Condiții de paralelism și de perpendicularitate

Condiții de paralelism

Fie două drepte d_1, respectiv d_2, de ecuații:

d_1: y=m_1x+n_1,

respectiv

d_2: y=m_2x+n_2.

Aceste drepte sunt paralele, dacă au aceeași pantă (adică m_1=m_2), iar ordonatele la origine sunt diferite (adică n_1\neq n_2).

Dacă în plus ordonatele la origine sunt egale (adică n_1= n_2), atunci dreptele coincid (adică d_1=d_2).

Dacă dreptele sunt scrise sub formă de ecuații carteziene generele astfel:

d_1: a_1x+b_1y+c_1=0,

respectiv

d_2: a_2x+b_2y+c_2=0,

atunci spunem că dreptele d_1 și d_2 sunt paralele, notat cu d_1\parallel d_2, dacă:

\begin{align*} \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2},\ a_2, b_2\neq0 \end{align*}.

Dacă, în plus, primele două rapoarte sunt egale și cu ultimul, adică:

\begin{align*} \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2},\ a_2, b_2,c_2\neq0 \end{align*},

atunci dreptele coincid (d_1=d_2).

Exemplu:

Fie dreptele de ecuații:

\begin{align*} &d_1: 3x-my-5=0,\\ &d_2: -(m+4)x+4y+10=0,\\ &d_3: y=6x-1. \end{align*}

  1. Să se afle m\in\mathbb{R}, astfel încât d_1 \parallel d_3.
  2. Să se afle m\in\mathbb{R}, astfel încât d_1=d_2.

Rezolvare:

  1. În primul rând, trebuie să transformăm ecuația carteziană genereală d_1 în ecuație explicită. 

Pentru aceasta, împărțim relația cu m:

\begin{align*} &d_1:\ 3x-my-5=0\ |:m \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow \frac{3}{m}\cdot x-y-\frac{5}{m}=0\\ \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow y=\frac{3}{m}\cdot x-\frac{5}{m}\\ \end{align*}.

Pentru a îndeplini condiția d_1 \parallel d_3, trebuie ca pantele dreptelor să fie egale.

Rezultă că:

\begin{align*} &{3}{m}=6\ \big|:3\\ \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow m=\frac{1}{2} \end{align*}.

Așadar, pentru \begin{align*} m=\frac{1}{2} \end{align*}, dreptele d_1 și d_3 sunt paralele ( d_1\parallel d_3 ).

  1. Pentru ca dreptele d_1 și d_2 să coincidă, trebuie ca rapoartele coeficienților lui x, respectiv y, să fie egale:

\begin{align*} \frac{3}{-(m+4)}=\frac{-m}{4}=\frac{-5}{10} \end{align*}.

Pentru aflarea lui m\in\mathbb{R}, obținem sistemul:

\begin{align*} \begin{cases} -(m+4)(-5)=30 \\ -m\cdot 10=-5\cdot 4 \end{cases} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow \begin{cases} m+4=6 \\ \\ \displaystyle m=\frac{20}{10} \end{cases} \end{align*}

\Leftrightarrow m=2.

Pentru m=2, dreptele d_1 și d_2 coincid (d_1=d_2). 

Coliniaritatea a trei puncte

Fie punctele M(x_M,y_M)N(x_N,y_N)P(x_P,y_P), ca în figura de mai jos. 

Definiția G29: Coliniaritatea a trei puncte 

Spunem că punctele MNP sunt coliniare, dacă și numai dacă:

  • \begin{align*} \overrightarrow{MN}=\alpha\overrightarrow{MP},\ \alpha\in\mathbb{R}^\ast \end{align*} (vectorial);

 

  • \begin{align*} MP=MN+NP \end{align*} (metric);

 

  • \begin{align*} \frac{z_N-z_M}{z_P-z_M}\in\mathbb{R}^\ast \end{align*} (cu ajutorul numerelor complexe);

 

  • \begin{align*} m_{MN}=m_{MP}\Leftrightarrow \frac{y_N-y_M}{x_N-x_M}=\frac{y_P-y_M}{x_P-x_M} \end{align*} (cu ajutorul pantei).

Observație:

În rezolvarea exercițiilor și a problemelor se pot folosi oricare dintre formulele enumerate mai sus.

Exemplu:

Fie punctele M(-1,2)N(3,4)P(7,6). Să arătăm că ele sunt coliniare cu toate metodele descrise anterior.

Rezolvare:

Avem următoarea figură:

  • Vectorial, avem că:

\begin{align*} &\overrightarrow{MN}=\alpha\overrightarrow{MP} \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow (x_N-x_M,y_N-y_M)=\alpha(x_P-x_M,y_P-y_M)\\ \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow (3-(-1),4-2)=\alpha(7-(-1),6-2) \end{align*}

\begin{align*} &\Leftrightarrow (4,2)=\alpha(8,4)\\ \end{align*}.

Rezultă \alpha=\frac{1}{2}, deci \overrightarrow{MN}= \frac{\overrightarrow{MP}}{2}, adică vectorii \overrightarrow{MN}\overrightarrow{MP} sunt coliniari, deci punctele MNP sunt coliniare.

  • Metric, obținem:

\begin{align*} MP=MN+NP \end{align*}.

Calculăm valoarea segmentelor care intră în ecuație:

\begin{align*} MN&=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}\\ &=\sqrt{4^2+2^2}\\ &=\sqrt{16+4}\\ &=2\sqrt{5} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow MN&=2\sqrt{5} \end{align*}.

\begin{align*} NP&=\sqrt{(x_P-x_N)^2+(y_P-y_N)^2}\\ &=\sqrt{4^2+2^2}\\ &=\sqrt{16+4}\\ &=2\sqrt{5} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow NP&=2\sqrt{5} \end{align*}.

\begin{align*} MP&=\sqrt{(x_P-x_M)^2+(y_P-y_M)^2}\\ &=\sqrt{8^2+4^2}\\ &=\sqrt{64+16}\\ &=4\sqrt{5} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow MP&=4\sqrt{5} \end{align*}.

Se observă ușor că \begin{align*} MP=MN+NP \end{align*}.

Așadar, 

punctele MNP sunt coliniare.

  • Cu ajutorul numerelor complexe

Punctelor MNP le asociem afixele:

\begin{align*} z_M&=x_M+iy_M\\&=-1+2i\\ \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow z_M=-1+2i\\ \end{align*},

\begin{align*} z_N&=x_N+iy_N\\&=3+4i\\ \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow z_N&=3+4i\\ \end{align*},

respectiv

\begin{align*} z_P&=x_P+iy_P\\&=7+6i\\ \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow z_P=7+6i\\ \end{align*}.

Înlocuim în relația \begin{align*} \frac{z_N-z_M}{z_P-z_M} \end{align*} și obținem:

\begin{align*}\frac{z_N-z_M}{z_P-z_M}&= \frac{3+4i-(-1+2i)}{7+6i-(-1+2i)}\\\\&=\frac{4+2i}{8+4i}\\\\&=\frac{4+2i}{2(4+2i)}\\\\&=\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*}\Leftrightarrow \frac{z_N-z_M}{z_P-z_M}=\frac{1}{2}\in\mathbb{R}^\ast \end{align*}.

Deci punctele MNP sunt coliniare.

  • Cu ajutorul pantei

Vom calcula pantele dreptelor (MN), respectiv (MP):

\begin{align*} m_{MN}&=\frac{y_N-y_M}{x_N-x_M}\\\\&=\frac{4-2}{3-(-1)}\\\\&=\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow m_{MN}&=\frac{1}{2} \end{align*}.

\begin{align*} m_{MP}&=\frac{y_P-y_M}{x_P-x_M}\\\\&=\frac{6-2}{7-(-1)}\\\\&=\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*} \Leftrightarrow m_{MP}&=\frac{1}{2} \end{align*}.

Deoarece m_{MN}= m_{MP}, punctele MNP sunt coliniare.

Condiții de perpendicularitate a două drepte

Atunci când am studiat unghiul dintre două drepte, am obținut relația:

\begin{align*} m=tg\ \alpha= \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right| \end{align*} ,

unde \begin{align*} m_1 \end{align*} este panta dreptei \begin{align*} d_1 \end{align*}, iar \begin{align*} m_2 \end{align*} este panta dreptei \begin{align*} d_2 \end{align*}.

Condiția ca dreptele să fie perpendiculare este

\begin{align*} m_1m_2=-1 \end{align*}.

Dacă ecuațiile dreptelor sunt scrise sub formă carteziană generală:

\begin{align*} &d_1:\ a_1x+b_1y+c_1=0,\ a_1,b_1,c_1\in\mathbb{R},\ a_1^2+b_1^2>0\\ \end{align*},

respectiv

\begin{align*} &d_2:\ a_2x+b_2y+c_2=0,\ a_2,b_2,c_2\in\mathbb{R},\ a_2^2+b_2^2>0 \end{align*}

atunci condiția de perpendicularitate este

\begin{align*} a_1a_2+b_1b_2=0 \end{align*}.

Exemplu:

Fie punctele M(2,1)N(5,4)P(3,6). Să se demonstreze că dreptele sunt perpendiculare, MN\perp NP.

Rezolvare:

Avem următorul grafic:

Vom demonstra că MN\perp NP prin patru metode, după cum urmează:

  • Metoda metrică 

Vom demonstra acest lucru cu ajutorul reciprocei teoremei lui Pitogora. Pentru aceasta calculăm lungimile celor trei laturi ale triunghiului MNP:

\begin{align*} MN&=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}\\ &=\sqrt{3^2+3^2}\\ &=\sqrt{9+9}\\ &=3\sqrt{2} \end{align*}

\begin{align*} NP&=\sqrt{(x_P-x_N)^2+(y_P-y_N)^2}\\ &=\sqrt{(-2)^2+2^2}\\ &=\sqrt{4+4}\\ &=2\sqrt{2} \end{align*}

\begin{align*} MP&=\sqrt{(x_P-x_M)^2+(y_P-y_M)^2}\\ &=\sqrt{1^2+5^2}\\ &=\sqrt{1+25}\\ &=\sqrt{26} \end{align*}

Observăm că MP^2=MN^2+NP^2, și conform reciprocei teoremei lui Pitagora, m(\measuredangle N)=90^\circ, deci MN\perp NP.

  • Cu ajutorul numerelor complexe

Punctelor MNP le asociem afixele:

\begin{align*} z_M&=x_M+iy_M\\&=2+i \end{align*}

\begin{align*} z_N&=x_N+iy_N\\&=5+4i \end{align*}

\begin{align*} z_P&=x_P+iy_P\\&=3+6i \end{align*}

Înlocuindu-le în relația 

\begin{align*} \frac{z_N-z_M}{z_N-z_P}\in \mathbb{R}^\ast \end{align*},

obținem:

\begin{align*} \frac{5+4i-(2+i)}{5+4i-(3+6i)}&=\frac{3+3i}{2-2i}\\\\&=\frac{(3+3i)(2+2i)}{2^2-(2i)^2}\\\\&=\frac{6+12i-6}{8}\\\\&=\frac{12}{8}i\\\\&=\frac{3}{2}i \end{align*}

Deci  MN\perp NP.

  • Metoda vectorială

MN\perp NP, dacă \begin{align*} &\overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{0}\\ \end{align*}.

Calculăm coordonatele celor doi vectori:

\begin{align*} \overrightarrow{NM}&=(x_M-x_N,y_M-y_N)\\&=(2-5,1-4)\\&=(-3,-3)\\ \end{align*}

\begin{align*} \overrightarrow{NP}&=(x_P-x_N,y_P-y_N)\\&=(3-5,6-4)\\&=(-2,2)\\ \end{align*}

Rezultă că:

\begin{align*} \overrightarrow{NM}\cdot\overrightarrow{NP}&=(-3,-3)(-2,2)\\&=6-6\\&=0 \end{align*}

adică vectorii \overrightarrow{NM} și \overrightarrow{NP} sunt perpendiculari.

  • Metoda analitică

Pentru ca cele două drepte să fie perpendiculare, trebuie ca produsul pantelor lor să fie -1.

Calculăm, pe rând, fiecare pantă.

\begin{align*} m_{MN}&=\frac{y_N-y_M}{x_N-x_M}\\\\&=\frac{4-1}{5-2}\\\\&=\frac{3}{3}\\\\&=1 \end{align*}

\begin{align*} m_{NP}&=\frac{y_P-y_N}{x_P-x_N}\\\\&=\frac{6-4}{3-5}\\\\&=\frac{2}{-2}\\\\&=-1 \end{align*}

Deoarece m_{MN}\cdot m_{MP}=-1, ne rezultă că dreptele sunt perpendiculare.