}{1-1}\\\\ &=\frac{3-5}{0_-}\\\\ &=\frac{-2}{0_-}\\\\ &=+\infty \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow x=1 \end{align*}$ - asimptotă verticală la stânga.

$\begin{align*} f(1+0)&=\lim_{\substack{x\to 1\\ x> 1 }}f(x)\\\\ &=\lim_{\substack{x\to 1\\ x> 1 }}\frac{3x-5}{x-1}\\\\ &=\frac{3\cdot 1-5}{1-1}\\\\ &=\frac{3-5}{0_+}\\\\ &=\frac{-2}{0_+}\\\\ &=-\infty \end{align*}$

$\begin{align*} \Rightarrow x=1 \end{align*}$ - asimptotă verticală la dreapta.

Fiind simultan asimptotă verticală la stânga și asimptotă verticală la dreapta, rezultă că dreapta $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ este asimptotă verticală bilaterală.

Să se determine asimptotele verticale ale funcției $f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}$ , $\begin{align*} f(x)=\log_3 x \end{align*}$ .

Rezolvare:

Reamintim graficul funcției logaritm în baza $\begin{align*} 3 \end{align*}$ .

Din grafic se poate observa că dreapta $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ este asimptotă verticală la dreapta la graficul funcției date.

Nu putem calcula limita la stânga în punctul $\begin{align*} x_0=0 \end{align*}$ deoarece funcția nu este definită la stânga lui $\begin{align*} 0 \end{align*}$ , domeniul de definiție al funcției fiind $\begin{align*} (0,+\infty) \end{align*}$ .