Condiții de paralelism și de perpendicularitate

Cuprins

Condiții de paralelism
Coliniaritatea a trei puncte
- Definiția G29: Coliniaritatea a trei puncte
Condiții de perpendicularitate a două drepte

Condiții de paralelism

Fie două drepte d_1 , respectiv d_2 , de ecuații:

d_1: y=m_1x+n_1 ,

respectiv

d_2: y=m_2x+n_2 .

Aceste drepte sunt paralele, dacă au aceeași pantă (adică m_1=m_2 ), iar ordonatele la origine sunt diferite (adică $n_1\neq n_2$ ).

Dacă în plus ordonatele la origine sunt egale (adică n_1= n_2 ), atunci dreptele coincid (adică d_1=d_2 ).

Dacă dreptele sunt scrise sub formă de ecuații carteziene generele astfel:

d_1: a_1x+b_1y+c_1=0 ,

respectiv

d_2: a_2x+b_2y+c_2=0 ,

atunci spunem că dreptele d_1 și d_2 sunt paralele, notat cu $d_1\parallel d_2$ , dacă:

$\begin{align*} \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2},\ a_2, b_2\neq0 \end{align*}$ .

Dacă, în plus, primele două rapoarte sunt egale și cu ultimul, adică:

$\begin{align*} \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2},\ a_2, b_2,c_2\neq0 \end{align*}$ ,

atunci dreptele coincid ( d_1=d_2 ).

Exemplu:

Fie dreptele de ecuații:

$\begin{align*} &d_1: 3x-my-5=0,\\ &d_2: -(m+4)x+4y+10=0,\\ &d_3: y=6x-1. \end{align*}$

Să se afle $m\in\mathbb{R}$ , astfel încât $d_1 \parallel d_3$ .
Să se afle $m\in\mathbb{R}$ , astfel încât .

Rezolvare:

În primul rând, trebuie să transformăm ecuația carteziană genereală în ecuație explicită.

Pentru aceasta, împărțim relația cu :

$\begin{align*} &d_1:\ 3x-my-5=0\ |:m \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow \frac{3}{m}\cdot x-y-\frac{5}{m}=0\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow y=\frac{3}{m}\cdot x-\frac{5}{m}\\ \end{align*}$ .

Pentru a îndeplini condiția $d_1 \parallel d_3$ , trebuie ca pantele dreptelor să fie egale.

Rezultă că:

$\begin{align*} &{3}{m}=6\ \big|:3\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow m=\frac{1}{2} \end{align*}$ .

Așadar, pentru $\begin{align*} m=\frac{1}{2} \end{align*}$ , dreptele d_1 și d_3 sunt paralele ( $d_1\parallel d_3$ ).

Pentru ca dreptele și să coincidă, trebuie ca rapoartele coeficienților lui , respectiv , să fie egale:

$\begin{align*} \frac{3}{-(m+4)}=\frac{-m}{4}=\frac{-5}{10} \end{align*}$ .

Pentru aflarea lui $m\in\mathbb{R}$ , obținem sistemul:

$\begin{align*} \begin{cases} -(m+4)(-5)=30 \\ -m\cdot 10=-5\cdot 4 \end{cases} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow \begin{cases} m+4=6 \\ \\ \displaystyle m=\frac{20}{10} \end{cases} \end{align*}$

$\Leftrightarrow m=2$ .

Pentru m=2 , dreptele d_1 și d_2 coincid ( d_1=d_2 ).

Coliniaritatea a trei puncte

Fie punctele M(x_M,y_M) , N(x_N,y_N) , P(x_P,y_P) , ca în figura de mai jos.

Definiția G29: Coliniaritatea a trei puncte

Spunem că punctele , , sunt coliniare, dacă și numai dacă:

$\begin{align*} \overrightarrow{MN}=\alpha\overrightarrow{MP},\ \alpha\in\mathbb{R}^\ast \end{align*}$ (vectorial);

$\begin{align*} MP=MN+NP \end{align*}$ (metric);

$\begin{align*} \frac{z_N-z_M}{z_P-z_M}\in\mathbb{R}^\ast \end{align*}$ (cu ajutorul numerelor complexe);

$\begin{align*} m_{MN}=m_{MP}\Leftrightarrow \frac{y_N-y_M}{x_N-x_M}=\frac{y_P-y_M}{x_P-x_M} \end{align*}$ (cu ajutorul pantei).

Observație:

În rezolvarea exercițiilor și a problemelor se pot folosi oricare dintre formulele enumerate mai sus.

Exemplu:

Fie punctele M(-1,2) , N(3,4) , P(7,6) . Să arătăm că ele sunt coliniare cu toate metodele descrise anterior.

Rezolvare:

Avem următoarea figură:

Vectorial, avem că:

$\begin{align*} &\overrightarrow{MN}=\alpha\overrightarrow{MP} \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow (x_N-x_M,y_N-y_M)=\alpha(x_P-x_M,y_P-y_M)\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow (3-(-1),4-2)=\alpha(7-(-1),6-2) \end{align*}$

$\begin{align*} &\Leftrightarrow (4,2)=\alpha(8,4)\\ \end{align*}$ .

Rezultă $\alpha=\frac{1}{2}$ , deci $\overrightarrow{MN}= \frac{\overrightarrow{MP}}{2}$ , adică vectorii $\overrightarrow{MN}$ , $\overrightarrow{MP}$ sunt coliniari, deci punctele , , sunt coliniare.

Metric, obținem:

$\begin{align*} MP=MN+NP \end{align*}$ .

Calculăm valoarea segmentelor care intră în ecuație:

$\begin{align*} MN&=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}\\ &=\sqrt{4^2+2^2}\\ &=\sqrt{16+4}\\ &=2\sqrt{5} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow MN&=2\sqrt{5} \end{align*}$ .

$\begin{align*} NP&=\sqrt{(x_P-x_N)^2+(y_P-y_N)^2}\\ &=\sqrt{4^2+2^2}\\ &=\sqrt{16+4}\\ &=2\sqrt{5} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow NP&=2\sqrt{5} \end{align*}$ .

$\begin{align*} MP&=\sqrt{(x_P-x_M)^2+(y_P-y_M)^2}\\ &=\sqrt{8^2+4^2}\\ &=\sqrt{64+16}\\ &=4\sqrt{5} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow MP&=4\sqrt{5} \end{align*}$ .

Se observă ușor că $\begin{align*} MP=MN+NP \end{align*}$ .

Așadar,

punctele , , sunt coliniare.

Cu ajutorul numerelor complexe

Punctelor , , le asociem afixele:

$\begin{align*} z_M&=x_M+iy_M\\&=-1+2i\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow z_M=-1+2i\\ \end{align*}$ ,

$\begin{align*} z_N&=x_N+iy_N\\&=3+4i\\ \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow z_N&=3+4i\\ \end{align*}$ ,

respectiv

$\begin{align*} z_P&=x_P+iy_P\\&=7+6i\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow z_P=7+6i\\ \end{align*}$ .

Înlocuim în relația $\begin{align*} \frac{z_N-z_M}{z_P-z_M} \end{align*}$ și obținem:

$\begin{align*}\frac{z_N-z_M}{z_P-z_M}&= \frac{3+4i-(-1+2i)}{7+6i-(-1+2i)}\\\\&=\frac{4+2i}{8+4i}\\\\&=\frac{4+2i}{2(4+2i)}\\\\&=\frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*}\Leftrightarrow \frac{z_N-z_M}{z_P-z_M}=\frac{1}{2}\in\mathbb{R}^\ast \end{align*}$ .

Deci punctele , , sunt coliniare.

Cu ajutorul pantei

Vom calcula pantele dreptelor (MN) , respectiv (MP) :

$\begin{align*} m_{MN}&=\frac{y_N-y_M}{x_N-x_M}\\\\&=\frac{4-2}{3-(-1)}\\\\&=\frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow m_{MN}&=\frac{1}{2} \end{align*}$ .

$\begin{align*} m_{MP}&=\frac{y_P-y_M}{x_P-x_M}\\\\&=\frac{6-2}{7-(-1)}\\\\&=\frac{1}{2} \end{align*}$

$\begin{align*} \Leftrightarrow m_{MP}&=\frac{1}{2} \end{align*}$ .

Deoarece $m_{MN}= m_{MP}$ , punctele , , sunt coliniare.

Condiții de perpendicularitate a două drepte

Atunci când am studiat unghiul dintre două drepte, am obținut relația:

$\begin{align*} m=tg\ \alpha= \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right| \end{align*}$ ,

unde $\begin{align*} m_1 \end{align*}$ este panta dreptei $\begin{align*} d_1 \end{align*}$ , iar $\begin{align*} m_2 \end{align*}$ este panta dreptei $\begin{align*} d_2 \end{align*}$ .

Condiția ca dreptele să fie perpendiculare este

$\begin{align*} m_1m_2=-1 \end{align*}$ .

Dacă ecuațiile dreptelor sunt scrise sub formă carteziană generală:

$\begin{align*} &d_1:\ a_1x+b_1y+c_1=0,\ a_1,b_1,c_1\in\mathbb{R},\ a_1^2+b_1^2>0\\ \end{align*}$ ,

respectiv

$\begin{align*} &d_2:\ a_2x+b_2y+c_2=0,\ a_2,b_2,c_2\in\mathbb{R},\ a_2^2+b_2^2>0 \end{align*}$ ,

atunci condiția de perpendicularitate este

$\begin{align*} a_1a_2+b_1b_2=0 \end{align*}$ .

Exemplu:

Fie punctele M(2,1) , N(5,4) , P(3,6) . Să se demonstreze că dreptele sunt perpendiculare, $MN\perp NP$ .

Rezolvare:

Avem următorul grafic:

Vom demonstra că $MN\perp NP$ prin patru metode, după cum urmează:

Metoda metrică

Vom demonstra acest lucru cu ajutorul reciprocei teoremei lui Pitogora. Pentru aceasta calculăm lungimile celor trei laturi ale triunghiului MNP :

$\begin{align*} MN&=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}\\ &=\sqrt{3^2+3^2}\\ &=\sqrt{9+9}\\ &=3\sqrt{2} \end{align*}$

$\begin{align*} NP&=\sqrt{(x_P-x_N)^2+(y_P-y_N)^2}\\ &=\sqrt{(-2)^2+2^2}\\ &=\sqrt{4+4}\\ &=2\sqrt{2} \end{align*}$

$\begin{align*} MP&=\sqrt{(x_P-x_M)^2+(y_P-y_M)^2}\\ &=\sqrt{1^2+5^2}\\ &=\sqrt{1+25}\\ &=\sqrt{26} \end{align*}$

Observăm că MP^2=MN^2+NP^2 , și conform reciprocei teoremei lui Pitagora, $m(\measuredangle N)=90^\circ$ , deci $MN\perp NP$ .

Cu ajutorul numerelor complexe

Punctelor , , le asociem afixele:

$\begin{align*} z_M&=x_M+iy_M\\&=2+i \end{align*}$

$\begin{align*} z_N&=x_N+iy_N\\&=5+4i \end{align*}$

$\begin{align*} z_P&=x_P+iy_P\\&=3+6i \end{align*}$

Înlocuindu-le în relația

$\begin{align*} \frac{z_N-z_M}{z_N-z_P}\in \mathbb{R}^\ast \end{align*}$ ,

obținem:

$\begin{align*} \frac{5+4i-(2+i)}{5+4i-(3+6i)}&=\frac{3+3i}{2-2i}\\\\&=\frac{(3+3i)(2+2i)}{2^2-(2i)^2}\\\\&=\frac{6+12i-6}{8}\\\\&=\frac{12}{8}i\\\\&=\frac{3}{2}i \end{align*}$

Deci $MN\perp NP$ .

Metoda vectorială

$MN\perp NP$ , dacă $\begin{align*} &\overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{0}\\ \end{align*}$ .

Calculăm coordonatele celor doi vectori:

$\begin{align*} \overrightarrow{NM}&=(x_M-x_N,y_M-y_N)\\&=(2-5,1-4)\\&=(-3,-3)\\ \end{align*}$

$\begin{align*} \overrightarrow{NP}&=(x_P-x_N,y_P-y_N)\\&=(3-5,6-4)\\&=(-2,2)\\ \end{align*}$

Rezultă că:

$\begin{align*} \overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NP}&=(-3,-3)(-2,2)\\&=6-6\\&=0 \end{align*}$

adică vectorii $\overrightarrow{NM}$ și $\overrightarrow{NP}$ sunt perpendiculari.

Metoda analitică

Pentru ca cele două drepte să fie perpendiculare, trebuie ca produsul pantelor lor să fie .

Calculăm, pe rând, fiecare pantă.

$\begin{align*} m_{MN}&=\frac{y_N-y_M}{x_N-x_M}\\\\&=\frac{4-1}{5-2}\\\\&=\frac{3}{3}\\\\&=1 \end{align*}$

$\begin{align*} m_{NP}&=\frac{y_P-y_N}{x_P-x_N}\\\\&=\frac{6-4}{3-5}\\\\&=\frac{2}{-2}\\\\&=-1 \end{align*}$

Deoarece $m_{MN}\cdot m_{MP}=-1$ , ne rezultă că dreptele sunt perpendiculare.