Operații cu vectori

Cuprins

Adunarea vectorilor
Proprietăți ale operației de adunare a vectorilor
- Propoziția G8: Proprietăți ale adunării vectorilor
Aplicație
Înmulțirea cu scalari a vectorilor
- Definiția G10: Înmulțirea cu scalari a vectorilor
Proprietăți ale înmulțirii unui vector cu un scalar
- Propoziția G11: Proprietăți ale înmulțirii unui vector cu un scalar
Coliniaritatea a doi vectori
Aplicație
Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari și nenului
- Definiția G15: Expresia analitică a unui vector și coordonatele unui vector
- Definiția G16: Vectori egali și vectori coliniari

Adunarea vectorilor

Pentru a aduna doi vectori, mai întâi alegem câte un reprezentant al lor; atunci, practic, ne rezumăm la adunarea vectorilor legați.

În cadrul acestei secțiuni vom trata următoarele două cazuri: adunarea vectorilor coliniari și adunarea vectorilor necoliniari (oarecare).

Adunarea vectorilor coliniari

Dacă vectori sunt coliniari atunci ei au aceeași direcție.

În primul rând să luăm vectorii $\overrightarrow{v}$ , respectiv $\overrightarrow{u}$ , ca având același sens.

Atunci vectorul sumă $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ va avea aceeași direcție și același sens cu vectorii $\overrightarrow{v}$ și $\overrightarrow{u}$ , iar modulul sau lungimea lui va fi suma modulelor celorlalți doi:

$|\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}|=|\overrightarrow{v}|+|\overrightarrow{u}|$ .

Acum să luăm vectorii $\overrightarrow{v}$ și $\overrightarrow{u}$ , ca având sensuri opuse.

În acest caz, vectorul sumă va avea aceeași direcție cu cei doi vectori și sensul celui cu modulul mai mare, iar lungimea lui va fi egală cu diferența molulelor celor doi vectori.

Cum putem vedea și în imaginea de mai sus, vectorul $\overrightarrow{v}$ (cel verde) are o lungime de cm, iar vectorul $\overrightarrow{u}$ (cel roșu) are o lungime de 2,5 cm; atunci, conform celor spuse, direcția vectorului sumă $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ va coincide cu cea a vectorului $\overrightarrow{v}$ , deoarece el este mai lung, iar lungimea vectorului sumă va fi difereța lungimilor celor doi vectori, adică 4-2,5=1,5 cm.

Adunarea vectorilor necoliniari (oarecare)

Adunare a doi sau mai mulți vectori se face după anumite reguli, astfel că avem trei cazuri:

Adunarea a doi vectori după regula triunghiului.
Adunarea a doi vectori după regula paralelogramului.
Adunarea mai multor vectori după regula patrulaterului.

Vom lua pe rând aceste cazuri și le vom discuta.

Adunarea a doi vectori după regula triunghiului

Avem următoarea figură:

În acest caz avem de adunat doi vectori consecutivi, adică vârful primului vector coincide cu originea celui de-al doilea vector.

Cum observăm și în figura de mai sus, suma vectorilor $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BC}$ (vârful primului coincide cu originea celui de-al doilea în punctul ) este vectorul sumă, care este vectorul $\overrightarrow{AC}$ , vector care are originea primului vector și vârful celui de-al doilea vector.

Adunarea a doi vectori după regula paralelogramului

Avem, în figura de mai jos, reprezentat un paralelogram.

În cazul de față avem doi vectori a căror origine coincide.

Dorim să adunăm vectorii $\overrightarrow{MN}$ și $\overrightarrow{MQ}$ .

Observăm că ei au aceeași origine și anume în punctul .

Atunci, vectorul sumă va fi vectorul $\overrightarrow{MP}$ , acesta reprezentând diagonala paralelogramului MNPQ , în care vectorii care trebuie adunați, $\overrightarrow{MN}$ , respectiv $\overrightarrow{MQ}$ , reprezintă două laturi consecutive.

Observație:

Vectorul sumă va avea aceeași origine cu vectorii pe care îi avem de adunat.

Adunarea mai multor vectori după regula patrulaterului

Această regulă este o extindere a regulii triunghiului, cu menționarea faptului că avem mai mulți vectori consecutivi, adică vectori în care vârful unuia coincide cu originea celuilalt.

Atunci va trebui să închidem poligonul care este compus din vectorii respectivi, iar vectorul sumă va avea originea primului vector și vârful ultimului vector.

Cum vedem și imaginea de mai sus, adunăm vectorii $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{CD}$ , $\overrightarrow{DE}$ și $\overrightarrow{EF}$ .

Atunci, vectorul sumă, notat cu roșu, este vectorul $\overrightarrow{AF}$ .

Așadar, avem că:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}$ .

Proprietăți ale operației de adunare a vectorilor

Adunarea vectorilor are mai multe proprietăți, așa cum vei putea observa în cele ce urmează.

Propoziția G8: Proprietăți ale adunării vectorilor

Fie vectorii $\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v},\ \overrightarrow{w}$ .

Adunarea vectorilor este:

Asociativă:

$\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right )+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)$ .

Comutativă:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ .

Are ca și element neutru vectorul nul $\overrightarrow{0}$ :

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$ .

Are ca și element simetric (opus) vectorul $-\overrightarrow{u}$ și astfel, avem relația:

$\overrightarrow{u}+\left(-\overrightarrow{u} \right )=\left(-\overrightarrow{u} \right )+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ .

Observație:

Vectorul opus $-\overrightarrow{u}$ are aceeași lungime și aceeași direcție cu vectorului $\overrightarrow{u}$ , însă sens contrar.

Observație:

Având definite proprietățile adunării vectorilor, putem defini și diferența a doi vectori.

Definiția G9: Diferența a doi vectori

Fie vectorii $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$ .

Diferența vectorilor $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$ reprezintă suma vectorului $\overrightarrow{u}$ , cu opusul vectorului $\overrightarrow{v}$ , adică $-\overrightarrow{v}$ , fiind dată de următoarea relație:

$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}+\left(-\overrightarrow{v} \right )$ .

În imaginea de mai sus putem observa cum obținem vectorul diferență.

Astfel, fie $\overrightarrow{u}$ , respectiv $\overrightarrow{v}$ doi vectori care au aceeași origine.

Atunci, vectorul diferență va fi vectorul care are originea în vârful celui de-al doilea vector, iar vârful său coincide cu vârful primului vector.

Aplicație

Pentru a înțelege mai bine cum se adună doi vectori, profesorii noștri de matematică ți-au pregătit următoarea aplicație:

Fie ABCD un paralelogram, iar mijlocul segmentului [AB] .

Să se calculeze:

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}$ ;
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ ;
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$ ;
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ .

Soluție:

Mai întâi, desenenăm paralelogramul:

Deoarece vectorii $\overrightarrow{AM}$ , respectiv $\overrightarrow{MB}$ au aceeași direcție, precum și același sens, atunci vectorul sumă va fi $\overrightarrow{AB}$ .

Așadar, avem că:

$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}$ .

Observăm că acești vectori au direcții diferite, însă au aceeași origine, așa că vom folosi regula paralelogramului descrisă în pagina anterioară, iar vectorul sumă va fi vectorul $\overrightarrow{AC}$ .

Astfel, obținem:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ .

Acești doi vectori au aceeași lungime, aceeași direcție, dar sensuri opuse.

În acest caz, vectorul sumă va fi vectorul nul, $\overrightarrow{0}$ .

Ne rezultă că:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$ .

Observăm că vectorii pe care trebuie să îi adunăm sunt vectori consecutivi, adică originea celui de-al doilea coincide cu vârful primului; astfel putem aplica regula triunghiului și obținem că vectorul sumă este vectorul $\overrightarrow{AC}$ .

Așadar, am obținut că:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

Înmulțirea cu scalari a vectorilor

Fie $\alpha\in\mathbb{R}$ un număr real și $\overrightarrow{u}$ un vector din plan.

Definiția G10: Înmulțirea cu scalari a vectorilor

Produsul vectorului $\overrightarrow{u}$ cu numărul $\alpha$ este un vector, notat $\alpha\overrightarrow{u}$ , care își schimbă sensul astfel:

$\begin{align*} \alpha\overrightarrow{u}= \begin{cases} \alpha\overrightarrow{u},\quad \alpha>0\\ \overrightarrow{0}, \quad\alpha=0\\ -\alpha\overrightarrow{u},\quad \alpha<0\\ \end{cases} \end{align*}$ .

Așadar, în cazul cel mai simplu, când $\alpha=0$ , produsul este vectorul nul, $\overrightarrow{0}$ .

Atunci când $\alpha$ este un număr strict pozitiv, vectorul $\alpha\overrightarrow{u}$ va avea aceeași direcție și același sens cu vectorul $\overrightarrow{u}$ , iar dacă când $\alpha$ este un număr strict negativ, vectorul $\alpha\overrightarrow{u}$ va avea aceeași direcție, dar sens contrar față de vectorul $\overrightarrow{u}$ .

Lungimea vectorului va fi:

$\left |\alpha\cdot\overrightarrow{u} \right |=|\alpha|\cdot|\overrightarrow{u}|$ .

Exemplu:

Să considerăm un vector $\overrightarrow{u}$ și apoi să construim vectorii $3\overrightarrow{u}$ și $-2\overrightarrow{u}$ , reprezentați în figura următoare:

Cum se poate observa în imaginea de mai sus, vectorul $3\overrightarrow{u}$ are aceeași direcție cu vectorul $\overrightarrow{u}$ ; de asemenea, are același sens, deoarece numărul cu care am înmulțit vectorul $\overrightarrow{u}$ este strict pozitiv, iar lungimea lui este de trei ori mai mare decât lungimea primului vector.

De asemenea, am construit vectorul $-2\overrightarrow{u}$ , care are aceeași direcție cu vectorul $\overrightarrow{u}$ , dar are sens contrar vectorului $\overrightarrow{u}$ , deoarece numărul cu care am înmulțit vectorul $\overrightarrow{u}$ este strict negativ, iar lungimea lui este de două ori mai mare decât lungimea primului vector.

Proprietăți ale înmulțirii unui vector cu un scalar

În cadrul acestei pagini, profesorii de matematică ai echipei Liceunet ți-au pregătit câteva proprietăți ale înmulțirii unui vector cu un scalar.

Fie vectorii $\overrightarrow{u}$ , respectiv $\overrightarrow{v}$ și scalarii $\alpha ,\beta \in\mathbb{R}$ .

Propoziția G11: Proprietăți ale înmulțirii unui vector cu un scalar

Cu ajutorul definirii produsului unui vector cu un scalar putem să deducem ușor următoarele proprietăți:

$\alpha\cdot\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=\alpha\cdot\overrightarrow{u}+\alpha\cdot\overrightarrow{v}$ , oricare ar fi $\alpha \in\mathbb{R}$ și oricare ar fi vectorii $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$ ;

(a înmulți un scalar cu o sumă, înseamnă a înmulți acel scalar cu fiecare termen al sumei, apoi adunând rezultatele - distributivitatea înmulțirii față de adunare)

$\left(\alpha+\beta\right)\cdot\overrightarrow{u}=\alpha\cdot\overrightarrow{u}+\beta\cdot\overrightarrow{u}$ , oricare ar fi $\alpha ,\beta \in\mathbb{R}$ și oricare ar fi vectorul $\overrightarrow{u}$ ;

(distributitvitatea înmulțirii față de adunare - fiecare scalar este înmulțit cu vectorul $\overrightarrow{u}$ , iar apoi rezultatele se adună)

$\left(\alpha\cdot\beta\right)\cdot\overrightarrow{u}=\alpha\cdot\left(\beta\cdot\overrightarrow{u}\right )$ , oricare ar fi scalarii $\alpha ,\beta \in\mathbb{R}$ și oricare ar fi vectorul $\overrightarrow{u}$ ;

(asociativitatea)

$1\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$ .

(elementul neutru al înmulțirii este vectorul unitate)

Coliniaritatea a doi vectori

Folosind operația de înmulțire cu scalari a vectorilor detaliată în paginile anterioare ale acestui ghid, avem posibilitatea de a discuta despre coliniaritatea a doi vectori.

Definiția G12: Vectori coliniari

Pentru ca doi vectori să fie coliniari, aceștia trebuie să îndeplinească una dintre condițiile următoare:

O primă condiție de coliniaritate ne spune că: doi vectori $\overrightarrow{u}$ , respetiv $\overrightarrow{v}$ sunt coliniari, dacă și numai dacă există un număr real nenul $\alpha$ , astfel încât să avem îndeplinite una dintre relațiile următoare: $\overrightarrow{u}=\alpha\cod\overrightarrow{v}$ sau $\overrightarrow{v}=\alpha\cod\overrightarrow{u}$ .
O altă condiție este: doi vectori $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$ sunt coliniari, dacă și numai dacă există două numere reale nenule $\alpha$ , respectiv $\beta$ , astfel încât să avem îndeplinită relația: $\alpha\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ .

Din aceste două condiții putem să dăm și o condiție de necoliniaritate astfel:

Definiția G13: Vectori necoliniari

Doi vectori $\overrightarrow{u}$ , respetiv $\overrightarrow{v}$ sunt necoliniari, dacă și numai dacă din relația $\alpha\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ , ne rezultă că $\alpha=\beta=0$ (adică scalari sunt nuli).

Caracterizarea punctelor coliniare

În continuare vom caracteriza punctele coliniare, folosindu-ne de coliniaritatea vectorilor.

Astfel, fie $A,\ B,\ C$ trei puncte.

Definiția G14: Coliniaritatea punctelor A, B, C

Vom spune că punctele A, B, C sunt coliniare, dacă există un număr real $\alpha$ , astfel încât să fie îndeplinită relația:

$\overrightarrow{AB}=\alpha\overrightarrow{BC}$ .

Aplicație

Pentru a vedea cum se caracterizează punctele coliniare în plan, profesorii noștri de matematică ți-au pregătit următorul exercițiu:

Fie MNPQ un paralelogram.

Punctul este mijlocul segmenului [MN] , iar punctul este situat pe segmentul [TP] , astfel încât $[TS]=\frac{[TP]}{3}$ .

Vom demonstra că punctele $N, \ S,\ Q$ sunt coliniare.

Soluție:

Avem următoarea imagine:

Pentru a demonstra că punctele $N, \ S,\ Q$ sunt coliniare, este suficient să demonstrăm că vectorii $\overrightarrow{NS}$ , respectiv $\overrightarrow{SQ}$ sunt coliniari.

Vom arăta acest lucru cu ajutorul celei de-a doua condiții de coliniaritate prezentate în pagina anterioară ( Definiția G12: ( Vectori coliniari ), 2. ):

$\alpha\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ .

Cu ajutorul regulii triunghiului, detaliată în secțiunea „Aduanrea vectorilor”, vom exprima vectorii $\overrightarrow{NS}$ și $\overrightarrow{SQ}$ astfel:

$\begin{align*} &\overrightarrow{NS}=\overrightarrow{NT}+\overrightarrow{TS} \end{align*}$ (1)

și

$\begin{align*} \overrightarrow{QS}=\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PS} \end{align*}$ (2)

Vectorii se pot înmulții cu un scalar, așa că vom înmulții prima relație cu $\begin{align*} 2 \end{align*}$ și ne rezultă că:

$\begin{align*} &2\overrightarrow{NS}=2\overrightarrow{NT}+2\overrightarrow{TS}\\ \end{align*}$ (3)

Vectorii se pot aduna, așa că vom aduna cele două relații, relația (3) cu relația (2) și obținem:

$\begin{align*} 2\overrightarrow{NS}+\overrightarrow{QS}&=2\overrightarrow{NT}+2\overrightarrow{TS}+\overrightarrow{QP}+\overrightarrow{PS}\\\\ &=2\overrightarrow{NT}+2\overrightarrow{TS}+2\overrightarrow{TN}+2\overrightarrow{ST}\\\\ &=\overrightarrow{0} \end{align*}$

Așadar, am obținut că:

$\begin{align*} &2\overrightarrow{NS}+\overrightarrow{QS}=\overrightarrow{0} \end{align*}$ ,

ceea ce înseamnă că vectorii $\overrightarrow{NS}$ și $\overrightarrow{SQ}$ sunt coliniari, de unde ne rezultă că punctele $N, \ S,\ Q$ sunt coliniare.

Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari și nenului

Pentru a descompune un vector $\overrightarrow{u}$ din plan după doi vectori necoliniari $\overrightarrow{a}$ și $\overrightarrow{b}$ , determinăm coeficienții $\alpha$ , respectiv $\beta$ din suma $\overrightarrow{u}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}$ .

Pentru a putea face acest lucru, vom lua un punct pe dreapta suport a vectorului $\overrightarrow{u}$ , și vom construim dreptele cu aceleași direcții ca și vectorii $\overrightarrow{a}$ , respectiv $\overrightarrow{b}$ , care să treacă prin punctul , la fel ca în figura de mai jos:

Vom nota cu $\overrightarrow{OA}$ , respectiv cu $\overrightarrow{OB}$ componentele vectorului $\overrightarrow{u}$ , după cele două direcții, și astfel, cu ajutorul regulii paralelogramului, putem să rescriem relația astfel:

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ .

Dar, deoarece vectorul $\overrightarrow{OA}$ este coliniar cu vectorul $\overrightarrow{a}$ și vectorul $\overrightarrow{OB}$ este coliniar cu vectorul $\overrightarrow{b}$ , avem relațiile:

$\begin{align*} &\overrightarrow{OA}=\alpha\overrightarrow{a} \end{align*}$ ,

respectiv

$\begin{align*} &\overrightarrow{OB}=\beta\overrightarrow{b} \end{align*}$ .

Astfel obținem descompunearea vectorului $\overrightarrow{u}$ după doi vectori necoliniari $\overrightarrow{a}$ și $\overrightarrow{b}$ .

Definiția G15: Expresia analitică a unui vector și coordonatele unui vector

Scrierea sub această formă, $\overrightarrow{u}=\alpha\overrightarrow{a}+\beta\overrightarrow{b}$ , a unui vector se numește expresia analitică a vectorului $\overrightarrow{u}$ , iar numerele $\alpha$ , respectiv $\beta$ se numesc coordonatele vectorului.

Observație:

Un vector de modul se numește versor al direcției sale.

Definiția G16: Vectori egali și vectori coliniari

Fie doi vectori scriși în formă analitică:

$\overrightarrow{u}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$ ,

respectiv

$\overrightarrow{v}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$ .

Spunem că vectorii $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$ sunt egali, dacă și .
Spunem că vectorii $\overrightarrow{u}$ și $\overrightarrow{v}$ sunt coliniari, dacă $\frac{m}{p}=\frac{n}{q}$ .

Observație:

Cei doi vectorii se pot aduna astfel:

$\begin{align*} \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(m+p)\overrightarrow{a}+(n+q)\overrightarrow{b} \end{align*}$ .

Adunarea vectorilor

Adunarea vectorilor coliniari

Adunarea vectorilor necoliniari (oarecare)

Adunarea a doi vectori după regula triunghiului

Adunarea a doi vectori după regula paralelogramului

Adunarea mai multor vectori după regula patrulaterului

Proprietăți ale operației de adunare a vectorilor

Propoziția G8: Proprietăți ale adunării vectorilor

Aplicație

Înmulțirea cu scalari a vectorilor

Definiția G10: Înmulțirea cu scalari a vectorilor

Proprietăți ale înmulțirii unui vector cu un scalar

Propoziția G11: Proprietăți ale înmulțirii unui vector cu un scalar

Coliniaritatea a doi vectori

Definiția G12: Vectori coliniari

Definiția G13: Vectori necoliniari

Definiția G14: Coliniaritatea punctelor A, B, C

Aplicație

Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari și nenului

Definiția G15: Expresia analitică a unui vector și coordonatele unui vector

Definiția G16: Vectori egali și vectori coliniari