Asimptote ale graficului unei funcții

Fie D\subset \mathbb{R} un interval de numere reale, f:D\to \mathbb{R} o funcție elementară și x_0 un punct de acumulare al mulțimii D. Atunci introducem următoarele drepte care pot însoți graficul funcției f.

ASIMPTOTE ORIZONTALE

Definiția LF12: Asimptote orizontale 

  1. Dreapta y=y_0y_0\in\mathbb{R} este asimptotă orizontală spre +\infty a funcției f, dacă \lim_{x\to+\infty}f(x)=y_0.
  2. Dreapta y=y_0y_0\in\mathbb{R} este asimptotă orizontală spre -\infty a funcției f, dacă \lim_{x\to-\infty}f(x)=y_0.

Adică dreapta y=y_0 este asimptotă orizontală spre +\infty sau spre -\infty a funcției f dacă, atunci când x este suficient de mare (la +\infty) sau suficient de mic ( la -\infty), graficul funcției f se "aproprie" de y=y_0.

Observație:

Pentru a găsi asimptotele orizontale ale funcției f:D\to \mathbb{R}, se caută limita funcției la +\infty și -\infty, dacă +\infty și -\infty sunt puncte de acumulare pentru mulțimea D.

Exemple:

  1. Să se determine asimptotele orizontale ale funcției f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}f(x)=\frac{2x^2-1}{x^2+3}.

Rezolvare:

Atât +\infty, cât și -\infty sunt puncte de acumulare ale funcției date.

Funcția dată este o funcție rațională, având gradul numărătorului egal cu gradul numitorului. Conform celor prezentate la capitolul Limitele funcțiilor elementare, avem că:

\begin{align*} \lim_{x\to +\infty}f(x)&=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2-1}{x^2+3}\\\\ &=\frac{2}{1}\\\\ &=2\\\\ \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x)=2 \end{align*}.

\begin{align*} \lim_{x\to -\infty}f(x)&=\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^2-1}{x^2+3}\\\\ &=\frac{2}{1}\\\\ &=2\\\\ \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \lim_{x\to -\infty}f(x)=2 \end{align*}.

Rezultă că dreapta \begin{align*} y=2 \end{align*} este asimptotă orizontală spre +\infty și spre -\infty la graficul funcției date.

  1. Fie funcția f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}. Să se determine asimptotele orizontale ale funcției date.

Rezolvare:

Atât +\infty, cât și -\infty sunt puncte de acumulare ale funcției date.

Funcția dată este o funcție rațională, având gradul numărătorului mai mic decât gradul numitorului. Conform celor prezentate la capitolul Limitele funcțiilor elementare, avem că:

\begin{align*} \lim_{x\to +\infty}f(x)&=\lim_{x\to +\infty}\frac{x^3}{x^2+1}\\\\ &=+\infty \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty \notin \mathbb{R}\end{align*}

\begin{align*} \lim_{x\to -\infty}f(x)&=\lim_{x\to -\infty}\frac{x^3}{x^2+1}\\\\ &=+\infty \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow \lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty\notin \mathbb{R} \end{align*}.

Deci funcția f nu admite asimptote orizontale spre +\infty și spre -\infty.

ASIMPTOTE OBLICE

Definiția LF13: Asimptote oblice 

  1. Dacă există \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=m\in\mathbb{R}^* și \lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-mx\big)=n\in\mathbb{R}, atunci dreapta y=mx+n este asimptotă oblică a funcției f spre +\infty și reciproc.
  2. Dacă există \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=m\in\mathbb{R}^* și \lim_{x\to-\infty}\big(f(x)-mx\big)=n\in\mathbb{R}, atunci dreapta y=mx+n este asimptotă oblică a funcției f spre -\infty și reciproc.

Observație:

O funcție nu poate avea simultan și asimptotă orizontală și asimptotă oblică. (Deci dacă se găsește o asimptotă orizontală a unei funcții, nu se mai caută și ecuația asimptotei oblice.)

Exemple:

  1. Să se caute asimptotele oblice pentru funcția f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}f(x)=\frac{x^3}{x^2+1}.

Rezolvare:

Am văzut că funcția f nu admite asimptote orizontale spre +\infty sau spre -\infty. Căutăm asimptotele oblice ale acestei funcții, dacă acestea există.

Căutăm drepte de forma y=mx+n la +\infty, unde:

\begin{align*} m&=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\frac{x^3}{x^2+1}}{x}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3}{x(x^2+1)}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{x^2+1}\\\\ &=1 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow m&=1 \end{align*}.

\begin{align*} n&=\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-mx\big)\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\Big(\frac{x^3}{x^2+1}-1\cdot x\Big)\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\Big(\frac{x^3}{x^2+1}- x\Big)\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-x(x^2+1)}{x^2+1}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^3-x^3-x}{x^2+1}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{-x}{x^2+1}\\\\ &=0 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow n&=0 \end{align*}.

Atunci:

\begin{align*} &y=mx+n\\ &\Leftrightarrow y=1\cdot x+0\\ &\Leftrightarrow y=x .\end{align*}

Deci dreapta \begin{align*} y=x \end{align*} este asimptotă oblică spre +\infty la graficul funcției f.

La fel se întâmplă și la -\infty

În concluzie, dreapta \begin{align*} y=x \end{align*} este asimptotă oblică spre +\infty și spre -\infty la graficul funcției date.

  1. Să se determine asimptota oblică spre +\infty a funcției f:\mathbb{R}\setminus\left \{ -3 \right \}\to \mathbb{R}f(x)=\frac{x-2}{x+3}.

Rezolvare:

Căutăm drepte de forma y=mx+n la +\infty, unde:

\begin{align*} m&=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{\displaystyle\frac{x-2}{x+3}}{x}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-2}{x(x+3)}\\\\ &=\lim_{x\to+\infty}\frac{x-2}{x^2+3x}\\\\ &=0 \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow m&=0. \end{align*}

Rezultă că funcția nu are asimptota oblică la +\infty.

ASIMPTOTE VERTICALE

Definiția LF14: Asimptote verticale 

  1. Dreapta x=x_0 este asimptotă verticală a funcției f dacă cel puțin una din limitele laterale f(x_0-0) sau f(x_0+0) există și este unică. (Adică \lim_{\substack{x\to x_0\\ x<x_0 }}f(x)=\pm\infty sau \lim_{\substack{x\to x_0\\ x> x_0 }}f(x)=\pm\infty.)
  2. Dacă f(x_0-0) este +\infty sau -\infty, atunci dreapta x=x_0 se numește asimptotă verticală la stânga.
  3. Dacă f(x_0+0) este +\infty sau -\infty, atunci dreapta x=x_0 se numește asimptotă verticală la dreapta.
  4. Dacă limitele laterale ale funcției f în x_0 sunt infinite (adică +\infty sau -\infty), atunci dreapta x=x_0 se numește asimptotă verticală bilaterală.

Observație:

Se poate ca o funcție să nu aibă asimptote verticale, iar existența acestora nu depinde de existența asimptotelor orizontale sau a asimptotelor oblice.

Exemple:

  1. Fie funcția f:\mathbb{R}\setminus\left \{ 1 \right \}\to \mathbb{R}f(x)=\frac{3x-5}{x-1}. Să se determine asimptotele verticale ale acestei funcții, dacă există.

Rezolvare:

Cercetăm dacă dreapta \begin{align*} x=1 \end{align*} este asimptotă verticală.

Calculăm f(1-0) și f(1+0).

\begin{align*} f(1-0)&=\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1 }}f(x)\\\\ &=\lim_{\substack{x\to 1\\ x<1 }}\frac{3x-5}{x-1}\\\\ &=\frac{3\cdot 1-5}{1-1}\\\\ &=\frac{3-5}{0_-}\\\\ &=\frac{-2}{0_-}\\\\ &=+\infty \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow x=1 \end{align*} - asimptotă verticală la stânga.

\begin{align*} f(1+0)&=\lim_{\substack{x\to 1\\ x> 1 }}f(x)\\\\ &=\lim_{\substack{x\to 1\\ x> 1 }}\frac{3x-5}{x-1}\\\\ &=\frac{3\cdot 1-5}{1-1}\\\\ &=\frac{3-5}{0_+}\\\\ &=\frac{-2}{0_+}\\\\ &=-\infty \end{align*}

\begin{align*} \Rightarrow x=1 \end{align*} - asimptotă verticală la dreapta.

Fiind simultan asimptotă verticală la stânga și asimptotă verticală la dreapta, rezultă că dreapta \begin{align*} x=1 \end{align*} este asimptotă verticală bilaterală.

  1. Să se determine asimptotele verticale ale funcției f:(0,+\infty)\to \mathbb{R}\begin{align*} f(x)=\log_3 x \end{align*}.

Rezolvare:

Reamintim graficul funcției logaritm în baza \begin{align*} 3 \end{align*}.

Din grafic se poate observa că dreapta \begin{align*} x=0 \end{align*} este asimptotă verticală la dreapta la graficul funcției date.

Nu putem calcula limita la stânga în punctul \begin{align*} x_0=0 \end{align*} deoarece funcția nu este definită la stânga lui \begin{align*} 0 \end{align*}, domeniul de definiție al funcției f fiind \begin{align*} (0,+\infty) \end{align*}.