Legi de compoziție - exerciții rezolvate

Cuprins

Această problemă a fost dată ca și model de subiect în anul 2012, pentru profilul mate - info, Subiectul II, exercițiul 2.
Această problemă a fost dată în sesiunea iunie - iulie a anului 2015, pentru profilul mate - info, Subiectul II, exercițiul 2.
Această problemă a fost dată în sesiunea iunie - iulie a anului 2013, pentru profilul științele naturii, Subiectul II, exercițiul 2.
Această problemă a fost dată în sesiunea specială a anului 2014, pentru profilul științele naturii, Subiectul II, exercițiul 2.
Această problemă a fost dată în sesiunea iunie - iulie a anului 2014, pentru profilul tehnologic, Subiectul II, exercițiul 2.
Această problemă a fost dată în sesiunea iunie - iulie a anului 2015, pentru profilul științele naturii, Subiectul II, exercițiul 2.
Această problemă a fost dată în sesiunea iunie - iulie a anului 2013, pentru profilul științele naturii, Subiectul II, exercițiul 2.
Această problemă a fost dată în sesiunea iunie - iulie a anului 2013, pentru profilul științele naturii, Subiectul II, exercițiul 2.
Această problemă a fost dată în sesiunea august - septembrie a anului 2014, pentru profilul pedagogic, Subiectul II, exercițiul 2.
Această problemă a fost dată în sesiunea iunie - iulie a anului 2015, pentru profilul științele naturii, Subiectul II, exercițiul 2.

Această problemă a fost dată ca și model de subiect în anul 2012, pentru profilul mate - info, Subiectul II, exercițiul 2.

Bacalaureat Matematică 2012 | Mate - Info | Model de subiect | Subiectul II

Pe mulțimea $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x*y=\frac{1}{2}(x+y-xy+1).$

Verificați dacă legea de compoziție este asociativă.
Arătați că legea de compoziție admite element neutru.
Rezolvați ecuația

Aducem la o formă mai simplă expresia legii de compoziție:

$\begin{align*} x*y&=\frac{1}{2}(x+y-xy+1)\\\\ &=\frac{1}{2}(x-xy+y-1+1+1)\\\\ &=\frac{1}{2}\big[x(1-y)-(1-y)+2\big]\\\\ &=\frac{1}{2}\big[(1-y)(x-1)+2\big]\\\\ &=\frac{1}{2}(1-y)(x-1)+\frac{1}{2}\cdot2\\\\ &=-\frac{1}{2}(x-1)(y-1)+1 \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow x*y&=-\frac{1}{2}(x-1)(y-1)+1 \end{align*}$ .

Asociativitatea: fie $\begin{align*} x,y,z\in\mathbb{R} \end{align*}$ oarecare. Avem:

$\begin{align*} (x*y)*z&=-\frac{1}{2}(x*y-1)(z-1)+1 \\\\ &=-\frac{1}{2}\Big[-\frac{1}{2}(x-1)(y-1)+1-1\Big](z-1)+1\\\\ &=-\frac{1}{2}\cdot\Big(-\frac{1}{2}\Big)(x-1)(y-1)(z-1)+1\\\\ &=\frac{1}{4}(x-1)(y-1)(z-1)+1 \end{align*}$

$\begin{align*} x*(y*z)&=-\frac{1}{2}(x-1)(y*z-1)+1 \\\\ &=-\frac{1}{2}(x-1)\Big[-\frac{1}{2}(y-1)(z-1)+1-1\Big]+1\\\\ &=-\frac{1}{2}(x-1)\cdot\Big(-\frac{1}{2}\Big)(y-1)(z-1)+1\\\\ &=-\frac{1}{2}\cdot\Big(-\frac{1}{2}\Big)(x-1)(y-1)(z-1)+1\\\\ &=\frac{1}{4}(x-1)(y-1)(z-1)+1 \end{align*}$

Am obținut că $\begin{align*} (x*y)*z=x*(y*z)\end{align*}$ , de u...